Bài \(3\). Hàm số mũ. Hàm số lôgarit trang \(39\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
\(a)\) \(y = 4^x\);
\(b)\) \(y = \log_{\frac{1}{4}} x\).
Trả lời:
\(a)\) Bảng biến thiên hàm số \(y = 4^x\) là:
Đồ thị hàm số \(y = 4^x\) là đường đi qua các điểm \(A\left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{1}{2}\right), B(0; 1), C(1; 4); D\left(\displaystyle \frac{1}{2}; 2\right), E\left(\displaystyle \frac{3}{2}; 8\right)\)
\(b)\) Bảng biến thiên của hàm số \(y = \log_{\frac{1}{4}} x\) là:
Đồ thị hàm số \(y = \log_{\frac{1}{4}} x\) là đường đi qua các điểm \(A\left(\displaystyle \frac{1}{4}; 1\right), B(1; 0), C\left(2; \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\right), D(4; \ – \ 1), E\left(8; \ – \ \displaystyle \frac{3}{2}\right)\):
\(\)
Bài \(2\). Tìm tập xác định của các hàm số:
\(a)\) \(y = 12^x\);
\(b)\) \(y = \log_{5} (2x \ – \ 3)\);
\(c)\) \(y = \log_{\frac{1}{5}} (\ – \ x^2 + 4)\).
Trả lời:
\(a)\) Tập xác định của hàm số \(y = 12^x\) là \(x \in \mathbb{R}\)
\(b)\) Hàm số \(y = \log_{5} (2x \ – \ 3)\) xác định khi và chỉ khi \(2x \ – \ 3 > 0\)
\(\Leftrightarrow x > \displaystyle \frac{3}{2}\)
\(c)\) Hàm số \(y = \log_{\frac{1}{5}} (\ – \ x^2 + 4)\) xác định khi và chỉ khi \(\ – \ x^2 + 4 > 0\)
\(\Leftrightarrow (2 \ – \ x)(2 + x) > 0\)
\(\Leftrightarrow \ – \ 2 < x < 2\)
\(\)
Bài \(3\). Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của hàm số đó? Vì sao?
\(a)\) \(y = \left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^x\);
\(b)\) \(y = \left(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)^x\);
\(c)\) \(y = \log_{\pi} x\);
\(d)\) \(y = \log_{\frac{\sqrt{15}}{4}} x\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(0 < \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} < 1\)
\(\Rightarrow\) Hàm số \(y = \left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^x\) là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
\(b)\) Ta có: \(0 < \displaystyle \frac{\sqrt[3]{26}}{3} < 1\)
Suy ra hàm số \(y = \left(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)^x\) là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
\(c)\) Ta có: \(1 < \pi\)
Suy ra hàm số \(y = \log_{\pi} x\) là hàm số đồng biến trên \((0; +\infty)\)
\(d)\) Ta có: \(0 < \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4} < 1\)
Suy ra hàm số \(y = \log_{\frac{\sqrt{15}}{4}} x\) là hàm số nghịch biến trên \((0; +\infty)\).
\(\)
Bài \(4\). Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm \(0\). Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ \(t\) là hàm số theo biến \(t\) được cho bởi công thức \(S = A. e^{rt}\). Trong đó, \(A\) là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm \(0\) và \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Biết rằng dân số Việt Nam năm \(2021\) ước tính là \(98564407\) người và tỉ lệ tăng dân số \(0,93 \%\)/năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm là như nhau tính từ năm \(2021\), nêu dự đoán dân số Việt Nam năm \(2030\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Trả lời:
Ta có: \(S = A. e^{rt}\)
Đến năm \(2030\) thì \(t = 2030 \ – \ 2021 = 9\) (năm)
Suy ra dân số Việt Nam năm \(2030\) ước tính là:
\(S = 98564407. e^{0,93\%. 9} \approx 107169341\) người.
Vậy dự đoán dân số Việt Nam năm \(2030\) là khoảng \(107169341\) người.
\(\)
Bài \(5\). Các nhà tâm lý học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: \(f(t) = c (1 \ – \ e^{\ – \ kt})\), trong đó \(c\) là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, \(k\) (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, t(ngày) là thời gian học và \(f(t)\) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được. Giả sử một em học sinh phải tiếp thu \(25\) đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là \(k = 0,2\). Hỏi em học sinh sẽ nhớ được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau \(2\) ngày? Sau \(8\) ngày?
Trả lời:
Ta có: \(f(t) = c. (1 \ – \ e^{\ – \ kt})\)
Sau \(2\) ngày, số đơn vị kiến thức em học sinh đó nhớ được là:
\(f(2) = 25. (1 \ – \ e^{\ – \ 0,2. 2}) \approx 8,24\) (đơn vị)
Sau \(8\) ngày, số đơn vị kiến thức em học sinh đó nhớ được là:
\(f(8) = 25. (1 \ – \ e^{\ – \ 0,2. 8}) \approx 20\) (đơn vị)
\(\)
Bài \(6\). Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: \(pH = \ – \ \log [H^+]\). Phân tích nồng độ ion hydrogen \([H^+]\) trong hai mẫu nước sông, ta có kết quả sau:
Mẫu \(1\): \([H^+] = 8. 10^{\ – \ 7}\); Mẫu \(2\): \([H^+] = 2. 10^{\ – \ 9}\).
Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh độ \(pH\) của hai mẫu nước trên.
Trả lời:
Xét mẫu \(1\):
\(pH = \ – \ \log (8. 10^{\ – \ 7}) = \ – \ log 8 \ – \ log {10^{\ – \ 7}}\)
\(= \ – \ \log 8 + 7\log 10 = \ – \ 3\log2 + 7\)
Xét mẫu \(2\):
\(pH = \ – \ \log (2. 10^{\ – \ 9}) = \ – \ \log2 \ – \ log (10^{\ – \ 9})\)
\(= \ – \ \log2 + 9\)
Ta thấy \(7 \ – \ 3\log 2< 9 \ – \ \log2\)
\(\Rightarrow\) Độ \(pH\) của mẫu \(2\) lớn hơn độ \(pH\) của mẫu \(1\).
\(\)
Bài \(7\). Một người gửi \(10\) triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là \(12\) tháng với lãi suất \(6\%\)/năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và người đó không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau \(y\) (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là \(x\) (đồng), người đó sử dụng công thức \(y = \log_{1,06} \left(\displaystyle \frac{x}{10}\right)\). Hỏi sau bao nhiêu năm thì người đó có được tổng số tiền cả vốn và lãi là \(15\) triệu đồng? \(20\) triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Trả lời:
Số năm người đó được cả vốn lẫn lãi là \(15\) triệu đồng là:
\(y = \log_{1,06} \left(\displaystyle \frac{x}{10}\right) = \log_{1,06} \left(\displaystyle \frac{15}{10}\right) \approx 7\) năm
Số năm người đó được cả vốn lẫn lãi là \(20\) triệu đồng là:
\(y = \log_{1,06} \left(\displaystyle \frac{x}{10}\right) = \log_{1,06} \left(\displaystyle \frac{20}{10}\right) \approx 12\) năm
Bài 3. Hàm số mũ Bài 3. Hàm số mũ Bài 3. Hàm số mũ
Xem bài giải trước: Bài 2 – Phép tính lôgarit
Xem bài giải tiếp theo: Bài 4 – Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.