Bài 4: Phép nhân đa thức một biến

Chương 6 – Bài 4: Phép nhân đa thức một biến trang 49 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

31. Tính:

a) \(\displaystyle\frac{1}{4}x.\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^2\right).\left(-\displaystyle\frac{4}{5}x^3\right);\)

b) \(0,5x^{m + 1} . 0,8x^{m-1}\ (m ∈ ℕ,\ m ≥ 1);\)

c) \(\left(x^2-3x+\displaystyle\frac{1}{4}\right)(-3x^3);\)

d) \((x-2)(x^2 + x-1)-x(x^2-1).\)

Giải

a) \(\displaystyle\frac{1}{4}x.\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^2\right).\left(-\displaystyle\frac{4}{5}x^3\right)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}.\displaystyle\frac{1}{2}.\left(-\displaystyle\frac{4}{5}\right) . x . x^2 . x^3\)

\(= -\displaystyle\frac{1}{10}x^6.\)

b) \(0,5x^{m + 1} . 0,8x^{m-1}\)

\(= 0,5 . 0,8 . x^{m + 1} . x^{m-1}\)

\(= 0,4x^{m + 1} + m-1\)

\(= 0,4x^{2m}.\)

c) \(\left(x^2-3x+\displaystyle\frac{1}{4}\right)(-3x^3)\)

\(= x^2 . (-3x^3)-3x . (-3x^3) + \displaystyle\frac{1}{4} . (-3x^3)\)

\(= -3x^5 + 9x^4-\displaystyle\frac{3}{4}x^3.\)

d) \((x-2)(x^2 + x-1)-x(x^2-1)\)

\(= x(x^2 + x-1)-2(x^2 + x-1)-x . x^2 -x . (-1)\)

\(= x^3 + x^2-x-2x^2-2x + 2-x^3 + x\)

\(= (x^3-x^3) + (x^2-2x^2) + (-x-2x + x) + 2\)

\(= -x^2-2x + 2.\)

\(\)

32. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) \((x + 0,5)(x^2 + 2x-0,5) = x^3 + 2,5x^2-0,5x-0,25.\)

b) \((x + 0,5)(x-0,5) = x^2-0,25.\)

c) \(\displaystyle\frac{1}{2}x^3(2x-1)\left(\displaystyle\frac{1}{4}x+1\right)=\displaystyle\frac{1}{5}x^5-\displaystyle\frac{7}{5}x^4-\displaystyle\frac{1}{2}x^3.\)

Giải

a) \((x + 0,5)(x^2 + 2x-0,5)\)

\(= x . (x^2 + 2x-0,5) + 0,5 . (x^2 + 2x-0,5)\)

\(= x^3 + 2x^2-0,5x + 0,5x^2 + x-0,25\)

\(= x^3 + (2x^2 + 0,5x^2) + (- 0,5x + x) + 0,25\)

\(= x^3 + 2,5x^2 + 0,5x-0,25.\)

Vậy phát biểu a) là sai.

b) \((x + 0,5)(x-0,5)\)

\(= x . (x-0,5) + 0,5 . (x-0,5)\)

\(= x^2-0,5x + 0,5x-0,25\)

\(= x^2-0,25.\)

Vậy phát biểu b) là đúng.

c) \(\displaystyle\frac{1}{2}x^3(2x-1)\left(\displaystyle\frac{1}{4}x+1\right)\)

\(=\left(x^4-\displaystyle\frac{1}{2}x^3\right)\left(\displaystyle\frac{1}{4}x+1\right)\)

\(=x^4.\left(\displaystyle\frac{1}{4}x+1\right)-\displaystyle\frac{1}{2}x^3.\left(\displaystyle\frac{1}{4}x+1\right)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}x^5+x^4-\displaystyle\frac{1}{8}x^4-\displaystyle\frac{1}{2}x^3\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}x^5+\left(x^4-\displaystyle\frac{1}{8}x^4\right)-\displaystyle\frac{1}{2}x^3\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}x^5+\displaystyle\frac{7}{8}x^4-\displaystyle\frac{1}{2}x^3.\)

Vậy phát biểu c) là sai.

\(\)

33. Chứng tỏ rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

a) \(x(2x + 1)-x^2(x + 2) + (x^3-x + 3);\)

b) \(0,2(5x-3)-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{2}{3}x+6\right)+\displaystyle\frac{2}{3}(3-x);\)

c) \((2x-9)(2x + 9)-4x^2;\)

d) \((x^2 + 3x + 9)(x-3)-(x^3 + 23).\)

Giải

a) \(x(2x + 1)-x^2(x + 2) + (x^3-x + 3)\)

\(= 2x^2 + x-x^3-2x^2 + x^3-x + 3\)

\(= (- x^3 + x^3) + (2x^2-2x^2) + (x-x) + 3\)

\(= 3.\)

Giá trị biểu thức là hằng số (bằng 3) nên không phụ thuộc vào biến.

b) \(0,2(5x-3)-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{2}{3}x+6\right)+\displaystyle\frac{2}{3}(3-x)\)

\(= x-0,6-\displaystyle\frac{1}{3}x-3 + 2-\displaystyle\frac{2}{3}x\)

\(=\left(x-\displaystyle\frac{1}{3}x-\displaystyle\frac{2}{3}x\right)+(-0,6-3 + 2)\)

\(= -1,6.\)

Giá trị biểu thức là hằng số (bằng -1,6) nên không phụ thuộc vào biến.

c) \((2x-9)(2x + 9)-4x^2\)

\(= 2x . (2x + 9)-9 . (2x + 9)-4x^2\)

\(= 2x . 2x + 2x . 9-9 . 2x-9 . 9-4x^2\)

\(= 4x^2 + 18x-18x-81-4x^2\)

\(= (4x^2-4x^2) + (18x-18x)-81\)

\(=-81.\)

Giá trị biểu thức là hằng số (bằng -81) nên không phụ thuộc vào biến.

d) \((x^2 + 3x + 9)(x-3)-(x^3 + 23)\)

\(= x^2 . (x-3) + 3x . (x-3) + 9 . (x-3)-x^3-23\)

\(= x^2 . x-x^2 . 3 + 3x . x-3x . 3 + 9 . x-9 . 3-x^3-23\)

\(= x^3-3x^2 + 3x^2-9x + 9x-27-x^3-23\)

\(= (x^3-x^3) + (- 3x^2 + 3x^2) + (- 9x + 9x) + (- 27-23)\)

\(=-50.\)

Giá trị biểu thức là hằng số (bằng -50) nên không phụ thuộc vào biến.

\(\)

34. Chứng minh:

a) \((x + 1)(x^2-x + 1) = x^3-1.\)

b) \((x^3 + x^2 + x + 1)(x-1) = x^4-1.\)

c) \((x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab\) (với \(a,\ b\) là số thực).

Giải

a) \((x + 1)(x^2-x + 1)\)

\(= x . (x^2-x + 1) + 1 . (x^2-x + 1)\)

\(= x^3-x^2 + x + x^2- x + 1\)

\(= x^3 + (- x^2 + x^2) + (x-x) + 1\)

\(= x^3-1.\)

Vậy \((x + 1)(x^2-x + 1) = x^3-1.\)

b) \((x^3 + x^2 + x + 1)(x-1)\)

\(= x^3 . (x-1) + x^2 . (x-1) + x . (x-1) + 1. (x-1)\)

\(= x^4-x^3 + x^3-x^2 + x^2-x + x-1\)

\(= x^4 + (- x^3 + x^3) + (- x^2 + x^2) + (- x + x)-1\)

\(= x^4-1.\)

Vậy \((x^3 + x^2 + x + 1)(x-1) = x^4-1.\)

c) \((x + a)(x + b)\)

\(= x . (x + b) + a . (x + b)\)

\(= x^2 + (bx + ax) + ab\)

\(= x^2 + (a + b)x + ab.\)

Vậy \((x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab\) (với \(a,\ b\) là số thực).

\(\)

35. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) \(3(2x-1) + 5(3-x)\) tại \(x=-\displaystyle\frac{3}{2};\)

b) \(2x(6x-1)-3x(4x-1)\) tại \(x =-2\ 022;\)

c) \((x-2)(x^2 + x + 1)-x(x^2-1)\) tại \(x = 0,25;\)

d) \(2x^2 + 3(x-1)(x + 1)\) tại \(x=\displaystyle\frac{1}{3}.\)

Giải

a) Ta có: \(3(2x-1) + 5(3-x)\)

\(= 6x-3 + 15-5x\)

\(= x + 12.\)

Với \(x =-\displaystyle\frac{3}{2}\) thì giá trị biểu thức là: \(-\displaystyle\frac{3}{2} + 12 = \displaystyle\frac{21}{2}.\)

b) Ta có: \(2x(6x-1)-3x(4x-1)\)

\(= 12x^2-2x-12x^2 + 3x=x.\)

Với \(x =-2\ 022\) thì giá trị biểu thức là: \(-2\ 022.\)

c) Ta có: \((x-2)(x^2 + x + 1)-x(x^2-1)\)

\(= x . (x^2 + x + 1)-2 . (x^2 + x + 1)-x . x^2-x . (-1)\)

\(= x^3 + x^2 + x-2x^2-2x-2-x^3 + x\)

\(=-x^2-2.\)

Với \(x = 0,25\) thì giá trị biểu thức là: \(-(0,25)^2-2 = -0,0625-2 = -2,0625.\)

d) Ta có: \(2x^2 + 3(x-1)(x + 1)\)

\(= 2x^2 + (3x-3)(x + 1)\)

\(= 2x^2 + 3x . (x + 1)-3 . (x + 1)\)

\(= 2x^2 + 3x^2 + 3x-3x-3\)

\(= 5x^2-3.\)

Với \(x = \displaystyle\frac{1}{3}\) thì giá trị biểu thức là: \(5.\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2-3=\displaystyle\frac{5}{9}-3=-\displaystyle\frac{22}{9}.\)

\(\)

36. Xét đa thức \(P(x) = (2x^2 + a)(2x^3-3)-5a(x + 3) + 1\) (với \(a\) là một số).

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức \(P(x)\) theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm \(a\) sao cho tổng các hệ số của đa thức \(P(x)\) bằng \(-37.\)

Giải

a) \(P(x) = (2x^2 + a)(2x^3-3)-5a(x + 3) + 1\)

\(= 2x^2 . (2x^3-3) + a . (2x^3-3)-5a . x-5a . 3 + 1\)

\(= 4x^5-6x^2 + 2ax^3-3a-5ax-15a + 1\)

\(= 4x^5 + 2ax^3-6x^2-5ax-18a + 1\)

b) Tổng các hệ số của đa thức P(x) tính theo \(a\) là:

\(4 + 2a + (-6) + (-5a) + (-18a) + 1=-21a-1.\)

Do đó \(-21a-1 =-37.\)

Suy ra \(a = \displaystyle\frac{36}{21}=\displaystyle\frac{12}{7}.\)

\(\)

37. Bể cá cảnh nhà bạn Khôi có dạng lập phương với độ dài cạnh x (dm). Ban đầu mực nước ở bể cao x – 1 (dm), bạn Khôi đặt một khối đá núi cảnh chìm vào nước trong bể thì mực nước ở bể cao thêm 0,5 dm.

a) Tính thể tích nước có ở bể lúc đầu theo x.

b) Tính thể tích khối đá mà bạn Khôi thả chìm vào nước trong bể theo x.

c) Tính thể tích nước và khối đá mà bạn Khôi thả chìm vào nước trong bể theo x.

Giải

a) Thể tích nước có ở bể lúc đầu là:

\(x . x . (x-1) = x^2 . (x-1) = x^3-x^2\ (dm^3).\)

b) Thể tích khối đá mà bạn Khôi thả chìm vào nước trong bể là:

\(x . x . 0,5 = 0,5x^2\ (dm^3).\)

c) Thể tích nước và khối đá mà bạn Khôi thả chìm vào nước trong bể là:

\(x^3-x^2 + 0,5x^2\) \(= x^3-0,5x^2\ (dm^3).\)

\(\)

38. Bác Na có mảnh đất được mô tả như Hình 4.

Bác chia mảnh đất đó thành các khu vực: khu trồng rau là hình thang ABDH (AB // DH, AK ⊥ HD), khu trồng cây ăn quả là tam giác BCD và khu chăn nuôi là hình chữ nhật HDEG. Tính diện tích của mảnh đất đó theo các kích thước AB = x (m), BC = x (m), CD = x (m), DE = 5 (m), EG = x + 4,5 (m), AK = 6 (m).

Giải

Diện tích hình thang ABDH là:

\(\displaystyle\frac{ 6. [x + (x + 4,5)]}{2}\) \(= 3 . (2x + 4,5) = 6x + 13,5\ (m^2).\)

Ddiện tích tam giác BCD là:

\(\displaystyle\frac{x . x}{2} = \displaystyle\frac{1}{2}x^2\ (m^2).\)

Diện tích hình chữ nhật HDEG là:

\(5 . (x + 4,5) = 5x + 22,5\ (m^2).\)

Diện tích của mảnh đất đó là:

\((6x + 13,5) + \displaystyle\frac{1}{2}x^2 + (5x + 22,5)\)

\(= \displaystyle\frac{1}{2}x^2 + 11x + 36\ (m^2).\)

\(\)

39. Từ một tấm bìa có dạng hình chữ nhật với độ dài các cạnh là 37 cm và 27 cm, người ta cắt đi ở bốn góc của tấm bìa bốn hình vuông cạnh là x cm và xếp phần còn lại thành một hình hộp chữ nhật không nắp.

a) Tính diện tích xung quanh S(x) của hình hộp chữ nhật trên theo x.

b) Tính giá trị của S(x) tại x = 2.

Giải

a) Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó là:

\(S(x) = 2. [(37-2x) + (27-2x)] . x\)

\(= 2x . (64-4x) = 128x-8x^2\ (cm^2).\)

b) Thay \(x = 2\) vào \(S(x) = 128x-8x^2\) ta được:

\(S(2) = 128 . 2-8 . 22 = 256-32 = 224\ (cm^2).\)

\(\)

40. Một ngôi nhà có 4 ô cửa sổ, mỗi ô cửa sổ được mô tả như Hình 5 gồm một hình chữ nhật có độ dài các cạnh là x (m), x + 2 (m) và một nửa hình tròn. Người ta muốn ốp kính cường lực cho các ô cửa sổ đó. Hỏi cần bao nhiêu mét vuông kính (lấy π = 3,14)? Biết diện tích của phần khung gỗ là 0,42 m².

Giải

Diện tích của phần cửa có dạng hình chữ nhật là: \(x(x + 2) = x^2 + 2x\ (m^2).\)

Cửa có dạng hình tròn có đường kính là \(x\) (m) nên bán kính bằng \(\displaystyle\frac{x}{2}\) (m).

Diện tích của phần cửa có dạng nửa hình tròn là:

\(\displaystyle\frac{1}{2}.\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)^2.3,14 = 0,3925x^2\ (m^2).\)

Diện tích của một ô cửa sổ là:

\((x^2 + 2x) + 0,3925x^2 = 1,3925x^2 + 2x\ (m^2).\)

Số mét vuông kính cần sử dụng để ốp cho 4 ô cửa sổ là:

\(4 . (1,3925x^2 + 2x-0,42) = 5,57x^2 + 8x-1,68\ (m^2).\)

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 3: Phép cộng, phép trừ đa thức một biến

Xem bài giải tiếp theo: Bài 5: Phép chia đa thức một biến