Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài \(3\). Phương trình quy về phương trình bậc hai trang \(15\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{11x^2 \ – \ 14x \ – \ 12} = \sqrt{3x^2 + 4x \ – \ 7}\);
\(b)\) \(\sqrt{x^2 + x \ – \ 42} = \sqrt{2x \ – \ 30}\);
\(c)\) \(2\sqrt{x^2 \ – \ x \ – \ 1} = \sqrt{x^2 + 2x + 5}\);
\(d)\) \(3\sqrt{x^2 + x \ – \ 1} \ – \ \sqrt{7x^2 + 2x \ – \ 5} = 0\).

Trả lời:

\(a)\) \(\sqrt{11x^2 \ – \ 14x \ – \ 12} = \sqrt{3x^2 + 4x \ – \ 7}\)

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

\(11x^2 \ – \ 14x \ – \ 12 = 3x^2 + 4x \ – \ 7\)

\(\Rightarrow 8x^2 \ – \ 18x \ – \ 5 = 0\)

\(\Rightarrow\) \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{4}\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{5}{2}\).

Thay lần lượt các nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt{11x^2 \ – \ 14x \ – \ 12} = \sqrt{3x^2 + 4x \ – \ 7}\) ta thấy chỉ có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{5}{2}\) thoả mãn phương trình.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{5}{2}\).

\(b)\) \(\sqrt{x^2 + x \ – \ 42} = \sqrt{2x \ – \ 30}\)

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

\(x^2 + x \ – \ 42 = 2x \ – \ 30\)

\(\Rightarrow x^2 \ – \ x \ – \ 12 = 0\)

\(\Rightarrow x = \ – \ 3 \text{ hoặc } x = 4\)

Thay lần lượt từng nghiệm vào phương trình \(\sqrt{x^2 + x \ – \ 42} = \sqrt{2x \ – \ 30}\) ta thấy không có nghiệm nào thoả mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

\(c)\) \(2\sqrt{x^2 \ – \ x \ – \ 1} = \sqrt{x^2 + 2x + 5}\)

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

\(4. (x^2 \ – \ x \ – \ 1) = x^2 + 2x + 5\)

\(\Rightarrow 4x^2 \ – \ 4x \ – \ 4 = x^2 + 2x + 5\)

\(\Rightarrow 3x^2 \ – \ 6x \ – \ 9 = 0\)

\(\Rightarrow x = \ – \ 1 \text{ hoặc } x = 3\)

Thay lần lượt từng nghiệm vào phương trình \(2\sqrt{x^2 \ – \ x \ – \ 1} = \sqrt{x^2 + 2x + 5}\) ta thấy cả hai nghiệm đều thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \ – \ 1 \text{ và } x = 3\).

\(d)\) \(3\sqrt{x^2 + x \ – \ 1} \ – \ \sqrt{7x^2 + 2x \ – \ 5} = 0\)

\(\Rightarrow 3\sqrt{x^2 + x \ – \ 1} = \sqrt{7x^2 + 2x \ – \ 5}\)

\(\Rightarrow 3^2.(x^2 + x \ – \ 1 = 7x^2 + 2x \ – \ 5\)

\(\Rightarrow 2x^2 + 7x \ – \ 4 = 0\)

\(\Rightarrow x = \ – \ 4 \text{ hoặc } x = \displaystyle \frac{1}{2}\)

Thay lần lượt từng nghiệm vào phương trình \(3\sqrt{x^2 + x \ – \ 1} \ – \ \sqrt{7x^2 + 2x \ – \ 5} = 0\) ta thấy chỉ có nghiệm \(x = \ – \ 4\) thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \ – \ 4\).

\(\)

Bài \(2\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{x^2 + 3x + 1} = 3\);
\(b)\) \(\sqrt{x^2 \ – \ x \ – \ 4} = x + 2\);
\(c)\) \(2 + \sqrt{12 \ – \ 2x} = x\);
\(d)\) \(\sqrt{2x^2 \ – \ 3x \ – \ 10} = \ – \ 5\).

Trả lời:

\(a)\) \(\sqrt{x^2 + 3x + 1} = 3\)

\(\Rightarrow x^2 + 3x + 1 = 9\)

\(\Rightarrow x^2 + 3x \ – \ 8 = 0\)

\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{\ – \ 3 \ – \ \sqrt{41}}{2} \text { hoặc } x = \displaystyle \frac{\ – \ 3 + \sqrt{41}}{2}\)

Thay lần lượt từng nghiệm vào phương trình \(\sqrt{x^2 + 3x + 1} = 3\) ta thấy cả hai nghiệm đều thoả mãn.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 3 \ – \ \sqrt{41}}{2} \text { và } x = \displaystyle \frac{\ – \ 3 + \sqrt{41}}{2}\).

\(b)\) \(\sqrt{x^2 \ – \ x \ – \ 4} = x + 2\)

\(\Rightarrow x^2 \ – \ x \ – \ 4 = (x + 2)^2\)

\(\Rightarrow x^2 \ – \ x \ – \ 4 = x^2 + 4x + 4\)

\(\Rightarrow 5x = \ – \ 8\)

\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{\ – \ 8}{5}\)

Thay nghiệm \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 8}{5}\) vào phương trình \(\sqrt{x^2 \ – \ x \ – \ 4} = x + 2\) ta thấy thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 8}{5}\).

\(c)\) \(2 + \sqrt{12 \ – \ 2x} = x\)

\(\Rightarrow \sqrt{12 \ – \ 2x} = x \ – \ 2\)

\(\Rightarrow 12 \ – \ 2x = (x \ – \ 2)^2\)

\(\Rightarrow 12 \ – \ 2x = x^2 \ – \ 4x + 4\)

\(\Rightarrow x^2 \ – \ 2x \ – \ 8 = 0\)

\(\Rightarrow x = \ – \ 2 \text{ hoặc } x = 4\)

Thay lần lượt từng nghiệm vào phương trình \(2 + \sqrt{12 \ – \ 2x} = x\) ta thấy chỉ có \(x = 4\) thoả mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 4\).

\(d)\) Ta có biểu thức căn bậc hai luôn không âm nên:

\(\sqrt{2x^2 \ – \ 3x \ – \ 10} \geq 0 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \sqrt{2x^2 \ – \ 3x \ – \ 10} = \ – \ 5\) vô lí.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

\(\)

Bài \(3\). Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB\) ngắn hơn \(AC\) là \(2 cm\).
\(a)\) Biểu diễn độ dài cạnh huyền \(BC\) theo \(AB\).
\(b)\) Biết chu vi của tam giác \(ABC\) là \(24 cm\). Tìm độ dài ba cạnh của tam giác đó.

Trả lời:

\(a)\) Gọi độ dài cạnh \(AB\) là \(x\) \(cm\) \((x > 0)\)

Khi đó độ dài cạnh \(AC\) là \(x + 2\) \(cm\)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{x^2 + (x + 2)^2}\)

\(= \sqrt{2x^2 + 4x + 4}\)

\(b)\) Ta có: Chu vi tam giác \(ABC\) bằng:

\(AB + AC + BC = x + x + 2 + \sqrt{2x^2 + 4x + 4} \)

\(= 2x + 2 + \sqrt{2x^2 + 4x + 4} = 24\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2x^2 + 4x + 4} = 22 \ – \ 2x\)

\(\Rightarrow 2x^2 + 4x + 4 = (22 \ – \ 2x)^2\)

\(\Rightarrow 2x^2 + 4x + 4 = 4x^2 \ – \ 88x + 484\)

\(\Rightarrow 2x^2 \ – \ 92x + 480 = 0\)

\(\Rightarrow x = 6 \text{ hoặc } x = 40\)

Thay lần lượt từng nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt{2x^2 + 4x + 4} = 22 \ – \ 2x\) ta thấy chỉ có nghiệm \(x = 6\) thoả mãn.

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác \(ABC\) là: \(AB = 6 cm ; AC = 8 cm ; BC = 10 cm\).

\(\)

Bài \(4\). Một con tàu biển \(M\) rời cảng \(O\) và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc \(60^o\). Trên bờ biển có hai đài quan sát \(A\) và \(B\) nằm về hai phía so với cảng \(O\) và lần lượt cách cảng \(O\) khoảng cách \(1 km\) và \(2 km\) (Hình \(2\)).
\(a)\) Đặt độ dài của \(MO\) là \(x km\). Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến \(A\) và từ tàu đến \(B\) theo \(x\).
\(b)\) Tìm \(x\) để khoảng cách từ tàu đến \(B\) bằng \(\displaystyle \frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến \(A\).
\(c)\) Tìm \(x\) để khoảng cách từ tàu đến \(B\) nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến \(O\) đúng \(500 m\).
Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Trả lời:

\(a)\) Đặt độ dài của \(MO\) là \(x km\) \((x > 0)\)

Ta có: \(\widehat{MOA} + \widehat{MOB} = 180^o\) (Hai góc ở vị trí bù nhau)

\(\Rightarrow \widehat{MOA} = 180^o \ – \ \widehat{MOB} = 180^o \ – \ 60^o\)

\(= 120^o\)

Áp dụng định lí \(\text{ côsin }\) trong tam giác \(MOA\), ta có khoảng cách từ tàu đến \(A\) là:

\(MA = \sqrt{MO^2 + OA^2 \ – \ 2. MO. OA. \cos{MOA}}\)

\(= \sqrt{x^2 + 1^2 \ – \ 2. x. 1. cos 120^o} = \sqrt{x^2 + x + 1}\)

Áp dụng định lí \(\text{ côsin }\) trong tam giác \(MOB\), ta có khoảng cách từ tàu đến \(B\) là:

\(MB = \sqrt{MO^2 + OB^2 \ – \ 2. MO. OB. \cos{MOB}}\)

\(= \sqrt{x^2 + 2^2 \ – \ 2. x. 2. \cos60^o} = \sqrt{x^2 \ – \ 2x + 4}\)

\(b)\) Khoảng cách từ tàu đến \(B\) bằng \(\displaystyle \frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến \(A\) nên ta có:

\(MB = \displaystyle \frac{4}{5}. MA\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2 \ – \ 2x + 4} = \displaystyle \frac{4}{5}. \sqrt{x^2 + x + 1}\)

\(\Rightarrow x^2 \ – \ 2x + 4 = \displaystyle \frac{16}{25}. (x^2 + x + 1)\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{9}{25}x^2 \ – \ \displaystyle \frac{66}{25}x + \displaystyle \frac{84}{25} = 0\)

\(\Rightarrow x \approx 1,64 \text{ hoặc } x \approx 5,69\)

Thay lần lượt hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt{x^2 \ – \ 2x + 4} = \displaystyle \frac{4}{5}. \sqrt{x^2 + x + 1}\) ta thấy cả hai nghiệm đều thoả mãn phương trình.

Vậy khi \(x \approx 1,64 \text{ hoặc } x \approx 5,69\) thì khoảng cách từ tàu đến \(B\) bằng \(\displaystyle \frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến \(A\).

\(c)\) Đổi \(500 m = 0,5 km\)

Khoảng cách từ tàu đến \(B\) nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến \(O\) đúng \(500 m\) nên ta có:

\(MB = MO \ – \ 0,5\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2 \ – \ 2x + 4} = x \ – \ 0,5\)

\(\Rightarrow x^2 \ – \ 2x + 4 = x^2 \ – \ 2. x. 0,5 + 0,5^2\)

\(\Rightarrow x^2 \ – \ 2x + 4 = x^2 \ – \ x + \displaystyle \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{15}{4}\)

Thay \(x = \displaystyle \frac{15}{4}\) vào phương trình \(\sqrt{x^2 \ – \ 2x + 4} = x \ – \ 0,5\) ta thấy thoả mãn.

Vậy khi \(x = \displaystyle \frac{15}{4} km\) thì khoảng cách từ tàu đến \(B\) nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến \(O\) đúng \(500 m\).

Bài 3. Phương trình quy về Bài 3. Phương trình quy về Bài 3. Phương trình quy về Bài 3. Phương trình quy về

Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-2-giai-bat-phuong-trinh-bac-hai-mot-an/
Xem bài giải tiếp theo: https://bumbii.com/bai-tap-cuoi-chuong-vii/
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-toan-lop-10-nxb-chan-troi-sang-tao

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:

Website: https://bumbii.com/

Diễn đàn hỏi đáp: https://hoidap.bumbii.com

Facebook: https://www.facebook.com/bumbiitech

Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech

0 0 đánh giá
Article Rating
guest

0 Bình luận
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Cùng chia sẻ bình luận của bạn nào!x