Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Bài \(30\). Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập trang \(76\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(8.11\). Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc với \(P(A) > 0, P(B) > 0\). Chứng tỏ rằng hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.

Trả lời:

Hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc với nhau khi và chỉ khi \(A \cap B = \emptyset\)

\(\Leftrightarrow P(AB) = 0\)

Mà \(P(A) > 0, P(B) > 0 \Rightarrow P(A). P(B) > 0\)

\(\Rightarrow P(AB) \neq P(A). P(Q)\)

Vậy hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.

\(\)

Bài \(8.12\). Một thùng đựng \(60\) tấm thẻ cùng loại được đánh số từ \(1\) đến \(60\). Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:
\(A:\) “Số ghi trên tấm thẻ là ước của \(60\)” và \(B:\) “Số ghi trên tấm thẻ là ước của \(48\).
Chứng tỏ rằng \(A\) và \(B\) là hai biến cố không độc lập.

Trả lời:

Ta có: \(A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\)

\(B = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\}\)

\(\Rightarrow AB = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\)

\(\Rightarrow P(A) = \displaystyle \frac{12}{60} = \displaystyle \frac{1}{5}\)

\(P(B) = \displaystyle \frac{10}{60} = \displaystyle \frac{1}{6}\)

\(P(AB) = \displaystyle \frac{6}{60} = \displaystyle \frac{1}{10}\)

Mặt khác lại có: \(P(A). P(B) = \displaystyle \frac{1}{5}. \displaystyle \frac{1}{6} = \displaystyle \frac{1}{30}\)

Xét thấy \(P(A). P(B) \neq P(AB)\)

Vậy hai biến cố \(A\) và \(B\) là hai biến cố không độc lập.

\(\)

Bài \(8.13\). Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi \(I\) có \(3\) viên bi màu xanh và \(7\) viên bi màu đỏ. Túi \(II\) có \(10\) viên bi màu xanh và \(6\) viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Tính xác suất để:
\(a)\) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;
\(b)\) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;
\(c)\) Hai viên bi được lấy có cùng màu;
\(d)\) Hai viên bi được lấy không cùng màu.

Trả lời:

Vì hai túi là khác nhau nên biến cố lấy một viên bi từ mỗi túi là độc lập.

Gọi biến cố \(A\): “Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh”.

Biến cố B: “Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ”.

Biến cố C: “Hai viên bi được lấy có cùng màu”.

\(a)\) Xác suất để lấy được \(1\) viên bi màu xanh từ túi \(I\) và \(1\) viên bi có màu xanh từ túi \(II\) là:

\(\displaystyle \frac{3}{10}. \displaystyle \frac{10}{16} = \displaystyle \frac{3}{16}\)

Vậy xác suất hai viên bi được lấy có cùng màu xanh là \(\displaystyle \frac{3}{16}\)

\(b)\) Xác suất để lấy được \(1\) viên bi màu đỏ từ túi \(I\) và \(1\) viên bi có màu đỏ từ túi \(II\) là:

\(\displaystyle \frac{7}{10}. \displaystyle \frac{6}{16} = \displaystyle \frac{21}{80}\)

Vậy xác suất hai viên bi được lấy có cùng màu xanh là \(\displaystyle \frac{21}{80}\)

\(c)\) Ta có: \(C = A \cap B\). Lại có \(A\) và \(B\) xung khắc.

Suy ra \(P(C) = P(A \cap B) = P(A) + P(B) = \displaystyle \frac{3}{16} + \displaystyle \frac{21}{80} = \displaystyle \frac{9}{20}\)

Vậy xác suất để hai viên bi được lấy có cùng màu là \(\displaystyle \frac{9}{20}\)

\(d)\) Gọi \(D\) là biến cố: “Hai viên bi được lấy không cùng màu”.

Khi đó \(D = \overline{C}\)

\(\Rightarrow P(D) = P(\overline{C}) = 1 \ – \ P(C) = 1 \ – \ \displaystyle \frac{9}{20} = \displaystyle \frac{11}{20}\)

Vậy xác suất để hai viên bi được lấy không cùng màu là \(\displaystyle \frac{11}{20}\).

\(\)

Bài \(8.14\). Có hai túi mỗi túi đựng \(10\) quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ \(1\) đến \(10\). Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào được ghi số \(1\) hoặc ghi số \(5\).

Trả lời:

Xác suất lấy ra quả cầu không có số \(1\) hoặc số \(5\) từ túi đầu tiên:

\(\displaystyle \frac{8}{10} = \displaystyle \frac{4}{5}\)

Xác suất lấy được quả cầu không có số \(1\) hoặc số \(5\) từ túi thứ hai là:

\(\displaystyle \frac{8}{10} = \displaystyle \frac{4}{5}\)

Do lấy ngẫu nhiên từ hai túi khác nhau mỗi túi một quả cầu nên hai biến cố quả cầu lấy ra ở mỗi túi không có số \(1\) hoặc số \(5\) là độc lập.

Vậy xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số \(1\) hoặc ghi số \(5\) là:

\(\displaystyle \frac{4}{5}. \displaystyle \frac{4}{5} = \displaystyle \frac{16}{25}\)

\(\)

Bài \(8.15\). Trong đợt kiểm tra cuối học kì \(II\) lớp \(11\) của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có \(93 \%\) học sinh tỉnh \(X\) đạt yêu cầu; \(87\%\) học sinh tỉnh \(Y\) đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh \(X\) và một học sinh của tỉnh \(Y\). Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:
\(a)\) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;
\(b)\) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;
\(c)\) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;
\(d)\) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

Trả lời:

\(a)\) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là:

\(93 \%. 87 \% = 0,8091\)

\(b)\) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là:

\((100 \% \ – \ 93 \%). (100 \% \ – \ 87 \%) = 7 \%. 13 \% = 0,0091\)

\(c)\) Gọi \(A\) là biến cố: “Học sinh được chọn tỉnh \(X\) đạt yêu cầu, học sinh được chọn tỉnh \(Y\) không đạt yêu cầu”.

\(B\): “Học sinh được chọn tỉnh \(X\) không đạt yêu cầu, học sinh được chọn tỉnh \(Y\) đạt yêu cầu”.

Khi đó biến cố \(C\): “Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu” là biến cố hợp của \(A\) và \(B\).

\(\Rightarrow P(C) = P(A) + P(B) = 93 \%. (100 \% \ – \ 87 \%) + 87 \%. (100 \% \ – \ 93 \%) = 0,1818\)

\(d)\) Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

\(1 \ – \ 0,0091 = 0,9909\)

Xem bài giải trước: Bài 29 – Công thức cộng xác suất
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương VIII
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống