Bài \(5\). Giá trị lượng giác của một góc từ \(0^o\) đến \(180^o\) trang \(33\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
Bài \(3.1\). Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
\(a)\) \((2 \sin30^o + \cos135^o \ – \ 3 \tan150^o).( \cos180^o \ – \ \cot60^o)\);
\(b)\) \(\sin^2{90^o} + \cos^2{120^o} + \cos^2{0^o} \ – \ \tan^2{60^o}\)
\( + \cot^2{135^o}\);
\(c)\) \(\cos60^o. \sin30^o + \cos^2{30^o}\).
Chú ý: \(\sin^2{\alpha} = (\sin{\alpha})^2, \cos^2{\alpha} = (\cos{\alpha})^2\), \(\tan^2{\alpha} = (\tan{\alpha})^2, \cot^2{\alpha} = (\cot{\alpha})^2\).
Trả lời:
\(a)\)\((2 \sin30^o + \cos135^o \ – \ 3 \tan150^o).( \cos180^o \ – \ \cot60^o)\)
\(= (2 \sin30^o \ – \ \cos45^o + 3 \tan30^o). (\ – \ 1 \ – \ \tan30^o)\)
\(= \left(2. \displaystyle \frac{1}{2} \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} + 3. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \right) . \left(\ – \ 1 \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \right)\)
\(= \left(\displaystyle \frac{2 \ – \ \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{2} \right) . \left(\displaystyle \frac{\ – \ 3 \ – \ \sqrt{3}}{3} \right)\)
\(= \displaystyle \frac{(2 \ – \ \sqrt{2} + 2\sqrt{3})(\ – \ 3 \ – \ \sqrt{3})}{6}\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{12 + 8\sqrt{3} \ – \ 3\sqrt{2} \ – \ \sqrt{6}}{6}\)
\(b)\) \(\sin^2{90^o} + \cos^2{120^o} + \cos^2{0^o} \ – \ \tan^2{60^o}\)
\( + \cot^2{135^o}\)
\(= \sin^2{90^o} + \cos^2{60^o} + \cos^2{0^o} \ – \ \tan^2{60^o}\)
\(+ \cot^2{45^o}\)
\(= 1^2 + \left(\displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 + 1^2 \ – \ (\sqrt{3})^2 + 1^2\)
\(= 1 + \displaystyle \frac{1}{4} + 1 \ – \ 3 + 1\)
\(= \displaystyle \frac{1}{4}\)
\(c)\) \(\cos60^o. \sin30^o + \cos^2{30^o}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}. \displaystyle \frac{1}{2} + \left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2\)
\(= \displaystyle \frac{1}{4} + \displaystyle \frac{3}{4}\)
\(= 1\)
\(\)
Bài \(3.2\). Đơn giản các biểu thức sau:
\(a)\) \(\sin100^o + \sin80^o + \cos16^o + \cos164^o\);
\(b)\) \(2\sin(180^o \ – \ \alpha). \cot{\alpha} \ – \ \cos(180^o \ – \ \alpha).\)\(\tan{\alpha}. \cot(180^o \ – \ \alpha)\), với \(0^o < \alpha < 90^o\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có:
\(\sin100^o = \sin{(180^o \ – \ 80^o)} = \sin80^o\)
\(\cos164^o = \cos{(180^o \ – \ 16^o)} = \ – \ \cos16^o\)
Suy ra:
\(\sin100^o + \sin80^o + \cos16^o + \cos164^o\)
\(= \sin80^o + \sin80^o + \cos16^o \ – \ \cos16^o\)
\(= 2 \sin80^o\)
\(b)\) Ta có:
\(\left \{\begin{matrix}\sin{(180^o \ – \ \alpha)} = \sin{\alpha}\\\cos{(180^o \ – \ \alpha)} = \ – \ \cos{\alpha}\\ \tan{(180^o \ – \ \alpha)} = \ – \ \tan{\alpha}\\ \cot{(180^o \ – \ \alpha)} = \ – \ \cot{\alpha} \end{matrix} \right.\) \((0^o < \alpha < 90^o)\)
Suy ra:
\(2\sin(180^o \ – \ \alpha). \cot{\alpha} \ – \ \cos(180^o \ – \ \alpha).\)
\(\tan{\alpha}. \cot(180^o \ – \ \alpha)\)
\(= 2. \sin{\alpha}. \cot{\alpha} \ – \ (\ – \ \cos{\alpha}). \tan{\alpha}. (\ – \ \cot{\alpha})\)
\(= 2 \sin{\alpha}. \cot{\alpha} \ – \ \cos{\alpha}. \tan{\alpha}. \cot{\alpha}\)
\(= 2. \sin{\alpha}. \displaystyle \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} \ – \ \cos{\alpha}. (\tan{\alpha}. \cot{\alpha})\)
\(= 2 \cos{\alpha} \ – \ \cos{\alpha}. 1\)
\(= \cos{\alpha}\).
\(\)
Bài \(3.3\). Chứng minh các hệ thức sau:
\(a)\) \(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\);
\(b)\) \(1 + \tan^2{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\cos^2{\alpha}}\) \((\alpha \neq 90^o)\);
\(c)\) \(1 + \cot^2{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\cos^2{\alpha}}\)\((0^o < \alpha < 180^o)\).
Trả lời:
\(a)\)
Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm \(M\) sao cho \(\widehat{xOM} = \alpha\)
Từ \(M\) hạ \(MH \perp Ox, MK \perp Oy\) với \(H \in Ox, K \in Oy\)
Khi đó \(OH = |\cos{\alpha}|, OK = |\sin{\alpha}| = \sin{\alpha}\)
Xét tam giác vuông \(OHK\) vuông tại \(O\) ta có:
\(OH^2 + OK^2 = HK^2\) (định lí Py-ta-go)
Mà \(HK = OM = 1\) (do tứ giác \(OHMK\) là hình chữ nhật)
Suy ra: \(OH^2 + OK^2 = 1\)
Hay \(|\cos{\alpha}|^2 + (\sin{\alpha})^2 = 1\)
\(\Leftrightarrow \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\) (đpcm)
\(b)\) Ta có:
\(1 + \tan^2{\alpha} = 1 + \left(\displaystyle \frac{sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\right)^2\)
\(= 1 + \displaystyle \frac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}^2 = \displaystyle \frac{\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{\cos^2{\alpha}} (\alpha \neq 90^o)\) (đpcm)
\(c)\) Ta có:
\(1 + \cot^2{\alpha} = 1 + \left(\displaystyle \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} \right)^2 = 1 + \displaystyle \frac{\cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}}\)
\(= \displaystyle \frac{\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} = \displaystyle \frac{1}{\sin^2{\alpha}} (0^o < \alpha < 180^o)\) (đpcm)
\(\)
Bài \(3.4\). Cho góc \(\alpha (0^o < \alpha < 180^o)\) thoả mãn \(\tan{\alpha} = 3\).
Tính giá trị của biểu thức: \(P = \displaystyle \frac{2 \sin{\alpha} \ – \ 3 \cos{\alpha}}{3 \sin{\alpha} + 2 \cos{\alpha}}\).
Trả lời:
Ta có: \(\tan{\alpha} = 3\) tức là \(\tan{\alpha}\) xác định nên \(\cos{\alpha} \neq 0\)
Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \(\cos{\alpha}\) ta được:
\(P = \displaystyle \frac{2\displaystyle \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \ – \ 3}{3\displaystyle \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} + 2} = \displaystyle \frac{2 \tan{\alpha} \ – \ 3}{3 \tan{\alpha} + 2}\)
Thay \(\tan{\alpha} = 3\) vào ta được:
\(P = \displaystyle \frac{2. 3 \ – \ 3}{3. 3 + 2} = \displaystyle \frac{3}{11}\)
Vậy với \(0^o < \alpha < 180^o\) thỏa mãn \(\tan{\alpha} = 3\) thì \(P = \displaystyle \frac{3}{11}\).
BTài 5. Giáị lượng giác ài 5. }Giá trị\) lượng 3. \disp3gi3ác Bài 5. Giá trị lượng giác
Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-tap-cuoi-chuong-ii-3/
Xem bài giải tiếp theo: https://bumbii.com/bai-6-he-thuc-luong-trong-tam-giac/
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-bai-tap-sgk-toan-lop-10-nxb-ket-noi-tri-thuc-voi-cuoc-song/
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.