Bài 4. Hình bình hành - Hình thoi

Chương 3 – Bài 4. Hình bình hành – Hình thoi trang 65 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Chân Trời Sáng Tạo.

1. Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O, vẽ một đường thẳng cắt AB và CD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng O là trung điểm của MN.

Giải

Xét \(\Delta DON\) và \(\Delta BOM,\) ta có:

\(\widehat{ODN}=\widehat{OBM}\) (hai góc so le trong);

OD = OB (tính chất đường chéo của hình bình hành);

\(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\) (hai góc đối đỉnh).

Suy ra \(\Delta DON = \Delta BOM\) (g.c.g).

Do đó OM = ON (hai cạnh tương ứng).

Vậy O là trung điểm của MN.

\(\)

2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và C đến BD.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) Gọi M là giao điểm của AK và BC, N là giao điểm của CH và AD. Chứng minh AN = CM.

c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh M, O, N thẳng hàng.

Giải

a) Vì AB // CD nên \(\widehat{ABD}=\widehat{CDB}\) (hai góc so le trong) suy ra \(\widehat{ABH}=\widehat{CDK}.\)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H và \(\Delta CKD\) vuông tại K, ta có:

AB = CD (do ABCD là hình bình hành);

\(\widehat{ABH}=\widehat{CDK}\) (chứng minh trên).

Suy ra \(\Delta AHB = \Delta CKD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có: AH ⊥ BD, CK ⊥ BD suy ra AH // CK.

Tứ giác AHCK có: AH // CK, AH = CK nên là hình bình hành.

b) Vì AHCK là hình bình hành nên AK // CH, suy ra AM // CN. (1)

Hơn nữa, ABCD là hình bình hành và N ∈ AD, M ∈ BC nên AN // CM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra ANCM là hình bình hành.

Vậy AN = CM.

c) Tứ giác AHCK là hình bình hành có hai đường chéo AC, HK cắt nhau tại trung điểm O của HK nên O cũng là trung điểm của AC.

Tứ giác ANCM là hình bình hành có hai đường chéo AC, NM cắt nhau tại trung điểm O của AC nên O cũng là trung điểm của MN.

Vậy M, O, N thẳng hàng.

\(\)

3. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD, lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = CN. Gọi O là giao điểm của MN và AC. Chứng minh rằng ba điểm B, O, D thẳng hàng.

Giải

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, suy ra \(\widehat{AMO}=\widehat{CNO};\) \(\widehat{MAO}=\widehat{NCO}\) (các cặp góc so le trong).

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta CON\) ta có:

\(\widehat{AMO}=\widehat{CNO}\) (chứng minh trên);

AM = CN (giả thiết);

\(\widehat{MAO}=\widehat{NCO}\) (chứng minh trên).

Do đó \(\Delta AOM = \Delta CON\) (g.c.g).

Suy ra OA = OC (hai cạnh tương ứng).

Xét hình bình hành ABCD có O là trung điểm của đường chéo AC nên O cũng là trung điểm của đường chéo BD.

Do đó ba điểm B, O, D thẳng hàng.

\(\)

4. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho BM = DN = \(\displaystyle\frac{1}{3}\)BD.

a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta CND.\)

b) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng AM = 2MI.

d) Gọi K là giao điểm của CN và AD. Chứng minh I và K đối xứng với nhau qua O.

Giải

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.

Suy ra \(\widehat{ABM}=\widehat{CDN}\) (hai góc so le trong).

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta CND,\) ta có:

AB = CD (chứng minh trên);

\(\widehat{ABM}=\widehat{CDN}\) (chứng minh trên);

BM = DN (giả thiết).

Suy ra \(\Delta AMB = \Delta CND\) (c.g.c).

b) Ta có \(\Delta AMB = \Delta CND\) (theo câu a), suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta CDM,\) ta có:

AB = CD (chứng minh trên);

\(\widehat{ABN}=\widehat{CDM};\)

BN = DM (\(=\displaystyle\frac{2}{3}\)BD).

Suy ra \(\Delta ABN = \Delta CDM\) (c.g.c), suy ra AN = CM (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Vì AMCN là hình bình hành nên OA = OC.

\(\Delta ABC\) có OA = OC, suy ra BO là đường trung tuyến của\(\Delta ABC.\)

Ta lại có: \(BM=\displaystyle\frac{1}{3}BD,\) \(BO=\displaystyle\frac{1}{2}BD.\)

Suy ra \(BM=\displaystyle\frac{2}{3}BO,\) do đó M là trọng tâm \(\Delta ABC.\)

Khi đó \(AM=\displaystyle\frac{2}{3}AI,\ MI=\displaystyle\frac{1}{3}AI.\) Vậy AM = 2MI.

d) Vì AMCN là hình bình hành nên AM // CN, mà M ∈ AI, N ∈ CK, nên AI // CK. (3)

Hơn nữa, AD // BC, K ∈ AD, I ∈ BC, nên AK // CI (4)

Từ (3), (4) suy ra AKCI là hình bình hành.

Mà O là trung điểm của AC, suy ra O cũng là trung điểm của KI hay I và K đối xứng nhau qua O.

\(\)

5. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MDCN là hình thoi;

b) Tam giác EMC là tam giác cân;

c) \(\widehat{BAD}=2\widehat{AEM}.\)

Giải

a) Ta có: MF ⊥ CE, AB ⊥ CE, suy ra MN // AB // CD.

Xét tứ giác MDCN ta có: MD // CN (do AD // BC; M ∈ AD, N ∈ BC) và MN // CD (chứng minh trên).

Do đó tứ giác MDCN là hình bình hành.

Mặt khác MD \(=\displaystyle\frac{1}{2}\)AD (vì M là trung điểm của AD).

Lại có AD = 2AB và AB = CD (do ABCD là hình bình hành) nên CD = AB \(=\displaystyle\frac{1}{2}\)AD.

Do đó MD = CD.

Suy ra hình bình hành MDCN là hình thoi.

b) Xét tứ giác ADCE ta có AE // CD (theo câu a).

Do đó, tứ giác ADCE là hình thang với hai đáy AE và CD.

Xét hình thang ADCE có:

M là trung điểm AD (giả thiết);

AE // MF // CD (theo câu a).

Theo chứng minh ở Bài 5, trang 63 ta có: F là trung điểm của CE.

Xét \(\Delta EMC\) có MF là đường trung tuyến ứng với cạnh CE và MF ⊥ CE (giả thiết).

Do đó \(\Delta EMC\) cân tại M.

c) Tứ giác MDCN là hình thoi nên \(\widehat{NMD}=2\widehat{NMC}\) (tính chất đường chéo của hình thoi).

Mà \(\Delta EMC\) cân tại M nên \(\widehat{EMF}=\widehat{CMF}.\)

Ta có \(\widehat{BAD}=\widehat{NMD}=2\widehat{NMC}=2\widehat{EMF}.\) (1)

Ta lại có \(\widehat{AEM}=\widehat{EMF}\) (hai góc so le trong). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{BAD}=2\widehat{AEM}.\)

\(\)

6. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ hình bình hành AECF (E ∈ AB, F ∈ CD). Chứng minh rằng ba đường thẳng EF, AC, BD đồng quy.

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD. (1)

Xét hình bình hành AECF có O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba đường thẳng EF, AC, BD đồng quy tại O.

\(\)

7. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Giải

Xét \(\Delta ABD\) ta có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, ta có MN // AD và \(MN=\displaystyle\frac{AD}{2}.\)

Xét \(\Delta ACD\) ta có P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AC (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, ta có PQ // AD và \(PQ=\displaystyle\frac{AD}{2}.\)

Xét tứ giác MNPQ ta có MN // PQ (vì cùng song song với AD) và \(MN=PQ\ (=\displaystyle\frac{AD}{2}).\)

Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

\(\)

8. Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và OD. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.

Giải