Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

Bài \(4\). Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ trang \(63\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Viết phương trình chính tắc của:
\(a)\) Elip có trục lớn bằng \(20\) và trục nhỏ bằng \(16\);
\(b)\) Hypebol có tiêu cự \(2c = 20\) và độ dài trục thực \(2a = 12\);
\(c)\) Parabol có tiêu điểm \(F\left(\displaystyle \frac{1}{2}; 0 \right)\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(2a = 20, 2b = 16\)

\(\Rightarrow a = 10, c = 8\)

Khi đó phương trình chính tắc của elip cần tìm là:

\(\displaystyle \frac{x^2}{10^2} + \displaystyle \frac{y^2}{8^2} = 1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{100} = \displaystyle \frac{y^2}{64} = 1\)

Vậy phương trình chính tắc của elip là: \(\displaystyle \frac{x^2}{100} = \displaystyle \frac{y^2}{64} = 1\)

\(b)\) Ta có: \(2c =20, 2a = 12\)

\(\Rightarrow c = 10, a = 6\)

Suy ra \(b = \sqrt{c^2 \ – \ a^2} = \sqrt{10^ \ – \ 6^2}\)

\(= \sqrt{64} = 8\)

Khi đó phương trình chính tắc của Hypebol là:

\(\displaystyle \frac{x^2}{6^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{8^2} = 1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{36} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{64} = 1\).

\(c)\) Parabol có tiêu điểm \(F\left(\displaystyle \frac{1}{2}; 0 \right)\) nên \(\displaystyle \frac{p}{2} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow p = 1\)

Khi đó phương trình chính tắc của parabol là:

\(y^2 = 2. p. x = 2. 1. x \Leftrightarrow y^2 = 2x\).

\(\)

Bài \(2\). Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm toạ độ các tiêu điểm của chúng.
\(a)\) \((C_1): 4x^2 + 16y^2 = 1\);
\(b)\) \((C_2): 16x^2 \ – \ 4y^2 = 144\);
\(c)\) \((C_3): x = \displaystyle \frac{1}{8}y^2\).

Trả lời:

\(a)\) Xét phương trình: \(4x^2 + 16y^2 = 1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{\left(\displaystyle \frac{1}{2} \right)^2} + \displaystyle \frac{y^2}{\left(\displaystyle \frac{1}{4} \right)^2} = 1\)

Đây là phương trình chính tắc của elip với \(a = \displaystyle \frac{1}{2}, b = \displaystyle \frac{1}{4}\)

Suy ra: \(c = \sqrt{a^2 \ – \ b^2} = \sqrt{\left(\displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 \ – \ \left(\displaystyle \frac{1}{4} \right)^2} = \sqrt{\displaystyle \frac{1}{4} \ – \ \displaystyle \frac{1}{16}}\)

\( = \sqrt{\displaystyle \frac{3}{16}} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\)

Vậy phương trình đã cho biểu diễn cho đường elip và có toạ độ các tiêu điểm lần lượt là:

\(F_1 \left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}; 0 \right)\) và \(F_2 \left(\ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}; 0 \right)\).

\(b)\) Xét phương trình \(16x^2 \ – \ 4y^2 = 144\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{16x^2}{144} \ – \ \displaystyle \frac{4y^2}{144} = 1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{\displaystyle \frac{144}{16}} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{\displaystyle \frac{144}{4}} = 1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{3^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{6^2} = 1\)

Đây là phương trình chính tắc của hypebol với \(a = 3, b = 6\)

Ta có: \(c = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)

Khi đó toạ độ các tiêu điểm của hypebol là: \(F_1(3\sqrt{5}; 0)\) và \(F_2(\ – \ 3\sqrt{5}; 0)\).

Vậy phương trình đã cho biểu diễn cho đường hypebol và có toạ độ các tiêu điểm lần lượt là:

\(F_1(3\sqrt{5}; 0)\) và \(F_2(\ – \ 3\sqrt{5}; 0)\).

\(c)\) Xét phương trình: \(x = \displaystyle \frac{1}{8}y^2\)

\(\Leftrightarrow y^2 = 8x\)

Phương trình có dạng parabol với \(p = 4\)

\(\Rightarrow\) Toạ độ tiêu điểm của parabol \((C)\) là: \(F(2; 0)\)

Vậy phương trình đã cho biểu diễn đường parabol với tiêu điểm \(F(2; 0)\).

\(\)

Bài \(3\). Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là \(80 cm\) và trục nhỏ là \(40 cm\) từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước \(80 cm \times 40 cm\), người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hướng dẫn sau:
Chuẩn bị:
\( – \) Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.
Thực hiện:
\( – \) Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván.
\( – \) Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm \(M\) nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm \(M\) và di chuyển sao cho dây luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một hình elip. (Xem minh hoạ trong Hình \(15\)).
Phải ghim hai cái đinh cách các mép hai tấm ván ép bao nhiêu xentimét và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Trả lời:

Ta có Elip với độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là:\(2a = 80, 2b = 40\)

\(\Rightarrow a = 40, b = 20\)

Suy ra \(c = \sqrt{a^2 \ – \ b^2} = \sqrt{40^2 \ – \ 20^2} = 20\sqrt{3}\) (cm)

\(\Rightarrow 2c = 40\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow F_1F_2 = 2c = 40\sqrt{3}\)

Do đó hai cái đinh cách mép chiều dài của tấm ván là:

\((80 \ – \ 40\sqrt{3}) : 2 \approx 5,36 cm\)

Độ dài vòng dây là: \(MF_1 + MF_2 + F_1F_2 = 2a + 2c = 2. 40 + 2. 20\sqrt{3} \approx 74,6 cm\)

Vậy ghim hai cái đinh cách mép chiều dài tấm ván khoảng \(5,36 cm\), cách mép chiều rộng tấm ván \(20 cm\) và độ dài vòng dây là \(74,6 cm\)

\(\)

Bài \(4\). Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao \(8 m\), rộng \(20 m\) (Hình \(16\)).
\(a)\) Chọn hệ toạ độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên.
\(b)\) Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường \(5 m\) lên đến nóc nhà vòm.

Trả lời:

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ:

\(a)\) Nhà vòm có chiều cao \(8 m\), rộng \(20 m\) nên \(OC = 8, AB = 20\)

Tương ứng với elip có trục lớn \(2a = 20 m\), nửa trục bé \(b = 8 m\)

\(\Rightarrow a = 10, b = 8\)

Khi đó phương trình của elip là:

\(\displaystyle \frac{x^2}{10^2} + \displaystyle \frac{y^2}{8^2} = 1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{100} + \displaystyle \frac{y^2}{64} = 1\)

Vậy phương trình của elip trên là: \(\displaystyle \frac{x^2}{100} + \displaystyle \frac{y^2}{64} = 1\)

\(b)\) Điểm \(M\) cách chân tường \(5 m\) sẽ có hoành độ \(x_M = 10 \ – \ 5 = 5\)

Suy ra \(M\) có toạ độ \(M(5; y_M)\).

\(M\) thuộc elip nên thay toạ độ điểm \(M\) vào phương trình elip ta có:

\(\displaystyle \frac{5^2}{100} + \displaystyle \frac{y^2}{64} = 1\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{y^2}{64} = 1 \ – \ \displaystyle \frac{25}{100} = \displaystyle \frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow y_M^2 = 48\)

\(\Rightarrow y_M = 4\sqrt{3}\)

Mặt khác \(y_M\) chính là khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm \(M\) cách chân tường \(5 m\) đến nóc nhà vòm.

Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm cách chân tường \(5 m\) đến nóc nhà vòm là \(4\sqrt{3} m\).

\(\)

Bài \(5\). Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình
\(\displaystyle \frac{x^2}{28^2} \ – \ \displaystyle \frac{y^2}{42^2} = 1\) (Hình \(17\)). Biết chiều cao của tháp là \(150 m\) và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng \(\displaystyle \frac{2}{3}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Trả lời:

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, \(O\) là tâm đối xứng của hypebol.

Gọi \(A(x_A; y_A), B(x_B; y_B)\) lần lượt là hai điểm thuộc đường tròn nóc và đường tròn đáy.

Gọi khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là \(a\)

\(\Rightarrow\) Khoảng cách từ tâm đối xứng đến nóc tháp là \(\displaystyle \frac{2}{3}a\)

Chiều cao của tháp là \(150m\) nên: \(a + \displaystyle \frac{2}{3}a = 150\)

\(\Rightarrow a = 90 m \)

Suy ra \(y_B = \ – \ 90\). Mà \(B\) thuộc hypebol nên thay \(y_B = \ – \ 90\) vào phương trình hypebol ta được:

\(\displaystyle \frac{x^2}{28^2} \ – \ \displaystyle \frac{(\ – \ 90)^2}{42^2} = 1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{28^2} = 1 +\displaystyle \frac{90^2}{42^2}\)

\(\Leftrightarrow x_B^2 = 4384\)

\(\Leftrightarrow x_B = 4\sqrt{274}\)

Khoảng cách từ tâm đối xứng đến nóc tháp bằng \(\displaystyle \frac{2}{2}a = \displaystyle \frac{2}{3}. 90 = 60\)

Suy ra \(y_A = 60\). Thay \(y_A = 60\) vào phương trình hypebol ta được:

\(\displaystyle \frac{x^2}{28^2} \ – \ \displaystyle \frac{60^2}{42^2} = 1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{x^2}{28^2} = 1 +\displaystyle \frac{60^2}{42^2}\)

\(\Leftrightarrow x_A^2 = 2384\)

\(\Leftrightarrow x_A = 4\sqrt{149}\)

Ta thấy \(x_A, x_B\) lần lượt là bán kính đường tròn nóc, bán kính đường tròn đáy.

Vậy bán kính đường tròn nóc là \(4\sqrt{149} m\), bán kính đường tròn đáy là \(4\sqrt{274} m\).

\(\)

Bài \(6\). Một cái cầu có dây cáp treo hình parabol, cầu dài \(100 m\) và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là \(30 m\), thanh ngắn nhất là \(6 m\) (Hình \(18\)). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu \(18 m\).