Chương 1 – Bài 3. Hằng đẳng thức đáng nhớ trang 13 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Chân Trời Sáng Tạo.
1. Tính:
a) \((4x-5)^2;\)
b) \(\left(3x+\displaystyle\frac{1}{3}y\right)^2;\)
c) \((-x+0,3)^2;\)
d) \((-x-10y)^2;\)
e) \((a^3-3a)^2;\)
g) \(\left(a^4+\displaystyle\frac{1}{2}a^2\right)^2.\)
Giải
a) \((4x-5)^2\) \(=(4x)^2-2.4x.5+5^2\) \(=16x^2-40x+25;\)
b) \(\left(3x+\displaystyle\frac{1}{3}y\right)^2\) \(=(3x)^2+2.3x.\displaystyle\frac{1}{3}y+\left(\displaystyle\frac{1}{3}y\right)^2\) \(=9x^2+2xy+19y^2;\)
c) \((-x+0,3)^2\) \(=(-x)^2+2.(-x).0,3+0,3^2\) \(=x^2-0,6x+0,09;\)
d) \((-x-10y)^2\) \(= (-x)^2 + 2.(-x).(-10y)+ (-10y)^2\) \(= x^2 + 20xy + 100y^2.\)
e) \((a^3-3a)^2\) \(=(a^3)^2-2.a^3.3a+(3a)^2\) \(=a^6-6a^4+9a^2;\)
g) \(\left(a^4+\displaystyle\frac{1}{2}a^2\right)^2\) \(=(a^4)^2+2.a^4.\displaystyle\frac{1}{2}a^2+\left(\displaystyle\frac{1}{2}a^2\right)^2\) \(=a^8+a^6+\displaystyle\frac{1}{4}a^4.\)
\(\)
2. Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) \((1-4x)(1+4x);\)
b) \((-2x-5y)(2x-5y);\)
c) \((x^3-3x)(3x+x^3);\)
d) \((1+x+x^2)(1+x-x^2).\)
Giải
a) \((1-4x)(1+4x)=12-(4x)^2\) \(=1-16x^2.\)
b) \((-2x-5y)(2x-5y)\) \(=-(2x+5y)(2x-5y)\) \(=-[(2x)^2-(5y)^2]\) \(=-4x^2+25y^2.\)
c) \((x^3-3x)(3x+x^3)\) \(=(x^3-3x)(x^3+3x)\) \(=(x^3)^2-(3x)^2\) \(=x^6-9x^2.\)
d) \((1+x+x^2)(1+x-x^2)\) \(=(1+x)^2-(x^2)^2\) \(=-x^4+x^2+2x+1.\)
\(\)
3. Tính nhanh:
a) \(50,52-50,42;\)
b) \(202.198;\)
c) \(10,22;\)
d) \(101^2-202.71+71^2.\)
Giải
a) \(50,5^2-50,4^2\) \(=(50,5-50,4)(50,5+50,4)\) \(=0,1.100,9=10,09.\)
b) \(202.198=(200+2)(200-2)\) \(=200^2-2^2=40000-4=39996.\)
c) \(10,2^2=(10+0,2)^2\) \(=10^2+2.10.0,2+0,2^2\) \(=100+4+0,04=104,04.\)
d) \(101^2-202.71+71^2\) \(=101^2-2.101.71+71^2\) \(=(101-71)^2=30^2=900.\)
\(\)
4. Tính giá trị của biểu thức:
a) \(P=(x-10)^2-x(x+80)\) tại \(x=0,87;\)
b) \(Q=4a^2+8ab+4b^2\) tại \(a=65\) và \(b=35;\)
c) \(R=x^3-3x^2+3x-1\) tại \(x=101.\)
Giải
a) \(P=(x-10)^2-x(x+80)\)
\(=x^2-20x+100-x^2-80x\)
\(=(x^2-x^2)-(20x+80x)+100\)
\(=-100x+100.\)
Với \(x=0,87\) ta có: \(P=-100.0,87+100=-87+100=13.\)
b) \(Q=4a^2+8ab+4b^2\)
\(=4(a^2+2ab+b^2)\)
\(=4(a+b)^2.\)
Với \(a=65\) và \(b=35\) ta có: \(Q=4(65+35)^2=4.(100)^2=40000.\)
c) \(R=x^3-3x^2+3x-1\)
\(=x^3-3.x^2.1+3.x.1^2-1^3\)
\(=(x-1)^3.\)
Với \(x=101\) ta có: \(R=(101-1)^3=100^3=1000000.\)
\(\)
5. Thu gọn các biểu thức sau:
a) \(20x^2-(5x-4)(4 + 5x);\)
b) \((x-y)^2-x(x + 2y);\)
c) \((x + 3)^3-(x-3)^3;\)
d) \(x(x-1)(x + 1)-(x-3)(x^2 + 3x + 9).\)
Giải
a) \(20x^2-(5x-4)(4 + 5x)\)
\(= 20x^2-[(5x-4)(5x + 4)]\)
\(= 20x^2-(25x^2-16)\)
\(= 20x^2-25x^2 + 16\)
\(= -5x^2+16.\)
b) \((x-y)^2-x(x + 2y)\)
\(= x^2-2xy + y^2-x^2-2xy\)
\(= (x^2-x^2) + (-2xy-2xy) + y^2\)
\(=-4xy + y^2.\)
c) \((x + 3)^3-(x-3)^3\)
\(= x^3 + 9x^2 + 27x + 27-x^3 + 9x^2-27x + 27\)
\(= (x^3-x^3) + (9x^2 + 9x^2) + (27x-27x) + 27 + 27\)
\(= 18x^2 + 54.\)
d) \(x(x-1)(x + 1)-(x-3)(x^2 + 3x + 9)\)
\(= x[(x-1)(x + 1)]-(x^3-33)\)
\(= x(x^2-1)-(x^3-27)\)
\(= x^3-x-x^3 + 27\)
\(= 27-x.\)
\(\)
6. Biết rằng \(x=2a+b\) và \(y=2a-b.\) Tính giá trị các biểu thức sau theo \(a\) và \(b.\)
a) \(A=\displaystyle\frac{1}{2}xy;\)
b) \(B=x^2+y^2;\)
c) \(C=x^2-y^2;\)
Giải
a) Thay \(x = 2a + b\) và \(y = 2a-b\) vào biểu thức \(A=\displaystyle\frac{1}{2}xy,\) ta được:
\(A=\displaystyle\frac{1}{2}(2a+b)(2a-b)=\displaystyle\frac{1}{2}[(2a)^2-b^2]\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}.(4a^2-b^2)=2a^2-\displaystyle\frac{1}{2}b^2.\)
b) Thay \(x = 2a + b\) và \(y = 2a-b\) vào biểu thức \(B = x^2 + y^2,\) ta được:
\(B = (2a + b)^2 + (2a-b)^2\)
\(= 4a^2 + 4ab + b^2 + 4a^2-4ab + b^2\)
\(= (4a^2 + 4a^2) + (4ab-4ab) + (b^2 + b^2)\)
\(= 8a^2 + 2b^2.\)
c) Cách 1:
Thay \(x = 2a + b\) và \(y = 2a-b\) vào biểu thức \(C = x^2-y^2,\) ta được:
\(C = (2a + b)^2-(2a-b)^2\)
\(= 4a^2 + 4ab + b^2-4a^2 + 4ab-b^2\)
\(= (4a^2-4a^2) + (4ab + 4ab) + (b^2-b^2)\)
\(= 8ab.\)
Cách 2:
\(C = (2a + b)^2-(2a-b)^2\)
\(= [(2a + b)-(2a-b)].[(2a + b) + (2a-b)]\)
\(= (2a + b-2a + b)(2a + b + 2a-b)\)
\(= 2b.4a = 8ab.\)
\(\)
7. Chứng minh rằng:
a) \( 337^3+163^3\) chia hết cho \(500;\)
b) \(234^3-123^3\) chia hết cho \(3;\)
Giải
a) \(337^3+163^3\) \(=(337+163)(337^2-337.163+163^2)\) \(=500.(337^2-337.163+163^2)\) chia hết cho \(500\) (do \(337^2-337.163+163^2\) là một số nguyên).
Vậy \( 337^3+163^3\) chia hết cho \(500.\)
b) \(234^3-123^3\) \(=(234-123)(234^2+234.123+123^2)\) \(=111(234^2+234.123+123^2)\)
Ta có \(111\) chia hết cho \(3\) (do có tổng các chữ số \(1+1+1=3\) chia hết cho \(3\)) và \(234^2+234.123+123^2\) là một số nguyên.
Vậy \(234^3-123^3\) chia hết cho \(3.\)
\(\)
8. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên \(n,\)
a) \((2n+1)^2-(2n-1)^2\) chia hết cho \(8;\)
b) \((8n+4)^2-(2n+1)^2\) chia hết cho \(15.\)
Giải
a) Ta có: \((2n+1)^2-(2n-1)^2\) \(=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)\) \(=4n.2=8n.\)
\(8n\) chia hết cho \(8\) nên \((2n+1)^2-(2n-1)^2\) chia hết cho \(8.\)
b) Ta có: \((8n+4)^2-(2n+1)^2\) \(=(8n+4+2n+1)(8n+4-2n-1)\) \(=(10n+5)(6n+3)=15(2n+1)^2.\)
\(15(2n+1)^2\) chia hết cho \(15\) nên \((8n+4)^2-(2n+1)^2\) chia hết cho \(15.\)
\(\)
9. Thay mỗi dấu * bằng một đơn thức thích hợp để nhận được một đồng nhất thức.
a) \((a+*)^2=a^2+4ab+4b^2;\)
b) \((x-*)^2=x^2-8ax+16a^2;\)
c) \((*-5y)^2=0,16x^2-*+25y^2;\)
d) \((3x-0,5y)^2=9x^2+0,25y^2+*.\)
Giải
a) \((a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2;\)
b) \((x-4a)^2=x^2-8ax+16a^2.\)
c) \((0,4x-5y)^2=0,16x^2-4xy+25y^2.\)
d) \((3x-0,5y)^2=9x^2+0,25y^2+(-3xy).\)
\(\)
10. Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) \((x^2+4y^2)(x+2y)(x-2y);\)
b) \((x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1).\)
Giải
a) \((x^2 + 4y^2)(x + 2y)(x-2y)\)
\(= (x^2 + 4y^2)(x^2 + 4y^2)\)
\(= x^4-16y^4.\)
b) \((x-1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)\)
\(= (x^2-1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)\)
\(= (x^4-1)(x^4 + 1)\)
\(= x^8-1.\)
\(\)
11. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \((a+b)^2-(a-b)^2=4ab;\)
b) \(a^3+b^3=(a+b)[(a-b)^2+ab];\)
c) \(2(a-b)(a+b)+(a+b)^2+(a-b)^2=4a^2;\)
d) \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac.\)
Giải
a) \((a+b)^2-(a-b)^2\) \(=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2\) \(=(a^2-a^2)+(2ab+2ab)+(b^2-b^2)\) \(=4ab.\)
b) \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) \(=(a+b)(a^2-2ab+b^2+ab)\) \(=(a+b)[(a-b)^2+ab].\)
c) Cách 1: \(2(a-b)(a+b)+(a+b)^2+(a-b)^2\) \(=2(a^2-b^2)+(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)\) \(=(2a^2+a^2+a^2)+(b^2+b^2-2b^2)+(2ab-2ab)\) \(=4a^2.\)
Cách 2: \(2(a-b)(a+b)+(a+b)^2+(a-b)^2\) \(=(a+b)^2+2(a-b)(a+b)+(a-b)^2\) \(=(a+b+a-b)^2=(2a)^2\) \(=4a^2.\)
d) \((a+b+c)^2=[(a+b)+c]^2\) \(=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2\) \(=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2\) \(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 2. Các phép toán với đa thức nhiều biến
Xem bài giải tiếp theo: Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
