Chương 8 – Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác trang 67 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Cánh Diều.
21. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, có hai đường phân giác AD, BE cắt nhau tại O. Tính:
a) Độ dài các đoạn thẳng AE, EC;
b) Khoảng cách từ O đến đường thẳng AC;
c) Độ dài đường phân giác AD (theo đơn vị centimét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười);
d) Diện tích tam giác DOE.
Giải
a) Tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) nên theo định lí Pythagore, ta có:
\(BC^2 = AC^2 + AB^2 =6^2+8^2= 100,\) suy ra \(BC = 10\) cm.
Vì \(BE\) là phân giác nên \(\displaystyle\frac{AE}{EC} = \displaystyle\frac{AB}{BC} = \displaystyle\frac{8}{10} = \displaystyle\frac{4}{5}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{AE}{4} = \displaystyle\frac{EC}{5} = \displaystyle\frac{AE + EC}{4 + 5} = \displaystyle\frac{6}{9} = \displaystyle\frac{2}{3}.\)
Vậy \(AE =\displaystyle\frac{4.2}{3}= \displaystyle\frac{8}{3}\) cm; \(EC = \displaystyle\frac{5.2}{3}=\displaystyle\frac{10}{3}\) cm.
b) Kẻ \(OH\) vuông góc với \(AC\) tại \(H,\) \(OH \bot AC,\) \(BA \bot AC\) nên \(OH\ //\ AB.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{OH}{AB} = \displaystyle\frac{OE}{EB}\) (1).
Tam giác \(AEB\) có \(AO\) là phân giác nên \(\displaystyle\frac{EO}{OB} = \displaystyle\frac{AE}{AB} =\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{8}{3}}{8}= \displaystyle\frac{1}{3}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{EO}{OB+EO} = \displaystyle\frac{1}{3+1}\) hay \(\displaystyle\frac{EO}{EB} = \displaystyle\frac{1}{4}\) (2).
Từ (1) và (2) ta có \(\displaystyle\frac{OH}{AB} = \displaystyle\frac{1}{4},\) suy ra \(OH = 2\) cm.
c) Kẻ \(DK \bot AC,\ DI \bot AB.\)
Khi đó, tứ giác \(AKDI\) có ba góc vuông và đường chéo \(AD\) là đường phân giác của góc \(KAI\) nên tứ giác \(AKDI\) là hình vuông.
Suy ra \(DK = DI.\)
Ta có \(S_{\Delta ABC} = S_{\Delta ADC} + S_{\Delta ADB}\) nên \(\displaystyle\frac{AC.AB}{2} = \displaystyle\frac{AC.DK}{2} + \displaystyle\frac{AB.DI}{2}\) hay \(AC.AB = AC.DK + AB.DI\) \(= \left( {AB + AC} \right).DK\) (do \(DK = DI\)).
Từ đó, ta có: \(DK = \displaystyle\frac{AB.AC}{AB + AC} = \displaystyle\frac{8.6}{8 + 6} = \displaystyle\frac{24}{7}.\)
Tứ giác \(AKDI\) là hình vuông nên \(AD^2 = AK^2 + DK^2\)
Suy ra \(AD^2 = AK^2 + DK^2\) \(= DK^2 + DK^2 = 2DK^2\)
Do đó \(AD = DK\sqrt 2 = \displaystyle\frac{24\sqrt 2 }{7} \approx 4,8\) (cm).
d) Ta có: \(S_{\Delta BAC} = \displaystyle\frac{1}{2}.6.8 = 24\ (cm^2).\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{S_{\Delta BCE}}{S_{\Delta BAC}}= \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}BA.EC}{\displaystyle\frac{1}{2}BA.AC}\) \(= \displaystyle\frac{EC}{AC} = \displaystyle\frac{10}{3}:6 = \displaystyle\frac{5}{9}.\)
Do đó \(S_{\Delta BCE} = \displaystyle\frac{5}{9}.24 = \displaystyle\frac{40}{3}\ (cm^2).\) Tương tự: \(\displaystyle\frac{S_{\Delta DBE}}{S_{\Delta BEC}} = \displaystyle\frac{DB}{BC} = \displaystyle\frac{4}{7}.\)
Suy ra \(S_{\Delta DBE}=\displaystyle\frac{4}{7}.\displaystyle\frac{40}{3} = \displaystyle\frac{160}{21}\ (cm^2).\)
Mà \(\displaystyle\frac{S_{\Delta DOE}}{S_{\Delta DBE}} = \displaystyle\frac{OE}{BE} = \displaystyle\frac{1}{4}\) suy ra \(S_{\Delta DOE} = \displaystyle\frac{1}{4}.\displaystyle\frac{160}{21} = \displaystyle\frac{40}{21}\ (cm^2).\)
\(\)
22. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 74 cm. Đường phân giác của góc A chia cạnh BC thành hai đoạn BD và DC tỉ lệ với 2 và 3, đường phân giác của góc C chia cạnh AB thành hai đoạn EB và EA tỉ lệ với 4 và 5. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Giải
Tam giác ABC có AD là phân giác góc A nên \(\displaystyle\frac{AB}{AC} = \displaystyle\frac{BD}{DC} = \displaystyle\frac{2}{3},\) suy ra \(\displaystyle\frac{AB}{2} = \displaystyle\frac{AC}{3}\) hay \(\displaystyle\frac{AB}{10} = \displaystyle\frac{AC}{15}\) (1)
CE là phân giác góc C nên \(\displaystyle\frac{BC}{AC} = \displaystyle\frac{EB}{EA} = \displaystyle\frac{4}{5},\) suy ra \(\displaystyle\frac{BC}{4} = \displaystyle\frac{AC}{5}\) hay \(\displaystyle\frac{BC}{12} = \displaystyle\frac{AC}{15}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\displaystyle\frac{AB}{10} = \displaystyle\frac{BC}{12} = \displaystyle\frac{AC}{15}.\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\displaystyle\frac{AB}{10} = \displaystyle\frac{BC}{12} = \displaystyle\frac{AC}{15} = \displaystyle\frac{AB+ BC + AC}{10+ 12 + 15}\) \(= \displaystyle\frac{74}{37} = 2.\)
Vậy \(AB = 2.10 = 20\) cm; \(BC = 2.12 = 24\) cm; \(AC = 2.15 = 30\) cm.
\(\)
23. Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác của góc A cắt BD tại E, đường phân giác của góc B cắt AC tại F. Chứng minh:
a) \(\displaystyle\frac{BE}{ED}=\displaystyle\frac{AF}{FC};\)
b) EF // AB.
Giải
a) Tam giác ABD có AE là đường phân giác của góc A nên \(\displaystyle\frac{BE}{ED}=\displaystyle\frac{AB}{AD}\) (1).
Tam giác ABC có BF là đường phân giác của góc B nên \(\displaystyle\frac{AF}{FC}=\displaystyle\frac{AB}{AD}\) (2).
Vì AD = BC (ABCD là hình bình hành) nên từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle\frac{BE}{ED}=\displaystyle\frac{AF}{FC}.\)
b) Ta có: \(\displaystyle\frac{BE}{ED}=\displaystyle\frac{AF}{FC}\) suy ra \(\displaystyle\frac{BE+ED}{ED}=\displaystyle\frac{AF+FC}{FC}\) hay \(\displaystyle\frac{BD}{ED}=\displaystyle\frac{AC}{FC}\) hay \(\displaystyle\frac{2OD}{ED}=\displaystyle\frac{2OC}{FC},\) suy ra \(\displaystyle\frac{OD}{ED}=\displaystyle\frac{OC}{FC}.\)
Tam giác ODC có \(\displaystyle\frac{OD}{ED}=\displaystyle\frac{OC}{FC}\) nên EF // CD (định lí Thalès đảo).
Mà AB // CD (do ABCD là hình bình hành)
Do đó EF // AB.
\(\)
24. Cho tam giác ABC có đường phân giác AD và AB = 6 cm, AC = 9 cm. Đường trung trực của đoạn AD cắt cạnh AC tại E. Tính độ đài của đoạn thẳng DE.
Giải
Đường trung trực cảu đoạn \(AD\) cắt \(AC\) tại \(E\) nên tam giác \(AED\) cân tại \(E.\)
Do đó \(\widehat {EDA} = \widehat {EAD}.\) Mà \(\widehat {EAD} = \widehat {DAB}\) (\(AD\) là đường phân giác của tam giác \(ABC\)), suy ra: \(\widehat {EDA} = \widehat {DAB}.\)
Lại có hai góc \(\widehat {EDA},\ \widehat {DAB}\) ở vị trí so le trong nên \(DE\ //\ AB.\)
tam giác ABC có DE // AB nên \(\displaystyle\frac{{ED}}{{AB}} = \displaystyle\frac{{DC}}{{BC}}\) (hệ quả của định lí Thalès).
Mặt khác do AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\displaystyle\frac{{DC}}{{DB}} = \displaystyle\frac{{AC}}{{AB}} = \displaystyle\frac{9}{6} = \displaystyle\frac{3}{2}\) nên \(\displaystyle\frac{{DC}}{{DC + DB}} = \displaystyle\frac{3}{{3 + 2}} = \displaystyle\frac{3}{5}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{{DC}}{{BC}} = \displaystyle\frac{3}{5},\) do đó \(\displaystyle\frac{{ED}}{{AB}} = \displaystyle\frac{3}{5}.\)
Vậy \(ED = \displaystyle\frac{3}{5}.6 = 3,6\) (cm).
\(\)
25. Một người đứng ở vị trí M trên cây cầu bắc qua con kênh quan sát ba điểm thẳng hàng A, B, D lần lượt là chân hai cột đèn trồng ở bờ kênh và chân cầu (Hình 26). Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm A, D thì bằng góc nhìn đến hai điểm B, D, tức là \(\widehat{AMD}=\widehat{BMD}.\) Người đó muốn ước lượng tỉ số khoảng cách từ vị trí M đang đứng đến điểm A và đến điểm B mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó. Hỏi có thể ước lượng tỉ số đó được hay không?
Giải
Từ giả thiết ta có \(\widehat{AMD}=\widehat{BMD},\) suy ra MD là phân giác của góc AMB. Do đó \(\displaystyle\frac{MA}{MB}=\displaystyle\frac{DA}{DB}.\)
Vậy người đó có thể ước lượng được tỉ số khoảng cách từ vị trí M đang đứng đến điểm A và đến điểm B mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó bằng cách đo các khoảng cách DA, DB và tính \(\displaystyle\frac{DA}{DB}.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 3: Đường trung bình của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 5: Tam giác đồng dạng
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
