Chương 5 – Bài 5. Hình chữ nhật trang 96 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
21. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Hình thang có hai cạnh góc vuông là hình chữ nhật.
b) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
c) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
d) Tứ giác có hai góc vuông là hình chữ nhật.
Giải
a) Sai.
b) Đúng.
c) Đúng.
d) Sai.
\(\)
22. Hình 20 mô tả mặt phẳng cắt ngang tầng trệt của một ngôi nhà. Biết AB ⊥ BC, CD ⊥ BC và AB = 4 m, CD = 7 m, AD = 11 m. Tính độ dài BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).
Giải
Kẻ \(AH\) vuông góc với \(CD\) tại \(H.\)
Tứ giác \(ABCH\) có \(\widehat{ABC}=\widehat{BCH}=\widehat{CHA} = 90^o\) nên \(ABCH\) là hình chữ nhật. Suy ra \(CH = AB = 4\ m.\)
Do đó \(DH = CD-CH = 3\ m.\)
Trong tam giác \(ADH\) vuông tại \(H,\) ta có:
\(AD^2 = AH^2 + DH^2\)
Suy ra \(AH^2 = AD^2-DH^2 = 112\)
Do đó \(AH = \sqrt {112} m.\)
Ta có: \(BC = AH\) (vì \(ABCH\) là hình chữ nhật) nên \(BC = \sqrt {112} \approx 10,6\ (m).\)
\(\)
23. Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo \(AC\) và BD cắt nhau tại O. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng AB, AD. Chứng minh:
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) BD // EF.
Giải
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(EF.\)
a) Tứ giác \(AEMF\) có \(\widehat {FAE} = \widehat {AEM} = \widehat {MFA} = 90^o\) nên \(AEMF\) là hình chữ nhật.
b) Do \(ABCD\) và \(AEMF\) là hình chữ nhật nên \(OA = OB\) và \(IA = IE.\)
Suy ra tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và tam giác \(IAE\) cân tại \(I.\)
Do đó \(\widehat {OBA} = \widehat {OAB}\) và \(\widehat {IEA} = \widehat {IAE}\) hay \(\widehat {OBA} = \widehat {IEA}.\)
Mà \(\widehat {OBA}\) và \(\widehat {IEA}\) nằm ở vị trí đòng vị, suy ra \(BD//EF.\)
\(\)
24. Cho tam giác ABC cân tại A có các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia GB, GC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho GD = GB, GE = GC. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?
Giải
Tứ giác \(BEDC\) có hai đường chéo \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đường nên \(BEDC\) là hình bình hành.
Ta có: \(AB = AC,AM = CM,AN = BN\) nên \(BN = CM.\)
\(\Delta BCM = \Delta CBN\) (c.g.c). Suy ra \(BM = CN.\)
Do \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên
\(BG = \displaystyle\frac{2}{3}BM\) và \(CG = \displaystyle\frac{2}{3}CN.\)
Do đó \(BG = CG.\) Mà \(G\) là trung điểm của \(BD\) và \(CE,\) suy ra \(BD = CE.\)
Hình bình hành \(BEDC\) có \(BD = CE\) nên \(BEDC\) là hình chữ nhật.
\(\)
25. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng AB, AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?
b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.
c) Chứng minh khi điểm M thay đổi vị trí trên cạnh BC thì chu vi của tứ giác ADME không đổi.
d) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì DE có độ dài nhỏ nhất? Tính độ dài nhỏ nhất đó, biết AB = 2 cm.
Giải
a) Tứ giác \(ADME\) có \(\widehat {DAE} = \widehat {AEM} = \widehat {MDA} = 90^o\) nên \(ADME\) là hình chữ nhật.
b) Do \(ADME\) là hình chữ nhật nên hai đường chéo \(DE\) và \(AM\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà \(I\) là trung điểm của \(DE,\) suy ra \(I\) là trung điểm của \(AM.\)
Vậy ba điểm \(A,\ I,\ M\) thẳng hàng.
c) Do \(ADME\) là hình chữ nhật nên \(DM//AC.\) Suy ra \(\widehat {BMD} = \widehat {ACB}\) (hai góc so le trong).
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^o\) (vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\)), suy ra \(\widehat {BMD} = \widehat {ABC} = 45^o.\)
Do đó, tam giác \(BDM\) cân tại \(D.\) Suy ra \(BD = DM.\)
Chu vi hình chữ nhật \(ADME\) là: \(2\left( {AD + DM} \right) = 2\left( {AD + BD} \right) = 2AB.\)
Mà \(AB\) không đổi nên chu vi của tứ giác \(ADME\) không đổi.
d)
Do \(ADME\) là hình chữ nhật nên \(AM = DE.\)
Suy ra \(DE\) có độ dài nhỏ nhất khi \(AM\) có độ dài nhỏ nhất.
Vậy \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(BC.\)
Trong tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) ta có:
\(AC = AB = 2\ cm\) và \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 8.\)
Suy ra \(BC = \sqrt 8\ cm.\)
\(\Delta ABM = \Delta ACM\) (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra \(BM = CM = \displaystyle\frac{{BC}}{2} = \sqrt 2\ cm.\)
Tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\) có \(\widehat {ABM} = 45^o\) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {ABM} = 45^o.\)
Suy ra tam giác \(ABM\) vuông cân tại \(M.\)
Do đó \(AM = BM = \sqrt 2 cm.\)
Vậy \(DE = \sqrt 2 cm.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 4. Hình bình hành
Xem bài giải tiếp theo: Bài 6. Hình thoi
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
