Bài \(5\). Dãy số trang \(42\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(2.1\). Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ \(100\) của dãy số \((u_n)\) có số hạng tổng quát cho bởi:
\(a)\) \(u_n = 3n \ – \ 2\);
\(b)\) \(u_n = 3. 2^n\);
\(c)\) \(u_n = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{n}\right)^n\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(u_1 = 3. 1 \ – \ 2 = 1\)
\(u_2 = 3. 2 \ – \ 2 = 4\)
\(u_3 = 3. 3 \ – \ 2 = 7\)
\(u_4 = 3. 4 \ – \ 2 = 10\)
\(u_5 = 3. 5 \ – \ 2 = 13\)
\(u_{100} = 3. 100 \ – \ 2 = 298\)
\(b)\) \(u_1 = 3. 2^1 = 6\).
\(u_2 = 3. 2^2 = 12\)
\(u_3 = 3. 2^3 = 24\)
\(u_4 = 3. 2^4 = 48\)
\(u_5 = 3. 2^5 = 96\)
\(u_{100} = 3. 2^{100}\)
\(c)\) \(u_1 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{1}\right)^1 = 2\)
\(u_2 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 = \displaystyle \frac{9}{4}\)
\(u_3 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{3}\right)^3 = \displaystyle \frac{64}{27}\)
\(u_4 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{4}\right)^4 = \displaystyle \frac{625}{256}\)
\(u_5 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{5}\right)^5 = 2,48832\)
\(u_{100} = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{100}\right)^{100} \approx 2,70481\)
\(\)
Bài \(2.2\). Dãy số \((u_n)\) cho bởi hệ thức \truy hồi \(u_1 = 1; u_n = n. u_{n \ – \ 1}\) với \(n \geq 2\).
\(a)\) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
\(b)\) Dự đoán công thức số hạng tổng quát \(u_n\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(u_1 = 1; u_2 = 2. 1 = 2\)
\(u_3 = 3. 2 = 6\)
\(u_4 = 4. 6 = 24\)
\(u_5 = 5. 24 = 120\)
\(b)\) Ta có: \(u_1 = 1 !\)
\(u_2 = 2 = 2!\)
\(u_3 = 6 = 3!\)
\(u_4 = 24 = 4!\)
\(u_5 = 120 = 5!\)
Suy ra công thức của số hạng tổng quát là:
\(u_n = n!\)
\(\)
Bài \(2.3\). Xét tính tăng, giảm của dãy số \((u_n)\), biết:
\(a)\) \(u_n = 2n \ – \ 1\);
\(b)\) \(u_n = \ – \ 3n + 2\);
\(c)\) \(u_n = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^{n \ – \ 1}}{2^n}\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(u_2 = 2. 2 \ – \ 1 = 3\)
\(u_1 = 2. 1 \ – \ 1 = 1\)
Ta thấy: \(u_2 = 3 > u_1 = 1\)
Suy ra dãy số là dãy số tăng.
\(b)\) \(u_1 = \ – \ 3. 1 + 2 = \ – \ 1\)
\(u_2 = \ – \ 3. 2 + 2 = \ – \ 4\)
Ta thấy \(u_2 < u_1\)
Suy ra dãy số là dãy số giảm.
\(c)\) \(u_1 = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^{1 \ – \ 1}}{2^1} = \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(u_2 = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^{2 \ – \ 1}}{2^2} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{4}\)
Ta thấy \(u_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{4} < u_1 = \displaystyle \frac{1}{2}\)
Suy ra dãy số là dãy số giảm.
\(\)
Bài \(2.4\). Trong các dãy số \((u_n)\) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
\(a)\) \(u_n = n \ – \ 1\);
\(b)\) \(u_n = \displaystyle \frac{n + 1}{n + 2}\);
\(c)\) \(u_n = \sin{n}\);
\(d)\) \(u_n = (\ – \ 1)^{n \ – \ 1}. n^2\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(u_n = n \ – \ 1 \geq 0 \forall n \in \mathbb{N^*}\)
Suy ra dãy số \((u_n)\) bị chặn dưới.
\(b)\) Ta có:
\(u_n = \displaystyle \frac{n + 1}{n + 2} = 1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{n + 2} < 1 \forall n \in \mathbb{N^*}\)
\(u_n = \displaystyle \frac{n + 1}{n + 2} = 1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{n + 2} > 0 \forall n \in \mathbb{N^*}\)
Suy ra dãy số bị chặn.
\(c)\) Ta có: \(\ – \ 1 \leq \sin{n} \leq 1 \forall n \in \mathbb{N^*}\)
Hay \(\ – \ 1 \leq u_n \leq 1 \forall n \in \mathbb{N^*}\)
Vậy dãy số \((u_n)\) bị chặn.
\(d)\) Ta có: \(\ – \ 1 \leq (\ – \ 1)^n \leq 1\)
\(n^2 \geq 1\)
\(\Rightarrow\) Dãy số \((u_n)\) không bị chặn.
\(\)
Bài \(2.5\). Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
\(a)\) Đều chia hết cho \(3\);
\(b)\) Khi chia cho \(4\) dư \(1\).
Trả lời:
\(a)\) Số hạng tổng quát \(u_n = 3n (\forall n \in \mathbb{N^*})\)
\(b)\) Số hạng tổng quát \(u_n = 4n + 1 (\forall n \in \mathbb{N^*})\)
\(\)
Bài \(2.6\) Ông An gửi tiết kiệm \(100\) triệu đồng kì hạn \(1\) tháng với lãi suất \(6 \%\) một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau \(n\) tháng được cho bởi công thức:
\(A_n = 100. \left(1 + \displaystyle \frac{0,06}{12}\right)^n\).
\(a)\) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.
\(b)\) Tìm số tiền ông An nhận được sau \(1\) năm.
Trả lời:
\(a)\) Số tiền ông An nhận được sau \(1\) tháng là:
\(A_1 = 100. \left(1 + \displaystyle \frac{0 06}{12}\right)^1 = 100,5\) (triệu đồng)
Số tiền ông An nhận được sau \(2\) tháng là:
\(A_2 = 100. \left(1 + \displaystyle \frac{0,06}{12}\right)^2 = 101,0025\) (triệu đồng)
\(b)\) Số tiền ông An nhận được sau \(1\) năm là:
\(A_{12} = 100. \left(1 + \displaystyle \frac{0,06}{12}\right)^{12} = 106,1678\) (triệu đồng)
\(\)
Bài \(2.7\). Chị Hương vay trả góp một khoản tiền \(100\) triệu đồng và đồng ý trả dần \(2\) triệu đồng mỗi tháng với lãi suất \(0,8 \%\) số tiền còn lại của mỗi tháng.
Gọi \(A_n (n \in \mathbb{N}\) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau \(n\) tháng.
\(a)\) Tìm lần lượt \(A_0; A_1; A_2; A_3; A_4; A_5, A_6\) để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau \(6\) tháng.
\(b)\) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số \(A_n\).
Trả lời:
Ta có: \(A_0 = 100\) triệu đồng
\(\Rightarrow A_1 = 100 + 100. \displaystyle \frac{0,8}{100} \ – \ 2 = 98,8\) triệu đồng
\(A_2 = 98,8 + 98,8. \displaystyle \frac{0,8}{100} \ – \ 2 = 97,59\) triệu đồng
\(A_3 = 97,59 + 97,59. \displaystyle \frac{0,8}{100} \ – \ 2 = 96,37\) triệu đồng
\(A_4 = 96,37 + 96,37. \displaystyle \frac{0,8}{100} \ – \ 2 = 95,14\) triệu đồng
\(A_5 = 95,14 + 95,14. \displaystyle \frac{0,8}{100} \ – \ 2 = 93,90\) triệu đồng
\(A_6 = 93,90 + 93,90. \displaystyle \frac{0,8}{100} \ – \ 2 = 92,65\) triệu đồng
Vậy sau \(6\) tháng thì số tiền chị Hương còn nợ là \(92,65\) triệu đồng.
\(b)\) Hệ thức truy hồi đối với dãy số \(A_n\) là:
\(A_n = A_{n \ – \ 1} + A_{n \ – \ 1}. 0,008 \ – \ 2\)
\(= 1,008A_{n \ – \ 1} \ – \ 2\) (triệu đồng)
\(\)
Bài 5. Dãy số Bài 5. Dãy số
Xem bài giải trước: Bài tập cuối chương I
Xem bài giải tiếp theo: Cấp số cộng
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.