Bài 4. Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Chương 1 – Bài 4. Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử trang 17 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

22. Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) \(25x^2-\displaystyle\frac{1}{4};\)

b) \(36x^2 + 12xy + y^2;\)

c) \(\displaystyle\frac{x^3}{2}+4;\)

d) \(27y^3 + 27y^2 + 9y + 1.\)

Giải

a) \(25x^2-\displaystyle\frac{1}{4}=(5x)^2-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\) \(=\left(5x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\left(5x+\displaystyle\frac{1}{2}\right).\)

b) \(36x^2 + 12xy + y^2\) \(= (6x)^2 + 2.6.1.xy + y^2\) \(= (6x + y)^2.\)

c) \(\displaystyle\frac{x^3}{2}+4=\displaystyle\frac{1}{2}(x^3+2^3)\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}(x+2)(x^2-2x+4).\)

d) \(27y^3 + 27y^2 + 9y + 1\) \(= (3y)^3 + 3.(3y)^2.1 + 3.3y.1^2 + 1^3\) \(= (3y + 1)^3.\)

\(\)

23. Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) \(x^3(13xy-5)-y^3(5-13xy);\)

b) \(8x^3yz + 12x^2yz + 6xyz + yz.\)

Giải

a) \(x^3(13xy-5)-y^3(5-13xy)\)

\(= x^3(13xy-5) + y^3(13xy-5)\)

\(= (13xy-5)(x^3 + y^3)\)

\(= (13xy-5)(x + y)(x^2-xy + y^2).\)

b) \(8x^3yz + 12x^2yz + 6xyz + yz\)

\(= yz(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1)\)

\(= yz[(2x)^3 + 3.(2x)^2.1 + 3.2x.1^2 + 1^3]\)

\(= yx(2x + 1)^3.\)

\(\)

24. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) \(A=x^2+xy+\displaystyle\frac{y^2}{4}\) biết \(x+\displaystyle\frac{y}{2}=100.\)

b) \(B = 25x^2z-10xyz + y^2z\) biết \(5x-y =-20\) và \(z =-5.\)

c) \(C = x^3yz + 3x^2y^2z + 3xy^3z + y^4z\) biết \(x + y =-0,5\) và \(yz = 8.\)

Giải

a) \(A=x^2+xy+\displaystyle\frac{y^2}{4}\) \(=x^2+2.x.\displaystyle\frac{y}{2}+\left(\displaystyle\frac{y}{2}\right)^2\) \(=\left(x+\displaystyle\frac{y}{2}\right)^2.\)

Do \(x+\displaystyle\frac{y}{2}=100\) nên \(A = 100^2 = 10000.\)

b) \(B = 25x^2z-10xyz + y^2z\)

\(= z(25x^2-10xy + y^2)\)

\(= z[(5x)^2-2.5x.y + y^2]\)

\(= z(5x-y)^2.\)

Do \(5x-y =-20\) và \(z =-5\) nên \(B =-5.(-20)^2 =-2 000.\)

c) \(C = x^3yz + 3x^2y^2z + 3xy^3z + y^4z\)

\(= yz(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)\)

\(= yz(x + y)^3.\)

Do \(x + y =-0,5\) và \(yz = 8\) nên \(C=8.(-0,5)^3=8.\left(-\displaystyle\frac{1}{8}\right)=-1.\)

\(\)

25. Chứng minh biểu thức \(B = x^5-15x^2-x + 5\) chia hết cho \(5\) với mọi số nguyên \(x.\)

Giải

Trước hết, ta chứng minh \((x^5-x)\ ⋮\ 5.\)

Ta có: \(x^5-x = x(x^4-1)\) \(= x(x^2-1)(x^2 + 1)\) \(= x(x-1)(x + 1)(x^2 + 1)\)

• Nếu \(x = 5k\) thì \(x\ ⋮\ 5.\)