Bài 3. Tích của một số với một vectơ

Bài \(3\). Tích của một số với một vectơ trang \(95\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AC} = 3 \overrightarrow{AG}\).

Trả lời:

Gọi \(O\) là giao điểm \(AC\) và \(BD\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{AO} = \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\) suy ra \(\overrightarrow{AG} = \displaystyle \frac{2}{3} \overrightarrow{AO}\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{AG} = \displaystyle \frac{2}{3}. \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\)

Hay \(\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG}\).

\(\)

Bài \(2\). Gọi \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\) và \(D\) là trung điểm của đoạn \(AM\). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(2\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\);
\(b)\) \(2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OD}\), với \(O\) là điểm tuỳ ý.

Trả lời:

\(a)\) Do \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{DM}\)

Lại có \(D\) là trung điểm \(AM\) nên \(\overrightarrow{DM} = \ – \ \overrightarrow{DA}\)

Suy ra \(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \ – \ 2\overrightarrow{DA}\)

\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\) (đpcm)

\(b)\) Ta có: \(2\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}\)

\(= 2(\overrightarrow{DO} + \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{DO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{DO} + \overrightarrow{OC})\)

\(= 4\overrightarrow{DO} + 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \ – \ 4\overrightarrow{DO} = 4\overrightarrow{OD}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(3\). Lấy một điểm \(M\) tuỳ ý. Chứng minh rằng:
\(a)\) \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\).
\(b)\) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}\).

Trả lời:

\(a)\) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})\)

\( = 2\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}\)

\(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) nên \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\)

Khi đó \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{0} = 2\overrightarrow{MI}\).

Vậy \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\).

\(b)\) Với một điểm \(M\) bất kì, ta có:

\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\)

\(= (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC})\)

\(= 3\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\)

\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)

Khi đó \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}\)

Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}\).

\(\)

Bài \(4\). Cho hai điểm phân biệt \(a\) và \(b\). Tìm điểm \(K\) sao cho \(3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\).

Trả lời:

Ta có: \(3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow 3\overrightarrow{KA} = \ – \ 2\overrightarrow{KB}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{KA} = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3} \overrightarrow{KB}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{KA} = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3} (\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AB})\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{5}{3} \overrightarrow{KA} = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3}\overrightarrow{AB}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AK} = \displaystyle \frac{2}{5} \overrightarrow{AB}\)

Vậy \(K\) nằm giữa \(A\) và \(B\) sao cho \(AK = \displaystyle \frac{2}{5}AB\).

\(\)

Bài \(5\). Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

Trả lời:

Ta có: \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow{MN} = \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\)

Tương tự ta cũng có:

\(\overrightarrow{PQ} = \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{CE}; \overrightarrow{RS} = \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{EA}\)

Suy ra: \(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RS} = \displaystyle \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{AE})\)

\(= \displaystyle \frac{1}{2} (\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EA}) = \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{0}\)

Gọi \(O\) là trọng tâm tam giác \(MPR\). Khi đó ta có:

\(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{ON}) + (\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OQ}) + (\overrightarrow{RO} + \overrightarrow{OS})\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OR}\)

Mà \(O\) là trọng tâm tam giác \(MPR\) nên \(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{0}\) hay \(O\) đồng thời là trọng tâm tam giác \(NQS\).

Vậy hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

\(\)

Bài \(6\). Máy bay \(A\) bay với vận tốc \(\overrightarrow{a}\), máy bay \(B\) bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy bay \(A\). Biểu diễn vectơ vận tốc \(\overrightarrow{b}\) của máy bay \(B\) theo vectơ vận tốc \(\overrightarrow{a}\) của máy bay \(A\).

Trả lời:

Theo bài ra ta có:

Hai máy bay bay cùng hướng nên giá của chúng song song với nhau nên \(\overrightarrow{a} = k \overrightarrow{b} (k > 0)\)

Mặt khác, vận tốc máy bay \(B\) chỉ bằng một nửa vận tốc máy bay \(A\) nên \(a = \displaystyle \frac{1}{2}\)

Suy ra \(\overrightarrow{a} = \displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\).

Bài 3. Tích của một số Bài 3. Tích của một số Bài 3. Tích của một số

Xem bài giải trước: Bài 2 – Tổng và hiệu của hai vectơ
Xem bài giải tiếp theo: Bài 4 – Tích vô hướng của hai vectơ
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech