Bài 3. Nhị thức Newton

Bài 3. Nhị thức Newton trang \(45\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Khai triển các biểu thức sau:
\(a)\) \((x + 3y)^4\);
\(b)\) \((3 \ – \ 2x)^5\);
(c)\) \(\left(x \ – \ \displaystyle \frac{2}{x}\right)^5\);
\(d)\) \(\left(3\sqrt{x} \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4\).

Trả lời:

\(a)\) Theo công thức nhị thức Newton ta có:

\((x + 3y)^4 = x^4 + 4x^3. 3y + 6. x^2. (3y)^2 + 4x. (3y)^3 + (3y)^4\)

\(= x^4 + 12x^3y + 54x^2 y^2+ 108xy^3 + 81y^4\).

\(b)\) Theo công thức nhị thức Newton ta có:

\((3 \ – \ 2x)^5 = 3^5 + 5. 3^4. (\ – \ 2x) + 10. 3^3. (\ – \ 2x)^2 + 10. 3^2. (\ – \ 2x)^3 + 5. 3. (\ – \ 2x)^4 + ( \ – \ 2x)^5\)

\(= 243 \ – \ 810x + 1080x^2 \ – \ 720x^3 + 240x^4 \ – \ 32x^5\).

\(c)\) Theo công thức nhị thức Newton ta có:

\(\left(x \ – \ \displaystyle \frac{2}{x}\right)^5 = x^5 + 5x^4. \left(\ – \ \displaystyle \frac{2}{x}\right) + 10x^3. \left(\ – \ \displaystyle \frac{2}{x}\right)^2 + 10x^2. \left(\ – \ \displaystyle \frac{2}{x}\right)^3 + 5x. \left(\ – \ \displaystyle \frac{2}{x}\right)^4 + \left(\ – \ \displaystyle \frac{2}{x}\right)^5\)

\(= x^5 \ – \ 10x^3 + 40x \ – \ \displaystyle \frac{80}{x} + \displaystyle \frac{80}{x^3} \ – \ \displaystyle \frac{80}{x^5}\)

\(d)\) Theo công thức nhị thức Newton ta có:

\(\left(3\sqrt{x} \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4 = (\sqrt{3}x)^4 + 4. (\sqrt{3}x)^3. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\right) + 6. (\sqrt{3}x)^2. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 + 4. (\sqrt{3}x). \left(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^3 + \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4\)

\(= 81x^2 \ – \ 108x + 54 \ – \ \displaystyle \frac{12}{x} + \displaystyle \frac{1}{x^2}\)

\(\)

Bài \(2\). Khai triển và rút gọn biểu thức \((x \ – \ 2)(2x + 1)^4\).

Trả lời:

Ta có:

\((2x + 1)^4 = (2x)^4 + 4. (2x)^3. 1 + 6. (2x)^2. 1^2 + 4. 2x. 1^3 + 1^4\)

\(= 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1\)

Suy ra:

\((x \ – \ 2)(2x + 1)^4\)

\(= (x \ – \ 2) . (16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1)\)

\(= 16x^5 + 32x^4 + 24x^3 + 8x^2 + x \ – \ 32x^4 \ – \ 64x^3 \ – \ 48x^2 \ – \ 16x \ – \ 2\)

\(= 16x^5 \ – \ 40x^3 \ – \ 40x^2 \ – \ 15x \ – \ 2\).

\(\)

Bài \(3\). Tìm giá trị tham số \(a\) để trong khai triển \((a + x)(1 + x)^4\) có một số hạng là \(22x^2\).

Trả lời:

Ta có: \((1 + x)^4 = 1^4 + 4. 1^3. x + 6. 1^2. x^2 + 4. 1. x^3 + x^4 \)

\(= x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\)

Suy ra: \((a + x)(1 + x)^4 = (a + x)(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1)\)

\( = ax^4 + x^5 + 4ax^3 + 4x^4 + 6ax^2 + 6x^3 + 4ax + 4x^2 + a + x\)

\(= x^5 + (x + 4)x^4 + (4a + 6)x^3 + (6a + 4)x^2 + (4a + 1)x + a\)

Để khai triển trên có số hạng \(22x^2\) thì \(6a + 4 = 22\)

\(\Rightarrow a = 3\)

Vậy \(a = 3\).

\(\)

Bài \(4\). Biết rằng trong khai triển \((ax \ – \ 1)^5\), hệ số của \(x^4\) gấp bốn lần hệ số của \(x^2\). Hãy tìm giá trị của tham số \(a\).

Trả lời:

Ta có: \((ax \ – \ 1)^5 = (ax)^5 + 5(ax)^4. (\ – \ 1) + 10.(ax)^3. (\ – \ 1)^2 + 10. (ax)^2. (\ – \ 1)^3 + 5. ax. (\ – \ 1)^4 + (\ – \ 1)^5\)

\(= a^5x^5 \ – \ 5a^4x^4 + 10a^3x^3 \ – \ 10a^2x^2 + 5ax \ – \ 1\)

Hệ số của \(x^4\) gấp bốn lần hệ số của \(x^2\) nên suy ra:

\(\displaystyle \frac{\ – \ 5a^4}{\ – \ 10a^2} = 4\)

\(\Rightarrow a^2 = 8\)

\(\Rightarrow a = \pm 2\sqrt{2}\)

Vậy \(a = \pm 2\sqrt{2}\).

\(\)

Bài \(5\). Biết rằng trong khai triển của \(\left(ax + \displaystyle \frac{1}{x}\right)^4\), số hạng không chứa \(x\) là \(24\). Hãy tìm giá trị của tham số \(a\).

Trả lời:

Ta có: \(\left(ax + \displaystyle \frac{1}{x}\right)^4 = (ax)^4 + 4. (ax)^3. \displaystyle \frac{1}{x} + 6. (ax)^2. \left(\displaystyle \frac{1}{x}\right)^2 + 4. ax. \left(\displaystyle \frac{1}{x}\right)^3 + \left(\displaystyle \frac{1}{x}\right)^4\)

\(= a^4x^4 + 4a^3x^2 + 6a^2 + \displaystyle \frac{4a}{x^2} + \displaystyle \frac{1}{x^4}\)

Trong khai triển, số hạng không chứa \(x\) là \(24\) nên \(6a^2 = 24\)

\(\Rightarrow a^2 = 4\)

\(\Rightarrow a = \pm 2\)

Vậy \(a = \pm 2\).

\(\)

Bài \(6\). Cho biểu thức \(A = (2 + x)^4 + (2 \ – \ x)^4\).
\(a)\) Khai triển và rút gọn biểu thức \(A\);
\(b)\) Sử dụng kết quả ở câu \(a)\), tính gần đúng \(A = 2,05^4 + 1,95^4\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có:

\((2 + x)^4 = 2^4 + 4. 2^3. x + 6. 2^2. x^2 + 4. 2. x^3 + x^4\)

\(= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\)

\((2 \ – \ x)^2 = 2^4 + 4. 2^3.(\ – \ x) + 6. 2^2. (\ – \ x)^2 + 4. 2. (\ – \ x)^3 + (\ – \ x)^4\)

\(= x^4 \ – \ 8x^3 + 24x^2 \ – \ 32x + 16\)

Suy ra: \(A = (2 + x)^4 + (2 \ – \ x)^4\)

\(= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 + x^4 \ – \ 8x^3 + 24x^2 \ – \ 32x + 16\)

\(= 2x^4 + 48x^2 + 32\)

\(b)\) Với \(x = 0,05\) ta có:

\(A = 2,05^2 + 1,95^2 = (2 + 0,05)^4 + (2 \ – \ 0,05)^4\)

\(= 2. 0,05^4 + 48. 0,05^2 + 32 \approx 32,12\).

\(\)

Bài \(7\). Bạn An có \(4\) cái bánh khác nhau từng đôi một. An có bao nhiêu cách chọn ra một số cái bánh (tính cả trường hợp không chọn cái nào) để mang theo trong buổi dã ngoại.

Trả lời:

Xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp \(1\): An không chọn bánh nào. Có \(C_4^0\) cách.

Trường hợp \(2\): An chọn \(1\) cái bánh. Có \(C_4^1\) cách chọn bánh.

Trường hợp \(3\): An chọn \(2\) cái bánh. Có \(C_4^2\) cách chọn bánh.

Trường hợp \(4\): An chọn \(3\) cái bánh. Có \(C_4^3\) cách chọn bánh.

Trường hợp \(5\): An chọn \(4\) cái bánh. Có \(C_4^4\) cách chọn bánh khác nhau.

Áp dụng quy tắc cộng ta thấy An có tổng số cách chọn:

\(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = (1 + 1)^4 = 2^4 = 16\) cách chọn bánh.

Bài 3. Nhị thức Newton Bài 3. Nhị thức Newton Bài 3. Nhị thức Newton

Xem bài giải trước: Bài 2 – Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương VIII
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech