Bài 3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài \(3\). Giải tam giác và ứng dụng thực tế trang \(74\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Giải tam giác \(ABC\) trong các trường hợp sau:
\(a)\) \(AB = 14; AC = 23; \widehat{A} = 125^o\);
\(b)\) \(BC = 22; \widehat{B} = 64^o; \widehat{C} = 38^o\);
\(c)\) \(AC = 22; \widehat{B} = 120^o; \widehat{C} = 28^o\);
\(d)\) \(AB = 23; AC = 32; BC = 44\).

Trả lời:

\(a)\) Áp dụng định lí \(\text{côsin}\) ta có:

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 \ – \ 2. AB. AC. \cos{A}\)

\(\Leftrightarrow BC^2 = 14^2 + 23^2 \ – \ 2. 14. 23. \cos125^o\)

\(\Leftrightarrow BC \approx 33\).

Áp dụng định lí \(\text{sin}\) ta có:

\(\displaystyle \frac{BC}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{AB}{\sin{C}}\).

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{33}{\sin125^o} = \displaystyle \frac{23}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{14}{\sin{C}}\)

\(\Rightarrow \sin{B} = \displaystyle \frac{23.\sin125^o}{33} \approx 0,57\)

\(\Rightarrow \widehat{B} \approx 35^o\)

\(\Rightarrow \widehat{C} = 180^o \ – \ (\widehat{A} + \widehat{B})\)

\(= 180^o \ – \ (125^o + 35^o) = 20^o\).

\(b)\) Ta có: \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\)

\(\Rightarrow \widehat{A} = 180^o \ – \ (64^o + 38^o) = 78^o\)

Áp dụng định lí \(\text{sin}\) ta có:

\(\displaystyle \frac{BC}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{AB}{\sin{C}}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{22}{\sin78^o} = \displaystyle \frac{AC}{\sin64^o} = \displaystyle \frac{AB}{\sin28^o}\)

\(\Rightarrow AC = \sin64^o. \displaystyle \frac{22}{\sin78^o} \approx 20,22\)

\( AB = \sin28^o. \displaystyle \frac{22}{\sin78^o} \approx 13,85\).

\(c)\) Ta có: \(\widehat{A} = 180^o \ – \ (\widehat{B} + \widehat{C})\)

\( = 180^o \ – \ (120^o + 28^o) = 32^o\).

Áp dụng định lí \(\text{sin}\) ta có:

\(\displaystyle \frac{BC}{\sin{32^o}} = \displaystyle \frac{AC}{\sin{B}} = \displaystyle \frac{AB}{\sin{C}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{BC}{\sin{32^o}} = \displaystyle \frac{22}{\sin{120^o}} = \displaystyle \frac{AB}{\sin{28^o}}\)

\(\Rightarrow BC = \sin32^o . \displaystyle \frac{22}{\sin{120^o}} \approx 13,5\)

\(AB = \sin28^o . \displaystyle \frac{22}{\sin{120^o}} \approx 12\).

\(d)\) Áp dụng hệ quả của định lí \(\text{côsin}\) ta được:

\(\cos{A} = \displaystyle \frac{AB^2 + AC^2 \ – \ BC^2}{2. AB. AC}\)

\(= \displaystyle \frac{23^2 + 32^ 2 \ – \ 44^2}{2. 23. 32} = \displaystyle \frac{\ – \ 383}{1472}\)

\(\Rightarrow \widehat{A} \approx 105^o\)

\(\cos{B} = \displaystyle \frac{BA^2 + BC^2 \ – \ AC^2}{2. BA. BC}\)

\( = \displaystyle \frac{23^2 + 44^2 \ – \ 32^2}{2. 23. 44} = \displaystyle \frac{131}{184}\)

\(\Rightarrow \widehat{B} = 44^o36’\)

Suy ra: \(\widehat{C} = 180^o \ – \ (105^o + 44^o36′) = 30^o24’\).

\(\)

Bài \(2\). Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\), do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) dài \(10km\), sau đó nối đường dây từ vị trí \(C\) đến vị trí \(B\) dài \(8km\). Góc tạo bởi hai đoạn dây \(AC\) và \(CB\) là \(70^o\). Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ \(A\) đến \(B\).

Trả lời:

Áp dụng định lí \(\text{côsin}\) trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(AB^2 = AC^2 + CB^2 \ – \ 2. AC. CB. \cos{C}\)

\(\Leftrightarrow AB^2 = 10^2 + 8^2 \ – \ 2. 10. 8. \cos70^o\)

\(\Rightarrow AB \approx 10,45\)

Ta có: \(AC + CB \ – \ AB = 10 + 8 \ – \ 10,45 = 7,55 (km)\)

Vậy chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ \(A\) đến \(B\) là \(7,55\) \(km\)

\(\)

Bài \(3\). Một người đứng cách thân một cái vòi nước \(16m\) và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng \(56,5^o\) (Hình \(8\)). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là \(1,5m\).

Trả lời: Ta kí hiệu các điểm như hình dưới:

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(\widehat{B} = 56,5^o\)

\(\Rightarrow \tan{B} = \displaystyle \frac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow \tan56,5^o = \displaystyle \frac{AC}{16}\)

\(\Rightarrow AC = 16. \tan56,5^o \approx 24,2\)

\(\Rightarrow AO = AC + CO = 24,2 + 1,5 = 25,7 (m)\).

Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là \(25, 7\) \(m\).

\(\)

Bài \(4\). Tính chiều cao \(AB\) của một ngọn núi. Biết hai điểm \(C, D\) cách nhau \(1km\) trên mặt đất \((B, C, D\) thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh \(A\) của núi với góc nâng lần lượt là \(32^o\) và \(40^o\) (Hình \(9\)).

Trả lời:

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\):

\(\tan{ACB} = \tan32^o = \displaystyle \frac{AB}{BC}\)

\(= \displaystyle \frac{AB}{BD + DC} = \displaystyle \frac{AB}{BD + 1}\)

\(\Rightarrow AB = \tan32^o . (BD + 1)\) \((1)\)

Xét tam giác \(ADB\) vuông tại \(B\):

\(\tan{ADB} = \tan40^o = \displaystyle \frac{AB}{BD}\)

\(\Rightarrow AB = \tan40^o. BD\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

\(\tan40^o. BD = \tan32^o (BD + 1)\)

\(\Leftrightarrow BD( \tan40^o \ – \ \tan32^o ) = \tan32^o\)

\(\Leftrightarrow BD = \displaystyle \frac{\tan32^o}{\tan40^o \ – \ \tan32^o}\)

\(\Leftrightarrow BD \approx 2,92\) \((km)\).

Suy ra: \(AB = BD. \tan40^o = 2,92. \tan40^o \approx 2,45\) \((km)\).

Vậy chiều cao của ngọn núi khoảng \(2,45\) \(km\).

\(\)

Bài \(5\). Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai điểm \(P\) và \(Q\) nằm ở sườn đồi nghiêng \(32^o\) so với phương ngang, cách nhau \(60m\) (Hình \(10\)). Người quan sát tại \(P\) xác định góc nâng của khinh khí cầu là \(62^o\). Cùng lúc đó, người quan sát tại \(Q\) xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là \(70^o\). Tính khoảng cách từ \(Q\) đến khinh khí cầu.

Trả lời: Gọi \(A\) là vị trí khinh khí cầu, đường \(Pt\) là đường sườn đồi.

\(Px, Qx’\) là phương song song với mặt đất.

Tại \(P\), người quan sát thấy góc nâng của khinh khí cầu là \(62^o\) tức \(\widehat{APx} = 62^o\)

Suy ra \(\widehat{APQ} = 62^o \ – \ 32^o = 30^o\).

Tại \(Q\), người quan sát thấy góc nâng của khinh khí cầu là \(70^o\) tức \(\widehat{AQx’} = 70^o\)

Suy ra \(\widehat{AQt} = 70^o \ – \ 32^o = 38^o\)

\(\Rightarrow \widehat{AQP} = 142^o\)

Xét tam giác \(APQ\) có \(\widehat{APQ} = 30^o; \widehat{AQP} = 142^o\)

\(\Rightarrow \widehat{PAQ} = 180^o \ – \ (38^o + 142^o) = 8^o\)

Áp dụng định lí \(sin\) trong tam giác \(APQ\) ta có:

\(\displaystyle \frac{PQ}{\sin{PAQ}} = \displaystyle \frac{AQ}{\sin{APQ}}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{60}{\sin8^o} = \displaystyle \frac{AQ}{\sin30^o}\)

\(\Rightarrow AQ = \displaystyle \frac{60}{\sin8^o}. \sin30^o \approx 215,56\)

Vậy khoảng cách từ \(Q\) đến khinh khí cầu khoảng \(215,56\) \(m\).

\(\)

Bài \(6\). Một người đứng ở trên tháp truyền hình cao \(352m\) so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là \(43^o\), góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là \(62^o\) và đến điểm mốc khác là \(54^o\) (Hình \(11\)). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.