Bài \(3\). Phương trình quy về phương trình bậc hai trang \(16\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo.
Bài \(1\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{4x^2 + 15x \ – \ 19} = \sqrt{5x^2 + 23x \ – \ 14}\);
\(b)\) \(\sqrt{8x^2 + 10x \ – \ 3} = \sqrt{29x^2 \ – \ 7x \ – \ 1}\);
\(c)\) \(\sqrt{\ – \ 4x^2 \ – \ 5x + 8} = \sqrt{2x^2 + 2x \ – \ 2}\);
\(d)\) \(\sqrt{5x^2 + 25x + 13} = \sqrt{20x^2 \ – \ 9x + 28}\);
\(e)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 \ – \ 2x + 7} = \sqrt{\ – \ x \ – \ 13}\).
Trả lời:
\(a)\) \(\sqrt{4x^2 + 15x \ – \ 19} = \sqrt{5x^2 + 23x \ – \ 14}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(4x^2 + 15x \ – \ 19 = 5x^2 + 23x \ – \ 14\)
\(\Leftrightarrow x^2 + 8x + 5 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \ – \ 4 + \sqrt{11}\) hoặc \(x = \ – \ 4 \ – \ \sqrt{11}\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có giá trị \(\ – \ 4 \ – \ \sqrt{1}\) thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \ – \ 4 \ – \ \sqrt{11}\).
\(b)\) \(\sqrt{8x^2 + 10x \ – \ 3} = \sqrt{29x^2 \ – \ 7x \ – \ 1}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(8x^2 + 10x \ – \ 3 = 29x^2 \ – \ 7x \ – \ 1\)
\(\Leftrightarrow 21x^2 \ – \ 17x + 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{2}{3}\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{1}{7}\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có giá trị \(\displaystyle \frac{2}{3}\) thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{2}{3}\).
\(c)\) \(\sqrt{\ – \ 4x^2 \ – \ 5x + 8} = \sqrt{2x^2 + 2x \ – \ 2}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(\ – \ 4x^2 \ – \ 5x + 8 = 2x^2 + 2x \ – \ 2\)
\(\Leftrightarrow 6x^2 + 7x \ – \ 10 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{5}{6}\) hoặc \(x = \ – \ 2\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{5}{6}; x = \ – \ 2\).
\(d)\) \(\sqrt{5x^2 + 25x + 13} = \sqrt{20x^2 \ – \ 9x + 28}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(5x^2 + 25x + 13 = 20x^2 \ – \ 9x + 28\)
\(\Leftrightarrow 15x^2 \ – \ 34x + 15 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{5}{3}\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{3}{5}\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{5}{3}; x = \displaystyle \frac{3}{5}\).
\(e)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 \ – \ 2x + 7} = \sqrt{\ – \ x \ – \ 13}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(\ – \ x^2 \ – \ 2x + 7 = \ – \ x \ – \ 13\)
\(\Leftrightarrow x^2 + x \ – \ 20 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \ – \ 5\) hoặc \(x = 4\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
\(\)
Bài \(2\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(2\sqrt{x^2 + 4x \ – \ 7} = \sqrt{\ – \ 4x^2 + 38x \ – \ 43}\);
\(b)\) \(\sqrt{6x^2 + 7x \ – \ 1} \ – \ \sqrt{\ – \ 29x^2 \ – \ 41x + 10} = 0\).
Trả lời:
\(a)\) \(2\sqrt{x^2 + 4x \ – \ 7} = \sqrt{\ – \ 4x^2 + 38x \ – \ 43}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(4. (x^2 + 4x \ – \ 7) = \ – \ 4x^2 + 38x \ – \ 43\)
\(\Leftrightarrow 8x^2 \ – \ 22x + 15 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{3}{2}\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{5}{4}\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có giá trị \(\displaystyle \frac{3}{2}\) thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\).
\(b)\) \(\sqrt{6x^2 + 7x \ – \ 1} \ – \ \sqrt{\ – \ 29x^2 \ – \ 41x + 10} = 0\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{6x^2 + 7x \ – \ 1} = \sqrt{\ – \ 29x^2 \ – \ 41x + 10}\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(6x^2 + 7x \ – \ 1 = \ – \ 29x^2 \ – \ 41x + 10\)
\(\Leftrightarrow 35x^2 + 48x \ – \ 11 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{1}{5}\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 11}{7}\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \displaystyle \frac{1}{5}\) và \( x = \displaystyle \frac{\ – \ 11}{7}\).
\(\)
Bài \(3\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 + 7x + 13} = 5\);
\(b)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 + 3x + 7} = 3\);
\(c)\) \(\sqrt{69x^2 \ – \ 52x + 4} = \ – \ 6x + 4\);
\(d)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 \ – \ 4x + 22} = \ – \ 2x + 5\);
\(e)\) \(\sqrt{4x + 30} = 2x + 3\);
\(g)\) \(\sqrt{\ – \ 57x + 139} = 3x \ – \ 11\).
Trả lời:
\(a)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 + 7x + 13} = 5\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(\ – \ x^2 + 7x + 13 = 25\)
\(\Leftrightarrow \ – \ x^2 + 7x \ – \ 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 3\) hoặc \(x = 4\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\) và \(x = 4\).
\(b)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 + 3x + 7} = 3\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(\ – \ x^2 + 3x + 7 = 9\)
\(\Leftrightarrow \ – \ x^2 + 3x \ – \ 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 2\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\) và \(x = 2\).
\(c)\) \(\sqrt{69x^2 \ – \ 52x + 4} = \ – \ 6x + 4\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(69x^2 \ – \ 52x + 4 = 36x^2 \ – \ 48x + 16\)
\(\Leftrightarrow 33x^2 \ – \ 4x \ – \ 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{\ – \ 6}{11}\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{2}{3}\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 6}{11}\) và \(x = \displaystyle \frac{2}{3}\).
\(d)\) \(\sqrt{\ – \ x^2 \ – \ 4x + 22} = \ – \ 2x + 5\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(\ – \ x^2 \ – \ 4x + 22 = 4x^2 \ – \ 20x + 25\)
\(\Leftrightarrow 5x^2 \ – \ 16x + 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 3\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{1}{5}\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có giá trị \(x = \displaystyle \frac{1}{5}\) thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \displaystyle \frac{1}{5}\).
\(e)\) \(\sqrt{4x + 30} = 2x + 3\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(4x + 30= 4x^2 + 12x + 9\)
\(\Leftrightarrow 4x^2 + 8x \ – \ 21 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{3}{2}\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 7}{2}\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có giá trị \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\) thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\).
\(g)\) \(\sqrt{\ – \ 57x + 139} = 3x \ – \ 11\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(\ – \ 57x + 139 = 9x^2 \ – \ 66x + 121\)
\(\Leftrightarrow 9x^2 \ – \ 9x \ – \ 18 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = \ – \ 1\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
\(\)
Bài \(4\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\sqrt{\ – \ 7x^2 \ – \ 60x + 27} + 3(x \ – \ 1) = 0\);
\(b)\) \(\sqrt{3x^2 \ – \ 9x \ – \ 5} + 2x = 5\);
\(c)\) \(\sqrt{\ – \ 2x + 8} \ – \ x + 6 = x\).
Trả lời:
\(a)\) \(\sqrt{\ – \ 7x^2 \ – \ 60x + 27} + 3(x \ – \ 1) = 0\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{\ – \ 7x^2 \ – \ 60x + 27} = \ – \ 3(x \ – \ 1)\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(\ – \ 7x^2 \ – \ 60x + 27 = 9(x \ – \ 1)^2\)
\(\Leftrightarrow \ – \ 7x^2 \ – \ 60x + 27 = 9x^2 \ – \ 18x + 9\)
\(\Leftrightarrow 16x^2 + 42x \ – \ 18 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \ – \ 3\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{3}{8}\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \ – \ 3\) và \(x = \displaystyle \frac{3}{8}\).
\(b)\) \(\sqrt{3x^2 \ – \ 9x \ – \ 5} + 2x = 5\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{3x^2 \ – \ 9x \ – \ 5} = 5 \ – \ 2x\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(3x^2 \ – \ 9x \ – \ 5 = 25 \ – \ 20x + 4x^2\)
\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ 11x + 30 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 5\) hoặc \(x = 6\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều không thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
\(c)\) \(\sqrt{\ – \ 2x + 8} \ – \ x + 6 = x\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{\ – \ 2x + 8} = 2x \ – \ 6\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(\ – \ 2x + 8 = 4x^2 \ – \ 24x + 36\)
\(\Leftrightarrow 4x^2 \ – \ 22x + 28 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = \displaystyle \frac{7}{2}\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có giá trị \(x = \displaystyle \frac{7}{2}\) thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{7}{2}\).
\(\)
Bài \(5\). Khoảng cách từ nhà An ở vị trí \(N\) đến cột điện \(C\) là \(10m\). Từ nhà, An đi \(x\) mét theo phương tạo với \(NC\) một góc \(60^o\) đến vị trí \(A\) sau đó đi tiếp \(3 m\) đến vị trí \(B\) như Hình \(1\).
\(a)\) Biểu diễn khoảng cách \(AC\) và \(BC\) theo \(x\).
\(b)\) Tìm \(x\) để \(AC = \displaystyle \frac{8}{9} BC\).
\(c)\) Tìm \(x\) để khoảng cách \(BC = 2AN\).
Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần mười.
Trả lời:
Ta có \(x > 0\)
\(a)\) Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ANC\) ta có:
\(AC^2 = AN^2 + NC^2 \ – \ 2. AN. NC. \cos{\widehat{N}}\)
\(AC^2 = x^2 + 10^2 \ – \ 2. x. 10. \cos{60^o} = x^2 \ – \ 10x + 100\)
\(\Rightarrow AC = \sqrt{AC^2} = \sqrt{x^2 \ – \ 10x + 100}\)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(BNC\) ta có:
\(BC^2 = BN^2 + NC^2 \ – \ 2. BN. NC. \cos{\widehat{N}}\)
\(BC^2 = (x + 3)^2 + 10^2 \ – \ 2. (x + 3). 10. \cos{60^o} = x^2 \ – \ 4x + 79\)
\(\Rightarrow BC = \sqrt{BC^2} = \sqrt{x^2 \ – \ 4x + 79}\)
\(b)\) \(AC = \displaystyle \frac{8}{9} BC\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2 \ – \ 10x + 100} = \displaystyle \frac{8}{9} \sqrt{x^2 \ – \ 4x + 79}\)
\(\Rightarrow 9\sqrt{x^2 \ – \ 10x + 100} = 8 \sqrt{x^2 \ – \ 4x + 79}\)
\(\Rightarrow 81(x^2 \ – \ 10x + 100) = 64(x^2 \ – \ 4x + 79)\)
\(\Rightarrow 17x^2 \ – \ 554x + 3044 = 0\)
\(\Rightarrow x \approx 25,6\) hoặc \(x \approx 7\)
Lần lượt thay hai giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu, ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.
Vậy khi \(x \approx 7\) hoặc \(x \approx 25,6\) thì \(AC = \displaystyle \frac{8}{9} BC\).
\(c)\) Ta có \(BC = 2AN\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2 \ – \ 4x + 79} = 2x\)
\(\Rightarrow x^2 \ – \ 4x + 79 = 4x^2\)
\(\Rightarrow 3x^2 + 4x \ – \ 79 = 0\)
\(\Rightarrow x \approx 4,5\) hoặc \(x \approx \ – \ 8,5\)
Mà \(x > 0\) nên \(x \approx 4,5\)
Thay \(x = 4,5\) vào phương trình ban đầu thấy thoả mãn.
Vậy \(x \approx 4,5\) thì \(BC = 2AN\)
Bài 3. Phương trình quy về Bài 3. Phương trình quy về Bài 3. Phương trình quy về Bài 3. Phương trình quy về Bài 3. Phương trình quy về Bài 3. Phương trình quy về
Xem bài giải trước: Bài 2 – Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương VII
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.