Bài 4: Phép nhân đa thức một biến

Chương 6 – Bài 4: Phép nhân đa thức một biến trang 59 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Tính:

a) \(\displaystyle\frac{1}{2}x^2.\displaystyle\frac{6}{5}x^3;\)

b) \(y^2\left(\displaystyle\frac{5}{7}y^3-2y^2+0,25\right);\)

c) \((2x^2 + x + 4)(x^2-x-1);\)

d) \((3x-4)(2x + 1)-(x-2)(6x + 3).\)

Giải

a) \(\displaystyle\frac{1}{2}x^2.\displaystyle\frac{6}{5}x^3=\displaystyle\frac{1}{2}.\displaystyle\frac{6}{5}.x^2.x^3=\displaystyle\frac{3}{5}x^5.\)

b) \(y^2\left(\displaystyle\frac{5}{7}y^3-2y^2+0,25\right)\)

\(=y^2.\displaystyle\frac{5}{7}y^3-y^2.2y^2+y^2.0,25\)

\(=\displaystyle\frac{5}{7}y^5-2y^4+0,25y^2.\)

c) \((2x^2 + x + 4)(x^2-x-1)\)

\(= 2x^2 . x^2-2x^2 . x-2x^2 . 1 + x . x^2-x . x-x . 1 + 4 . x^2-4 . x-4 . 1\)

\(= 2x^4-2x^3-2x^2 + x^3-x^2-x + 4x^2-4x-4\)

\(= 2x^4 + (-2x^3 + x^3) + (-2x^2-x^2+ 4x^2)+ (-x-4x)-4\)

\(= 2x^4-x^3 + x^2-5x – 4.\)

d) \((3x-4)(2x + 1)-(x-2)(6x + 3)\)

\(= (3x . 2x + 3x . 1-4 . 2x-4 . 1)-(x . 6x + x . 3-2 . 6x-2 . 3)\)

\(= 6x^2 + 3x-8x-4-(6x^2 + 3x-12x – 6)\)

\(= 6x^2 + 3x-8x-4-6x^2-3x + 12x + 6\)

\(= (6x^2-6x^2) + (3x-8x-3x + 12x) + 6-4\)

\(= 4x + 2.\)

\(\)

2. Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) \(P(x) = (-2x^2-3x + x-1)(3x^2-x-2);\)

b) \(Q(x) = (x^5-5)(-2x^6-x^3 + 3).\)

Giải

a) \(P(x) = (-2x^2-3x + x-1)(3x^2-x-2)\)

\(= (-2x^2-2x-1)(3x^2-x-2)\)

\(=-2x^2.3x^2-(-2x^2).x-(-2x^2).2-2x.3x^2-2x.(-x)\) \(-2x.(-2)-1.3x^2-1.(-x)-1.(-2)\)

\(=-6x^4 + 2x^3 + 4x^2-6x^3 + 2x^2 + 4x-3x^2 + x + 2\)

\(=-6x^4 + (2x^3-6x^3) + (4x^2 + 2x^2-3x^2) + (4x + x) + 2\)

\(=-6x^4-4x^3 + 3x^2 + 5x + 2.\)

Vậy đa thức P(x) có bậc là \(4,\) hệ số cao nhất là \(-6\) và hệ số tự do là \(2.\)

b) \(Q(x) = (x^5-5)(-2x^6-x^3 + 3)\)

\(= x^5 . (-2x^6)-x^5 . x^3 + x^5 . 3-5 . (-2x^6)-5 . (-x^3)-5 . 3\)

\(=-2x^{11}-x^8 + 10x^6 + 3x^5 + 5x^3-15.\)

Vậy đa thức Q(x) có bậc là \(11,\) hệ số cao nhất là \(-2\) và hệ số tự do là \(-15.\)

\(\)

3. Xét đa thức \(P(x) = x^2(x^2 + x + 1)-3x(x-a) + \displaystyle\frac{1}{4}\) (với a là một số).

a) Thu gọn đa thức P(x) rồi sắp xếp đa thức đó theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng \(\displaystyle\frac{5}{2}.\)

Giải

\(P(x) = x^2(x^2 + x + 1)-3x(x-a) + \displaystyle\frac{1}{4}\)

\(= x^4 + x^3 + x^2-(3x^2-3ax) + \displaystyle\frac{1}{4}\)

\(= x^4 + x^3 + x^2-3x^2 + 3ax + \displaystyle\frac{1}{4}\)

\(= x^4 + x^3-2x^2 + 3ax + \displaystyle\frac{1}{4}.\)

b) Các hệ số có trong đa thức P(x) là: \(1;\ 1;\ -2;\ 3a;\ \displaystyle\frac{1}{4}.\)

Tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng \(\displaystyle\frac{5}{2}\) nên:

\(1 + 1 + (-2) + 3a + \displaystyle\frac{1}{4} = \displaystyle\frac{5}{2}\)

\(3a + \displaystyle\frac{1}{4} =\displaystyle\frac{5}{2}\)

\(3a = \displaystyle\frac{9}{4}\)

\(a = \displaystyle\frac{3}{4}.\)

\(\)

4. Từ tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 20 cm và 30 cm, bạn Quân cắt đi ở mỗi góc của tấm bìa một hình vuông sao cho bốn hình vuông bị cắt đi có cùng độ dài cạnh, sau đó gấp lại để tạo thành hình hộp chữ nhật không nắp (Hình 5). Viết đa thức biểu diễn thể tích của hình hộp chữ nhật được tạo thành theo độ dài cạnh của hình vuông bị cắt đi.