Bài 3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài \(3\). Giải tam giác và ứng dụng thực tế trang \(76\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Cho tam giác \(ABC\) với \(BC = a; AC = b; AB = c\) và \(a = b\). Chứng minh rằng:
\(c^2 = 2a^2(1 \ – \ \cos{C})\).

Trả lời:

Áp dụng định lí côsin ta được:

\(c^2 = a^2 + b^2 \ – \ 2ab\cos{C}\). Mà \(a = b\)

\(\Rightarrow c^2 = a^2 + a^2 \ – \ 2a^2\cos{C}\)

\(\Rightarrow c^2 = 2a^2 \ – \ 2a^2\cos{C}\)

\(\Rightarrow c^2 = 2a^2(1 \ – \ \cos{C})\) (đpcm)

\(\)

Bài \(2\). Tính các góc chưa biết của tam giác \(ABC\) trong các trường hợp sau:
\(a)\) \(\widehat{A} = 42^o; \widehat{B} = 63^o\);
\(b)\) \(BC = 10, AC = 20, \widehat{C} = 80^o\);
\(c)\) \(AB = 15, AC = 25, BC = 30\).

Trả lời:

\(a)\) Tam giác \(ABC\) có: \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{C} = 180^o \ – \ (\widehat{A} + \widehat{B})\)

\(= 180^o \ – \ (42^o + 63^o) = 75^o\)

Vậy \(\widehat{C} = 75^o\)

\(b)\) Áp dụng định lí côsin ta có:

\(AB^2 = AC^2 + BC^2 \ – \ 2. AC. BC. \cos{C}\)

\(= 20^2 + 10^2 \ – \ 2. 20. 10. \cos{80^o} \approx 430,54\)

\(\Rightarrow AB \approx 20,75\)

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\displaystyle \frac{AB}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{BC}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{20,75}{\sin{80^o}}\)

\(\Rightarrow \sin{B} = \displaystyle \frac{AC\sin{80^o}}{20,75} = \displaystyle \frac{20\sin{80^o}}{20,75} \approx 0,949\)

\(\Rightarrow \widehat{B} \approx 71^o37’\)

\(\sin{A} = \displaystyle \frac{BC\sin{80^o}}{20,75} \approx 0,475\)

\(\Rightarrow \widehat{A} \approx 28^o21’\)

Vậy \(\widehat{B} \approx 71^o37′; \widehat{C} \approx 28^o21’\).

\(c)\) Theo định lí côsin ta có:

\(AB^2 = AC^2 + BC^2 \ – \ 2. AC. BC. \cos{C}\)

\(\Rightarrow \cos{C} = \displaystyle \frac{AC^2 + BC^2 \ – \ AB^2}{2. AC. BC}\)

\(= \displaystyle \frac{25^2 + 30^2 \ – \ 15^2}{2. 25. 30} = \displaystyle \frac{13}{15}\)

\(\Rightarrow \widehat{C} \approx 29^o55’\)

Tương tự, ta có:

\(\cos{A} = \displaystyle \frac{AB^2 + AC^2 \ – \ BC^2}{2. AB. AC}\)

\(= \displaystyle \frac{15^2 + 25^2 \ – \ 30^2}{2. 15. 25} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{15}\)

\(\Rightarrow \widehat{A} \approx 93^o49’\)

Suy ra \(\widehat{B} = 180^o \ – \ (\widehat{A} + \widehat{C}) = 180^o \ – \ (93^o49′ + 29^o55′)\)

\(= 56^o16’\)

\(\)

Bài \(3\). Để xác định chiều cao của một toà nhà cao tầng, một người đứng tại điểm \(M\), sử dụng giác kế nhìn thấy đỉnh toà nhà với góc nâng \(\widehat{RQA} = 79^o\), người đó lùi ra xa một khoảng \(LM = 50 m\) thì nhìn thấy đỉnh toà nhà với góc nâng \(\widehat{RPQ} = 65^o\). Hãy tính chiều cao của toà nhà, biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế đó là \(PL = QM = 1,4 m\) (Hình \(6\)).

Trả lời:

Ta có: \(\widehat{RQA} = 79^o, \widehat{RPA} = 65^o\)

\(\tan{\widehat{RQA}} = \displaystyle \frac{AR}{QR} \Rightarrow QR = \displaystyle \frac{AR}{\tan{\widehat{RQA}}} = \displaystyle \frac{AR}{\tan{79^o}}\)

\(\tan{\widehat{RPQ}} = \displaystyle \frac{AR}{PR} \Rightarrow PR = \displaystyle \frac{AR}{\tan{\widehat{RPQ}}} = \displaystyle \frac{AR}{\tan{65^o}}\)

\(\Rightarrow PQ = PR \ – \ QR = \displaystyle \frac{AR}{\tan{65^o}} \ – \ \displaystyle \frac{AR}{\tan{79^o}}\)

\(= AR. \left(\displaystyle \frac{1}{\tan{65^o}} \ – \ \displaystyle \frac{1}{\tan{79^o}}\right) = 50 m\)

\(\Rightarrow AR \approx 183,9 m\)

\(\Rightarrow AO = AR + RO = 183,9 + 1,4 = 185,3 m\)

Vậy chiều cao của toà nhà là \(185,3 m\).

\(\)

Bài \(4\). Một vệ tinh quay quanh Trái Đất, đang bay phía trên hai trạm quan sát ở hai thành phố Hồ Chí Minh và Cần Thơ. Khi vệ tinh nằm giữa hai trạm này, góc nâng của nó được quan sát đồng thời là \(55^o\) tại thành phố Hồ Chí Minh và \(80^o\) tại cần Thơ. Hỏi khi đó vệ tinh cách trạm quan sát tại Cần Thơ bao xa? Biết rằng, khoảng cách giứa hai trạm quan sát là \(127 km\).

Trả lời:

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{C} = 180^o \ – \ (\widehat{A} + \widehat{B}) = 180^o \ – \ (80^o + 55^o)\)

\(= 45^o\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\displaystyle \frac{AB}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{B}}\)

\(\Rightarrow AC = \displaystyle \frac{AB. \sin{B}}{\sin{C}} = \displaystyle \frac{127 \sin{55^o}}{\sin{45^o}}\)

\(\approx 147 km\).

Vậy khoảng cách giữa trạm Cần Thơ và vệ tinh khoảng \(147 km\).

\(\)

Bài \(5\). Tính khoảng cách \(AB\) giữa hai toà cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là \(360 km, 340 km\) và góc nhìn từ vệ tinh đến \(A\) và \(B\) là \(13,2^o\) (Hình \(8\)).

Trả lời:

Kí hiệu điểm \(O\) tương ứng vị trí vệ tinh.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(OAB\) ta có:

\(AB^2 = OA^2 + OB^2 \ – \ 2. OA. OB. \cos{\widehat{O}}\)

\(= 360^2 + 340^2 \ – \ 2. 360. 340. \cos{13,2^o} \approx 6867,885\)

\(\Rightarrow AB \approx 82,87 km\)

Vậy khoảng cách giữa hai nóc toà nhà cao ốc khoảng \(82,87 km\).

\(\)

Bài \(6\). Một chiếc tàu khởi hành từ bến cảng, đi về hướng Bắc \(15 km\), sau đó bẻ lái \(20^o\) về hướng Tây Bắc và đi thêm \(12 km\) nữa (Hình \(9\)). Tính khoảng cách từ tàu đến bến cảng.