Bài \(4\). Hai mặt phẳng vuông góc trang \(95\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Quan sát ba mặt phẳng \((P), (Q), (R)\) ở Hình \(57\), chỉ ra hai cặp mặt phẳng mà mỗi cặp gồm hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy sử dụng kí hiệu để viết những kết quả đó.
Trả lời:
Hai cặp mặt phẳng mà mỗi cặp gồm hai mặt phẳng vuông góc với nhau là:
\((P) \perp (R), (Q) \perp (R)\).
\(\)
Bài \(2\). Chứng minh định lí sau: Nếu hai mặt phẳng vuông góc nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Trả lời:
Xét hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau.
Chứng minh: tồn tại một đường thẳng \(a \subset (P)\) sao cho \(a \perp (Q)\)
Gọi \(d = (P) \cap (Q)\)
Lấy \(M \in (P), N \in (Q)\) sao cho \(M, N \notin d\)
Khi đó \(\widehat{aOb}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \([M, d, N]\)
Mà \((P) \perp (Q)\) nên \(\widehat{aOb} = 90^o\)
Hay \(a \perp b\)
Lại có \(a \perp d\)
Suy ra \(a \perp (Q)\).
Vậy: Nếu hai mặt phẳng vuông góc nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
\(\)
Bài \(3\). Chứng minh các định lí sau:
\(a)\) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt phẳng còn lại;
\(b)\) Nếu hai mặt phẳng (phân biệt) cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Trả lời:
\(a)\) Cho hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau. Đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \((R)\) vuông góc với mặt phẳng \((P) (R) \perp (P)\). Chứng minh \(a \perp (Q)\) hay \((R) \perp (Q)\).
Trên \((P)\) lấy hai đường thẳng \(b,c\) cắt nhau. Trên \((Q)\) lấy hai đường thẳng \(b’,c’\) sao cho \(b // b’, c // c’\).
Do \(b, c\) cắt nhau nên \(b’,c’\) cắt nhau.
Có \(a \perp (P) \Rightarrow a \perp b, a \perp c\)
Mà \(b // b’, c // c’\)
Suy ra \(a \perp b’, a \perp c’\)
Hay \(a \perp (Q)\) tức là \((R) \perp (Q)\)
\(b)\) Cho hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \((R)\). Ta đi chứng minh \((P) // (Q)\) hoặc \(d \perp (R)\) với \(d = (P) \cap (Q)\).
Vì \((P) \perp (R)\) nên tồn tại đường thẳng \(a \subset (P)\) sao cho \(a \perp (R)\).
\((Q) \perp (R)\) nên tồn tại đường thẳng \(b \subset (Q)\) sao cho \(b \perp (R)\).
Suy ra \(a // b\)
Khi đó \((P) // (Q)\) hoặc \((P)\) và \((Q)\) cắt nhau theo giao tuyến \(d // a // b\) hay \(d \perp (R)\).
\(\)
Bài \(4\). Cho một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng đó và vuông góc với mặt phẳng đã cho.
Trả lời:
Cho đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \((Q)\).
Ta chứng minh, tồn tại duy nhất một mặt phẳng \((P)\) chứa đường thẳng \(a\) và vuông góc với mặt phẳng \((Q)\).
Lấy điểm \(A \in a\). Qua \(A\) kẻ đường thẳng \(b\) vuông góc với mặt phẳng \((Q)\)
Ta có: \(\begin{equation} \left.\begin{array}{II}b \perp (Q)\\b \in mp(a, b) \end{array} \right\} \end{equation} mp(a, b) \perp (Q)\)
Vậy tồn tại mặt phẳng chứa đường thẳng \(a\) và vuông góc với \((Q)\).
Giả sử, có thêm mặt phẳng \((P)\) chứa \(a\) và vuông góc với \((Q)\).
Suy ra \(a = (P) \cap mp(a, b)\)
Khi đó theo tính chất bài \(3b\) đã chứng minh được thì đường thẳng \(a \perp (Q)\) (trái với giả thiết)
Vậy \((P) \equiv mp(a, b)\)
\(\)
Bài \(5\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(SM \perp (ABCD)\);
\(b)\) \(AD \perp (SAB)\);
\(c)\) \((SAD) \perp (SBC)\).
Trả lời:
\(a)\) Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\), có \(M\) là trung điểm \(AB\)
\(\Rightarrow SM \perp AB\)
Lại có: \(\begin{equation} \left. \begin{array}{II}(SAB) \perp (ABCD)\\(SAB) \cap (ABCD) = AB \end{array} \right\} \end{equation} \Rightarrow SM \perp (ABCD)\)
\(b)\) Ta có \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \perp AD\)
Lại có \(SM \perp (ABCD) \Rightarrow SM \perp AD\)
Suy ra \(AD \perp (SAB)\)
\(c)\) Có \(AD \perp (SAB) \Rightarrow AD \perp SB\)
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên \(SA \perp SB\)
\(\Rightarrow SB \perp (SAD)\)
Mà \(SB \subset (SBC)\)
Suy ra \((SBC) \perp (SAD)\)
\(\)
Bài \(6\). Cho lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có tất cả các cạnh cùng bằng \(a\), hai mặt phẳng \((A’AB)\) và \((A’AC)\) cùng vuông góc với \((ABC)\).
\(a)\) Chứng minh rằng \(AA’ \perp (ABC)\).
\(b)\) Tính số đo góc giữa đường thẳng \(A’B\) và mặt phẳng \((ABC)\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\begin{equation} \left. \begin{array}{II} (A’AB) \perp (ABC)\\(A’AC) \perp (ABC)\\(A’AB) \cap (A’AC) = AA’ \end{array} \right\} \end{equation} \Rightarrow AA’ \perp (ABC)\)
\(b)\) Ta có: \(AA’ \perp (ABC)\)
\(\Rightarrow (A’B, (ABC)) = (A’B, AB) = \widehat{ABA’}\)
Xét tam giác \(AA’B\) vuông tại \(A\) có \(AA’ = AB = a\) nên tam giác \(A’AB\) vuông cân tại \(A\)
Suy ra \(\widehat{ABA’} = 45^o\)
Vậy \((A’B, (ABC)) = 45^o\)
Xem bài giải trước: Bài 3 – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện
Xem bài giải tiếp theo: Bài 5 – Khoảng cách
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.