Bài 5. Hình chữ nhật - Hình vuông

Chương 3 – Bài 5. Hình chữ nhật – Hình vuông trang 71 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Chân Trời Sáng Tạo.

1. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

b) Gọi E là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành.

c) EM cắt BD tại K. Chứng minh EK = 2KM.

Giải

a) Xét tứ giác ABDC có: AM = MD (M ∈ AD); BM = MC (M ∈ BC).

Suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành.

Ta lại có \(\widehat{BAC}=90^o\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại A).

Do đó, tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

b) Tứ giác ABDC là hình chữ nhật (theo câu a), suy ra AB = CD và AB // CD.

Do E đối xứng với A qua B nên B, A, E thẳng hàng và AB = BE.

Vì AB // CD nên BE // CD.

Vì AB = CD và AB = BE nên CD = BE.

Xét tứ giác BEDC có BE // CD và BE = CD. Suy ra tứ giác BEDC là hình bình hành.

c) Tam giác AED có hai đường trung tuyến EM và DB cắt nhau tại K, nên K là trọng tâm của tam giác AED.

Suy ra \(EK=\displaystyle\frac{2}{3}EM\) và \(KM=\displaystyle\frac{1}{3}EM\) nên \(EK = 2KM.\)

\(\)

2. Cho tam giác DEF vuông tại D (DE > DF), DM là đường trung tuyến (M ∈ EF). Gọi MN là đường vuông góc kẻ từ M đến DE (N ∈ DE), MK là đường vuông góc kẻ từ M đến DF (K ∈ DF), H là điểm đối xứng với M qua N.

a) Tứ giác DKMN là hình gì Vì sao?

b) Gọi O là trung điểm của DM. Chứng minh ba điểm H, O , F thẳng hàng.

c) Tam giác DEF cần thêm điều kiện gì để tứ giác DKMN là hình vuông?

Giải

a) Tứ giác DKMN có \(\widehat{KDN}=90^o;\) \(\widehat{MKD}=90^o;\) \(\widehat{MND}=90^o\) nên DKMN là hình chữ nhật.

b) \(\Delta DEF\) vuông tại D và DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(MD=\displaystyle\frac{1}{2}EF=ME.\)

Suy ra \(\Delta MDE\) cân tại M.

Ta lại có MN ⊥ DE tại N, MN là đường cao cũng là đường trung tuyến của \(\Delta MDE,\) suy ra \(ND=NE=\displaystyle\frac{DE}{2}.\)

Tứ giác DHEM có: ND = NE và NH = NM (do H là điểm đối xứng với M qua N).

Suy ra DHEM là hình bình hành.

Do đó DH // ME và DH = ME.

Mà M là trung điểm EF nên ME = MF

Khi đó DH // MF và DH = MF nên tứ giác DHMF là hình bình hành.

Hơn nữa, O là trung điểm của DM, suy ra O cũng là trung điểm của HF.

Vậy H, O, F thẳng hàng.

c) Hình chữ nhật DKMN là hình vuông khi DM là đường phân giác của \(\widehat{KDN},\) hay DM là đường phân giác của \(\widehat{FDE}.\)

Khi đó DM là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác xuất phát từ D.

Suy ra \(\Delta DEF\) vuông cân tại D.

Vậy \(\Delta DEF\) vuông cân tại D thì DKMN là hình vuông.

\(\)

3. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4 cm, AC = 8 cm. Gọi E là trung điểm của AC, M là trung điểm của BC.

a) Tính EM.

b) Vẽ tia Bx song song với AC sao cho Bx cắt EM tại D. Chứng minh tứ giác ABDE là hình vuông.

c) Gọi I là giao điểm của BE và AD, K là giao điểm của BE và AM. Chứng minh tứ giác BDCE là hình bình hành và DC= 6KI.

Giải

a) \(\Delta ABC\) có E là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, ta có \(ME=\displaystyle\frac{1}{2}AB=\displaystyle\frac{1}{2}.4=2\) (cm).

b) Tứ giác ABDE có: AB // DE (do AB // ME) và BD // AE (do Bx // AC).

Suy ra ABDE là hình bình hành.

Hình bình hành ABDE có \(\widehat{BAE}=90^o\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại A) nên ABDE là hình chữ nhật.

Ta lại có \(AE=\displaystyle\frac{1}{2}AC\) (do E là trung điểm của AC), suy ra \(AE=\displaystyle\frac{1}{2}.8=4\) (cm).

Khi đó \(AB = AE = 4\) (cm).

Hình chữ nhật ABDE có AB = AE nên ABDE là hình vuông.

c) Hình vuông ABDE có AD cắt BE tại I, suy ra I là trung điểm của AD và BE.

Theo bài 4, trang 63, ta có: IE // CD và \(IE=\displaystyle\frac{1}{2}CD.\)

Tứ giác BDCE có: BE // CD (vì IE // CD); BD // EC (vì Bx // AC).

Suy ra BDCE là hình bình hành.

Do đó, hai đường chéo BC và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm của BC, suy ra M cũng là trung điểm của DE.

\(\Delta ADE\) có đường trung tuyến AM và EI cắt nhau tại K.

Do đó K là trọng tâm của \(\Delta ADE.\)

Suy ra \(KI=\displaystyle\frac{1}{3}EI=\displaystyle\frac{1}{3}.(\displaystyle\frac{1}{2}EB)=\displaystyle\frac{1}{6}EB=\displaystyle\frac{1}{6}DC.\)

Vậy \(DC = 6KI.\)

\(\)

4. Cho tam giác ABC cân tại A \((\widehat{A}<90^o),\) các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC lần lượt tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt DB và AB lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng:

a) \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE};\)

b) BH = CH;

c) Tam giác BOC vuông cân;

d) MNPQ là hình vuông.

Giải

a) Ta có: \(\Delta ABD\) vuông tại D, suy ra \(\widehat{ABD}+\widehat{BAC}=90^o;\)

\(\Delta AEC\) vuông tại E, suy ra \(\widehat{ACE}+\widehat{BAC}=90^o.\)

Do đó \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}.\)

b) \(\Delta ABC\) cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.\)

Mà \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (theo câu a).

Suy ra \(\widehat{ABC}-\widehat{ABD}=\widehat{ACB}-\widehat{ACE}\) hay \(\widehat{B_3}=\widehat{C_3}.\)

Suy ra \(\Delta HBC\) cân tại H. Do đó BH = CH.

c) Lưu ý: bổ sung dữ kiện “O là giao điểm của BP và CN”.

Ta có \(\widehat{B_2}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ABD}\) và \(\widehat{C_2}=\displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ACE},\) mà \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\), suy ra \(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}.\)

\(\Delta OBC\) có \(\widehat{B_3}=\widehat{C_3},\ \widehat{B_2}=\widehat{C_2}\) nên \(\widehat{B_3}+\widehat{B_2}=\widehat{C_3}+\widehat{C_2}\) hay \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}.\)

Suy ra \(\Delta OBC\) cân tại O. (1)

Mặt khác, vì \(\widehat{C_2}=\widehat{B_1}\) nên ta có

\(\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{C_3}+\widehat{C_2}\) \(=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{C_3}+\widehat{B_1}\) \(=180^o-\widehat{BEC}=180^o-90^o=90^o.\)

Mà \(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{C_2}+\widehat{C_3}=90^o\)

Suy ra \(\widehat{BOC}=90^o.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta OBC\) vuông cân tại O.

d) Tam giác OBC cân tại O nên OB = OC. (3)

Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta CQH\) có:

\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\) (theo câu b);

BH = CH (do \(\Delta HBC\) cân tại H);

\(\widehat{BHM}=\widehat{CHQ}\) (hai góc đối đỉnh).

Do đó \(\Delta BMH\)= \(\Delta CQH\) (g.c.g).

Suy ra BM = CQ. (4)

Từ (3) và (4) suy ra OB – BM = OC – CQ hay OM = OQ. (5)

Mà \(\Delta BNQ\) có BO là đường cao cũng đường phân giác nên \(\Delta BNQ\) cân tại B.

Suy ra BO cũng là đường trung tuyến, nên O là trung điểm của QN hay ON = OQ.(6)

Chứng minh tương tự, ta được OP = OM. (7)

Từ (5), (6), (7) suy ra OM = ON = OQ = OP.

Suy ra ON + OQ = OM + OP hay NQ = MP.

Xét tứ giác MNPQ có: OM = OP và OQ = ON nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Mà NQ = MP nên MNPQ là hình chữ nhật.

Ta lại có MP ⊥ NP nên MNPQ là hình vuông.

\(\)

5. Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA, sao cho AE = BF = CG = DH = a, BE = CF = DG = AH = b.

a) Tứ giác EFGH là hình gì?

b) Tính diện tích tư giác EFGH theo a và b.

Giải

a) Xét các tam giác HAE, EBF, FCG, GDH có:

AE = BF = CG = DH = a, BE = CF = DG = AH = b (giả thiết);

\(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^o\) (do ABCD là hình vuông)

Suy ra \(\Delta HAE = \Delta EBF = \Delta FCG = \Delta GDH\) (c.g.c) nên HE = EF = FG = GH.

Do đó EFGH là hình thoi.

Ta lại có \(\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=\widehat{E_1}+\widehat{H_1}=90^o\) nên \(\widehat{E_3}=90^o.\)

Hình thoi EFGH có \(\widehat{E_3}=90^o\) nên EFGH là hình vuông.

b)Ta có \(S_{ABCD} = AB^2 = (a + b)^2\) (1)

\(S_{\Delta HAE}=\displaystyle\frac{1}{2}AE.AH=\displaystyle\frac{1}{2}ab\) nên \(S_{\Delta HAE}+S_{\Delta EBF}+S_{\Delta FCG}+S_{\Delta GDH}=\displaystyle\frac{1}{2}ab.4=2ab.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(S_{EFGH} = (a + b)^2-2ab\) \(= a^2 + 2ab + b^2-2ab = a^2 + b^2.\)

\(\)

6. Trong hình chữ nhật có chu vi 100 m, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích đó.

Giải

Gọi một kích thước của hình chữ nhật là \(x\ (m).\) Kích thước cạnh còn lại của hình chữ nhật là \(50-x\ (m).\)

Diện tích hình chữ nhật là:

\(S = x(50-x) =-x^2 + 50x\) \(=-(x^2-2.25x + 25^2-25^2)\)

\(=-(x-25)^2 + 625 ≤ 625.\)

Giá trị lớn nhất của \(S\) bằng 625 tại \(x = 25.\)

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật bằng \(625\ m^2,\) khi đó hình chữ nhật là hình vuông có cạnh dài \(25\ m.\)

\(\)

7. Hình chữ nhật ABCD được chia thành bốn hình chữ nhật nhỏ như Hình 10. Biết diện tích ba hình chữ nhật nhỏ lần lượt là \(10\ cm^2,\) \(15\ cm^2,\) \(6\ cm^2.\) Tính diện tích \(x\ (cm^2)\) của hình chữ nhật nhỏ còn lại.