Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài \(31\). Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm trang \(81\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(9.1\). Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = x^2 \ – \ x\) tại \(x_0 = 1\);
\(b)\) \(y = \ – \ x^3\) tại \(x_0 = \ – \ 1\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\lim \limits_{x \to 1} \displaystyle \frac{f(x) \ – \ f(1)}{x \ – \ 1} = \lim_{x \to 1} \displaystyle \frac{x^2 \ – \ x \ – \ (1^2 \ – \ 1)}{x \ – \ 1}\)

\(= \lim \limits_{x \to 1} \displaystyle \frac{x^2 \ – \ x}{x \ – \ 1} = \lim_{x \to 1} x = 1\)

Vậy \(f'(1) = 1\)

\(b)\) \(\lim \limits_{x \to \ – \ 1} \displaystyle \frac{f(x) \ – \ f(\ – \ 1)}{x \ – \ (\ – \ 1)} = \displaystyle \lim_{x \to \ – \ 1} \frac{\ – \ x^3 \ – \ 1}{x + 1} = \displaystyle \lim_{x \to \ – \ 1} \frac{\ – \ (x + 1)(x^2 \ – \ x + 1)}{x + 1}\)

\(= \lim \limits_{x \to \ – \ 1} [\ – \ (x^2 \ – \ x + 1)] = \ – \ 3\)

Vậy \(f'(\ – \ 1) = \ – \ 3\)

\(\)

Bài \(9.2\). Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = kx^2 + c\) (với \(k, c\) là các hằng số);
\(b)\) \(y = x^3\).

Trả lời:

\(a)\) Với \(x_0\) bất kì ta có:

\(f'(x_0) = \lim \limits_{x \to x_0} \displaystyle \frac{kx^2 + c \ – \ (kx_0^2 + c)}{x \ – \ x_0} = \lim \limits_{x \to x_0} \displaystyle \frac{k(x^2 \ – \ x_0^2)}{x \ – \ x_0}\)

\(= \lim \limits_{x \to x_0} \displaystyle \frac{k. (x \ – \ x_0)(x + x_0)}{x \ – \ x_0} = \lim \limits_{x \to x_0} [k(x + x_0)] = 2kx_0\)

Vậy hàm số \(y = kx^2 + c\) có đạo hàm là hàm số \(y’ = 2kx\)

\(b)\) Với \(x_0\) bất kì, ta có:

\(f'(x_0) = \lim \limits_{x \to x_0} \displaystyle \frac{x^3 \ – \ x_0^3}{x \ – \ x_0} = \lim \limits_{x \to x_0} \displaystyle \frac{(x \ – \ x_0)(x^2 + xx_0 + x_0)}{x \ – \ x_0} = 3x_0^2\)

Vậy hàm \(y = x^3\) có đạo hàm là hàm số \(y’ = 3x^2\)

\(\)

Bài \(9.3\). Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y = \ – \ x^2 + 4x\), biết:
\(a)\) Tiếp điểm có hoành độ \(x_0 = 1\);
\(b)\) Tiếp điểm có tung độ \(y_0 = 0\).

Trả lời:

Với \(x_0\) bất kì, ta có:

\(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) \ – \ f(x_0)}{x \ – \ x_0} = \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{\ – \ x^2 + 4x \ – \ (\ – \ x_0^2 + 4x_0)}{x \ – \ x_0}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{\ – \ (x \ – \ x_0)(x + x_0) + 4(x \ – \ x_0)}{x \ – \ x_0} = \lim \limits_{x \to x_0} (\ – \ x \ – \ x_0 + 4) = \ – \ 2x_0 + 4\)

Vậy hàm số \(y = \ – \ x^2 + 4x\) có đạo hàm là hàm số \(y = \ – \ 2x + 4\)

\(a)\) Ta có: \(y'(1) = \ – \ 2. 1 + 4 = 2\)

Lại có \(f(1) = \ – \ 1^2 + 4. 1 = 3\)

Suy ra, phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y \ – \ 3 = 2. (x \ – \ 1)\)

\(\Leftrightarrow y = 2x + 1\)

\(b)\) Ta có: \(y_0 = 0 \Leftrightarrow \ – \ x_0^2 + 4x_0 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x_0 = 0\\x_0 = 4 \end{array} \right. \end{equation}\)

Tại \(x_0 = 0, y_0 = 0, y'(0) = 4\) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y = 4x\)

Tại \(x_0 = 4, y_0 = 0, y'(4) = \ – \ 4\) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y = \ – \ 4. (x \ – \ 4) = \ – \ 4x + 16\)

\(\)

Bài \(9.4\). Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là \(19,6 m/s\) thì độ cao \(h\) của nó (tính bằng mét) sau \(t\) giây được cho bởi công thức \(h = 19,6t \ – \ 4,9 t^2\). Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Trả lời:

Với \(x_0\) bất kì ta có:

\(f'(t_0) = \displaystyle \lim_{t \to t_0} \frac{f(t) \ – \ f(t_0)}{t \ – \ t_0} = \displaystyle \lim_{t \to t_0} \frac{19,6t \ – \ 4,9t^2 \ – \ (19,6t_0^2 \ – \ 4,9t_0^2)}{t \ – \ t_0}\)

\(= \displaystyle \lim_{t \to t_0} \frac{19,6. (t \ – \ t_0) \ – \ 4,9. (t^2 \ – \ t_0^2)}{t \ – \ t_0} = \displaystyle \lim_{t \to t_0} \frac{(t \ – \ t_0)[19,6 \ – \ 4,9. (t + t_0)]}{t \ – \ t_0}\)

\(= \lim \limits_{t \to t_0} (19,6 \ – \ 4,9t \ – \ 4,9t_0) = \ – \ 9,8t_0 + 19,6\)

Vậy hàm số \(y = 19,6t \ – \ 4,9t^2\) có đạo hàm là hàm số \(y = \ – \ 9,8t + 19,6\)

Vật chạm đất \(\Leftrightarrow h = 0\)

\(\Leftrightarrow 19,6t \ – \ 4,9t^2 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}t = 0 (\text{ Loại })\\t = 4 \end{array} \right. \end{equation}\)

Ứng với \(t = 4\) thì vận tốc của vật khi nó chạm đất là:

\(y'(4) = \ – \ 9,8. 4 + 19,6 = \ – \ 19,6 (m/s)\)

Vậy vận tốc của vật khi nó chạm đất là \(19,6 m/s\).

\(\)

Bài \(9.5\). Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (\(H.9.6a\)), đoạn dốc lên \(L_1\) và đoạn dốc xuống \(L_2\) là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là \(0,5\) và \(\ – \ 0,75\). Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, \(L_1\) và \(L_2\) phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp \(P\) và \(Q\) (\(H.9.6b\)). Giả sử gốc toạ độ đặt tại \(P\) và phương trình của parabol là \(y = ax^2 + bx + c\), trong đó \(x\) tính bằng mét.
\(a)\) Tìm \(c\).
\(b)\) Tính \(y'(0)\) và tìm \(b\).
\(c)\) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa \(P\) và \(Q\) là \(40 m\). Tìm \(a\).
\(d)\) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp \(P\) và \(Q\).