Bài 3. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài \(3\). Hàm số mũ. Hàm số lôgarit trang \(19\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Vẽ đồ thị các hàm số sau:
\(a)\) \(y = 4^x\);
\(b)\) \(y = \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^x\).

Trả lời:

\(a)\) Hàm số \(y = 4^x\)

Ta có bảng giá trị sau:

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), xác định các điểm có toạ độ như bảng trên. Làm tương tự, lấy nhiều điểm \(M(x; 4^x)\) với \(x \in \mathbb{R}\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = 4^x\) như hình dưới:

\(b)\) Hàm số \(y = \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^x\)

Ta có bảng giá trị sau:

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), xác định các điểm có toạ độ như bảng trên. Làm tương tự, lấy nhiều điểm \(N\left(x; \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^x\right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = \left(\displaystyle \frac{1}{4}\right)^x\) như hình dưới:

\(\)

Bài \(2\). So sánh các cặp số sau:
\(a)\) \(1,3^{0,7}\) và \(1,3^{0,6}\);
\(b)\) \(0,75^{\ – \ 2,3}\) và \(0,75^{\ – \ 2,4}\).

Trả lời:

\(a)\) Do \(1,3 > 1\) nên hàm số \(y = 1,3^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà \(0,7 > 0,6\) nên \(1,3^{0,7} > 1,3^{0,6}\)

\(b)\) Do \(0,75 < 1\) nên hàm số \(y = 0,75^x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Mà \(\ – \ 2,3 > \ – \ 2,4\) nên \(0,75^{\ – \ 2,3} < 0,75^{\ – \ 2,4}\)

\(\)

Bài \(3\). Tìm tập xác định của các hàm số:
\(a)\) \(\log_{2} (3 \ – \ 2x)\);
\(b)\) \(\log_{3} (x^2 + 4x)\).

Trả lời:

\(a)\) \(\log_{2} (3 \ – \ 2x)\)

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(3 \ – \ 2x > 0\)

\(\Leftrightarrow x < \displaystyle \frac{3}{2}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{3}{2}\right)\)

\(b)\) \(\log_{3} (x^2 + 4x)\)

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x^2 + 4x > 0\)

\(\Leftrightarrow x(x + 4) > 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x > 0\\x < \ – \ 4 \end{matrix} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = (\ – \ \infty; \ – \ 4) \cup (0; + \infty)\)

\(\)

Bài \(4\). Vẽ đồ thị các hàm số:
\(a)\) \(y = \log x\);
\(b)\) \(y = \log_{\frac{1}{4}} x\).

Trả lời:

\(a)\) Hàm số \(y = \log x\)

Ta có bảng giá trị sau:

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), xác định các điểm có toạ độ như bảng trên. Làm tương tự, lấy nhiều điểm \(M\left(x; \log x\right)\) với \(x > 0\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = \log x\) như hình dưới:

\(b)\) Hàm số \(y = \log_{\frac{1}{4}} x\)

Ta có bảng giá trị sau:

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), xác định các điểm có toạ độ như bảng trên. Làm tương tự, lấy nhiều điểm \(N\left(x; \log_{\frac{1}{4}} x\right)\) với \(x > 0\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = \log_{\frac{1}{4}} x\) như hình dưới:

\(\)

Bài \(5\). So sánh các cặp số sau:
\(a)\) \(\log_{\pi} 0,8\) và \(\log_{\pi} 1,2\);
\(b)\) \(\log_{0,3} 2\) và \(\log_{0,3} 2,1\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: Hàm số \(y = \log_{\pi} x\) có cơ số \(\pi > 1\) nên hàm số \(y = \log_{\pi} x\) đồng biến trên \((0; + \infty)\)

Mà \(0,8 < 1,2\) nên \(\log_{\pi} 0,8 < \log_{\pi} 1,2\)

\(b)\) Ta có: Hàm số \(y = \log_{0,3} x\) có cơ số \(0,3 < 1\) nên hàm số nghịch biến trên \((0; + \infty)\)

Mà \(2 < 2,1\) nên \(\log_{0,3} 2 > \log_{0,3} 2,1\)

\(\)

Bài \(6\). Cường độ ánh sáng \(I\) dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức \(I = I_0. a^d\), trong đó \(I_0\) là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, \(a\) là hằng số (\(a > 0\)) và \(d\) là độ sâu tính bằng mét tính từ mặt nước biển.
\(a)\) Có thể khẳng định rằng \(0 < a < 1\) không? Giải thích.
\(b)\) Biết rằng cường độ ánh sáng tại độ sâu \(1\) m bằng \(0,95 I_0\). Tìm giá trị của \(a\).
\(c)\) Tại độ sâu \(20\) m, cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu phần trăm so với \(I_0\)? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.)

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(I = I_0. a^d\)

Tại mặt nước, \(d = 0, I = I_0\)

Ở độ sâu \(d > 0, I = I_0. a^d < I_0\)

Mà \(I_0\) không đổi nên hàm số \(y = a^d\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Suy ra \(0 < a < 1\)

\(b)\) Khi \(d = 1\) thì \(I = I_0. a^ 1 = I_0. a = 0,95 I_0\)

Suy ra \(a = 0,95\)

\(c)\) Với \(a = 0,95\) ta có: \(I = I_0. 0,95^d\)

Khi \(d = 20\) thì:

\(I = I_0. 0,95^{20} \approx \displaystyle \frac{36}{100} I_0\)

Vậy tại độ sâu \(20\) m thì cường độ ánh sáng bằng \(36 \% I_0\).

\(\)

Bài \(7\). Công thức \(h = \ – \ 19,4 \log \displaystyle \frac{P}{P_0}\) là mô hình đơn giản cho phép tính độ cao \(h\) so với mặt nước biển của một vị trí trong không trung (tính bằng kilômét) theo áp suất không khí \(P\) tại điểm đó và áp suất \(P_0\) của không khí tại mặt nước biển (cùng tính bằng \(Pa\) – đơn vị áp suất, đọc là pascal).
\(a)\) Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng \(\displaystyle \frac{1}{2} P_0\) thì máy bay đang ở độ cao nào?
\(b)\) Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi \(A\) bằng \(\displaystyle \frac{4}{5}\) lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi \(B\). Ngọn núi nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(h = \ – \ 19,4 \log \displaystyle \frac{P}{P_0}\)

Khi \(P = \displaystyle \frac{1}{2} P_0\) thì:

\(h = \ – \ 19,4 \log \displaystyle \frac{1}{2} \approx 5,6\) (km)

Vậy khi áp suất không khi ngoài máy bay bằng \(\displaystyle \frac{1}{2} P_0\) thì máy bay đang ở độ cao \(5,6\)km.

\(b)\) Gọi \(P_A, P_B, h_A, h_B\) lần lượt là áp suất không khí tại đỉnh ngọn núi \(A, B\) và độ cao tương ứng của ngọn núi \(A, B\).

Ta có: \(P_A = \displaystyle \frac{4}{5} P_B\)

\(h_A = \ – \ 19,4. \log \displaystyle \frac{P_A}{P_0}\)

\(h_B = \ – \ 19,4. \log \displaystyle \frac{P_B}{P_0}\)

\(\Rightarrow h_A \ – \ h_B = \ – \ 19,4. \left(\log \displaystyle \frac{P_A}{P_0} \ – \ \log \displaystyle \frac{P_B}{P_0}\right)\)

\(= \ – \ 19,4. \left(\log \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{P_A}{P_0}}{\displaystyle \frac{P_B}{P_0}}\right)\)

\(= \ – \ 19,4. \log \displaystyle \frac{P_A}{P_B}\)