Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Chương 9 – Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác trang 76 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

9.20. Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu “?” để được các đẳng thức:

BG = ? BN, CG = ? CP;

BG = ? GN, CG = ? GP.

Giải

Ta có \(BG = \displaystyle\frac{2}{3}BN,\ CG = \displaystyle\frac{2}{3}CP.\)

\(GN = BN-BG = BN-\displaystyle\frac{2}{3}BN = \displaystyle\frac{1}{3}BN.\)

\(GP = CP-CG = CP-\displaystyle\frac{2}{3}CP = \displaystyle\frac{1}{3}CP.\)

Khi đó \(BG : GN = \displaystyle\frac{2}{3}BN : \displaystyle\frac{1}{3}BN = 2,\) \(CG : GP = \displaystyle\frac{2}{3}CP : \displaystyle\frac{1}{3}CP = 2.\)

Do đó \(BG = 2GN,\ CG = 2GP.\)

Vậy \(BG = \displaystyle\frac{2}{3}BN,\) \(CG = \displaystyle\frac{2}{3}CP,\) \(BG = 2GN, CG = 2GP.\)

\(\)

9.21. a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Giải

Giả sử tam giác ABC cân tại A có BN, CM là 2 đường trung tuyến.

a) Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên AB = 2BM, AC = 2CN.

Do đó BM = CN.

Xét \(∆BCM\) và \(∆CBN\) có:

BM = CN (do \(ΔABC\) cân tại A);

\(\widehat{MBC} =\widehat{NCB}\) (do \(ΔABC\) cân tại A);

BC là cạnh chung;

Vậy \(∆BCM = ∆CBN\) (c.g.c).

Suy ra CM = BN (hai cạnh tương ứng).

Vậy trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

Giả sử BN, CM là hai trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại G, BN = CM.

G là trọng tâm tam giác ABC nên \(BG = \displaystyle\frac{2}{3}BN,\ CG = \displaystyle\frac{2}{3}CM.\)

Do CM = BN nên CG = BG.

\(∆BGC\) có CG = BG nên \(∆BGC\) cân tại G.

Suy ra \(\widehat{GBC} =\widehat{GCB}.\)

Xét \(∆MBC\) và \(∆NCB\) có:

CM = BN (theo giả thiết).

\(\widehat{NBC} =\widehat{MCB}\) (chứng minh trên).

BC là cạnh chung.

Vậy \(∆MBC = ∆NCB\) (c.g.c).

Suy ra \(\widehat{MBC} =\widehat{NCB}\) (hai góc tương ứng).

\(∆ABC\) có \(\widehat{ABC} =\widehat{ACB}\) nên \(∆ABC\) cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

\(\)

9.22. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN.

Giải

G là trọng tâm của \(ΔABC\) nên:

\(CG = \displaystyle\frac{2}{3}CN,\ BG = \displaystyle\frac{2}{3}BM.\)

Xét \(ΔGBC\) có \(\widehat{GBC} >\widehat{GCB}\) nên GC > GB (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn).

Khi đó \(\displaystyle\frac{2}{3}CN > \displaystyle\frac{2}{3}BM.\)

Suy ra CN > BM.

\(\)

9.23. Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC biết góc BAC bằng \(120^o\).

Giải

Do CI là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{ACB} =2\widehat{ICB}.\)

Do BI là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên \(\widehat{ABC} =2\widehat{IBC}.\)

Do đó \(\widehat{ABC} +\widehat{ACB} =2(\widehat{IBC} +\widehat{ICB}).\)

\(60^o = 2(\widehat{IBC} +\widehat{ICB}) \)

\(\widehat{IBC} +\widehat{ICB} = 30^o.\)

Xét \(∆IBC\) có \(\widehat{BIC} +\widehat{IBC} +\widehat{ICB} =180^o.\)

Do đó \(\widehat{BIC} =180^o-(\widehat{IBC} +\widehat{ICB})\) \(= 180^o-30^o = 150^o.\)

Vậy \(\widehat{BIC} = 150^o.\)

\(\)

9.24. Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh BE = CF.

Giải

\(∆ABC\) cân tại A nên AB = AC, \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}.\)

BE là đường phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên \(\widehat{ABE} = \displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ABC}.\)

CF là đường phân giác của \(\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{ACF} = \displaystyle\frac{1}{2}\widehat{ACB}.\)

Suy ra \(\widehat{ABE} = \widehat{ACF}.\)

Xét \(∆ABE\) và \(∆ACF\) có:

\(\widehat{A}\) là góc chung;

AB = AC (chứng minh trên);

\(\widehat{ABE} = \widehat{ACF}\) (chứng minh trên);

Vậy \(∆ABE = ∆ACF\) (g.c.g).

Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng).

\(\)

9.25. Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB.

a) Hãy giải thích tại sao DP = DR.

b) Hãy giải thích tại sao DP = DQ.

c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A?

Giải