Bài 3. Hàm số lượng giác

Bài \(3\). Hàm số lượng giác trang \(22\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1.14\). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = \displaystyle \frac{1 \ – \ \cos{x}}{\sin{x}}\);
\(b)\) \(y = \sqrt{\displaystyle \frac{1 + \cos{x}}{2 \ – \ \cos{x}}}\).

Trả lời:

\(a)\) Biểu thức \(\displaystyle \frac{1 \ – \ \cos{x}}{\sin{x}}\) có nghĩa khi \(\sin{x} \neq 0\)

\(\Leftrightarrow x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}\)

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \displaystyle \frac{1 \ – \ \cos{x}}{\sin{x}}\) là \(D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\).

\(b)\) Biểu thức \(\sqrt{\displaystyle \frac{1 + \cos{x}}{2 \ – \ \cos{x}}}\) có nghĩa khi

\(\begin{equation} \left\{ \begin{array}{II} \sqrt{\displaystyle \frac{1 + \cos{x}}{2 \ – \ \cos{x}}} > 0 \\2 \ – \ \cos{x} \neq 0 \end{array} \right. \end{equation}\).

Vì \(\ – \ 1 \leq \cos{x} < 1\) nên \(1 + \cos{x} \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(2 \ – \ \cos{x} \geq 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Do đó, \(\displaystyle \frac{1 + \cos{x}}{2 \ – \ \cos{x}} \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(2 \ – \ \cos{x} \neq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \mathbb{R}\)

\(\)

Bài \(1.15\). Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = \sin{2x} + \tan{2x}\);
\(b)\) \(y = \cos{x} + \sin^2{x}\);
\(c)\) \(y = \sin{x} \cos{2x}\);
\(d)\) \(y = \sin{x} + \cos{x}\).

Trả lời:

\(a)\) Hàm số \(y = \sin{2x} + \tan{2x}\) có nghĩa khi \(\cos{2x} \neq 0\) tức là \(2x \neq \displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x \neq \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\displaystyle \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\).

Suy ra tập xác định của hàm số \(y = f(x) = \sin{2x} + \tan{2x}\) là \(D = \mathbb{R} \ – \ \left\{\displaystyle \frac{\pi}{4} + k\displaystyle \frac{\pi}{2} | k \in \mathbb{Z} \right\}\).

Khi đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(D\) thì \(\ – \ x\) cũng thuộc \(D\).

Ta có: \(f(\ – \ x) = \sin{\ – \ 2x} + \tan{\ – \ 2x} = \ – \ \sin{2x} \ – \ \tan{2x}\)

\(= \ – \ (\sin{2x} + \tan{2x}) = \ – \ f(x) \forall x \in D\).

Vậy hàm số \(y = \sin{2x} + \tan{2x}\) là hàm số lẻ.

\(b)\) Hàm số \(y = \cos{x} + \sin^2{x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(D\) thì \(\ – \ x\) cũng thuộc tập xác định \(D\).

Ta có: \(f(\ – \ x) = \cos{(\ – \ x)} + \sin^2{(\ – \ x)}\)

\( = \cos{x} + (\ – \ \sin{x})^2 = \cos{x} + \sin^{x} = f(x) \forall x \in D\)

Vậy hàm số \(y = \cos{x} + \sin^2{x}\) là hàm số chẵn.

\(c)\) Tập xác định của hàm số \(y = f(x) = \sin{x} \cos{2x}\) là \(D = \mathbb{R}\)

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(D\) thì \(\ – \ x\) cũng thuộc tập xác định \(D\)

Ta có: \(f(\ – \ x) = \sin{(\ – \ x)}. \cos{(\ – \ 2x)} = \ – \ sin{x}. \cos{2x}\)

\( = \ – \ f(x) \forall x \in D\)

Vậy hàm số \(y = \sin{x} \cos{2x}\) là hàm số lẻ.

\(d)\) Tập xác định của hàm số \(y = f(x) = \sin{x} + \cos{x}\) là \(D = \mathbb{R}\)

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(D\) thì \(\ – \ x\) cũng thuộc tập xác định \(D\).

Ta có: \(f(\ – \ x) = \sin{(\ – \ x)} + \cos{(\ – \ x)}\)

\( = \ – \ \sin{x} + \cos{x} \neq f(\ – \ x)\)

Vậy hàm số \(y = \sin{x} + \cos{x}\) không là hàm chẵn, không là hàm lẻ.

\(\)

Bài \(1.16\). Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = 2\sin{\left(x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} \ – \ 1\);
\(b)\) \(y = \sqrt{1 + \cos{x}} \ – \ 2\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\ – \ 1 \leq \sin{\left(x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} \leq 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \ – \ 2 \leq 2 \sin{\left(x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} \leq 2\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \ – \ 2 \ – \ 1 \leq 2 \sin{\left(x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} \ – \ 1 \leq 2 \ – \ 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \ – \ 3 \leq 2 \sin{\left(x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} \ – \ 1 \leq 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \ – \ 3 \leq y \leq 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập giá trị của hàm số \(y = 2\sin{\left(x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} \ – \ 1\) là \([\ – \ 3; 1]\)

\(b)\) Vì \(\ – \ 1 \leq \cos{x} \leq 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow 0 \leq 1 + \cos{x} \leq 2\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow 0 \leq \sqrt{1 + \cos{x}} \leq \sqrt{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \ – \ 2 \leq \sqrt{1 + \cos{x}} \ – \ 2 \leq \sqrt{2} \ – \ 2\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Hay \(\ – \ 2 \leq y \leq \sqrt{2} \ – \ 2\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập giá trị của hàm số \(y = \sqrt{1 + \cos{x}} \ – \ 2\) là \([\ – \ 2; \sqrt{2} \ – \ 2]\)

\(\)

Bài \(1.17\). Từ đồ thị hàm số \(y = \tan{x}\), hãy tìm các giá trị \(x\) sao cho \(\tan{x} = 0\).

Trả lời:

Đồ thị hàm số \(y = \tan{x}\) được biểu diễn như hình dưới đây:

Nhìn vào đồ thị, ta thấy \(\tan{x} = 0\) khi đồ thị giao với trục hoành

\(\Rightarrow y = \tan{x} = 0\)

\(\Rightarrow x = k\pi, k \in \mathbb{Z}\)

\(\)

Bài \(1.18\). Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hóa bởi hàm số \(h(t) = 90 \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{10} t\right)}\), trong đó \(h(t)\) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm \(t\) giây.
\(a)\) Tìm chu kì của sóng.
\(b)\) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

Trả lời:

\(a)\) Chu kì của sóng là:

\(T = \displaystyle \frac{2\pi}{\displaystyle \frac{\pi}{10}} = 20\) (giây)

\(b)\) Chiều cao của sóng tức là chiều cao của nước đạt được trong một chu kì dao động.

Ta có: \(h(20) = 90 \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{10}. 20\right)} = 90\) (cm)

Vậy chiều cao của sóng là \(90 cm\)

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 2 – Công thức lượng giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 4 – Phương trình lượng giác cơ bản
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech