Chương 8 – Bài 3: Đường trung bình của tam giác trang 65 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Cánh Diều.
14. Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
a) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một phần ba cạnh đó.
b) Trong một tam giác chỉ có một đường trung bình.
c) Đường trung bình của tam giác là doạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác dó.
d) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.
Giải
Phát biểu a) là sai do độ dài đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
Phát biểu b) là sai do trong một tam giác có ba đường trung bình.
Phát biểu c) là đúng.
Phát biểu d) là sai do đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác đó.
\(\)
15. Hình 21 cho biết cạnh của tam giác đều ABC bằng 6 cm; M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Chỉ ra phát biểu sai trong các phát biểu sau:
a) Tam giác AMN là tam giác đều.
b) Hình thang BMNC là hình thang cân.
c) Chu vi tứ giác BMNC bằng hai phần ba chu vi tam giác ABC.
d) Độ dài đường trung bình MN bằng 2 cm.
Giải
M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên \(AM = BM =\displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{6}{2}=3;\) \( AN = CN = \displaystyle\frac{AC}{2}=\displaystyle\frac{6}{2}=3.\)
MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC; \(MN = \displaystyle\frac{BC}{2}=\displaystyle\frac{6}{2}=3.\)
Do đó tam giác AMN là tam giác đều.
Xét tứ giác MNCB có MN // BC và \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (do tam giác ABC đều) nên MNCB là hình thang cân.
Chu vi tam giác ABC là: AB + BC + AC = 6 + 6 + 6 = 18 cm.
Chu vi tứ giác BMNC là: BM + MN + CN + BC = 3 + 3 + 3 + 6 = 15 cm.
Chu vi tứ giác BMNC bằng \(\displaystyle\frac{15}{18}=\displaystyle\frac{5}{6}\) chu vi tam giác ABC.
Vậy các phát biểu sai là: c), d).
\(\)
16. Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:
a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;
b) AM là đường trung trực của EF.
Giải
a) Vì M là trung điểm của BC, ME // AC, MF // AB nên E, F là trung điểm của AB, AC.
Do đó, EF là đường trung bình của tam giác ABC.
b) Ta có \(AE=\displaystyle\frac{AB}{2};\ AF = \displaystyle\frac{AC}{2}\) và AB = AC (do \(\Delta ABC\) cân tại A) suy ra AE = AF (1).
Lại có ME, MF là các đường trung bình của tam giác ABC nên \(ME=\displaystyle\frac{AC}{2};\ MF = \displaystyle\frac{AB}{2}.\)
Mà AB = AC suy ra ME = MF (2).
Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF.
\(\)
17. Để làm cây thông noel, người ta hàn một khung sắt có dạng hình tam giác cân ABC (AB = AC = 2 m) cùng các thanh sắt nằm ngang GF, HE, ID, BC và sau đó gắn cây thông như Hình 22. Tính số tiền sắt cần sử dụng để làm cây thông noel đó.
Biết giá một mét sắt là 55 000 đồng và AG = GH = HI = IB, CD = DE = EF = FA, thanh GF dài 0,2 m.
Giải
Vì \(GF\) là đường trung bình của tam giác \(AHE\) nên \(HE = 2GF = 2.0,2 = 0,4\) (m).
Vì \(HE\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(BC = 2HE = 2.0,4 = 0,8\) (m).
Ta có: \(\displaystyle\frac{AI}{AB}=\displaystyle\frac{AD}{AC}=\displaystyle\frac{3}{4}\) nên theo định lí Thalès đảo \(ID\ //\ BC,\) Từ đó: \(\displaystyle\frac{ID}{BC}=\displaystyle\frac{AI}{AB}=\displaystyle\frac{3}{4}.\)
Suy ra \(ID = \displaystyle\frac{3}{4}BC = \displaystyle\frac{3}{4}.0,8 = 0,6\) (m).
Số tiền cần trả để hoàn thành cây thông noel đó là:
\((0,2 + 0,4 + 0,6 + 0,8 + 2 + 2) . 55 000\) \(= 330 000\) (đồng).
\(\)
18. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ CH vuông góc với BD (H ∈ BD). Gọi I, K, M lần lượt là trung điềm của BH, CH, AD. Chứng minh:
a) Tứ giác IKDM là hình bình hành;
b) Gọi N là giao điểm của IM và AH. Hỏi IN có thể là đường trung bình của tam giác HAB không? Vì sao?
Giải
a) I, K lần lượt là trung điểm của BH, CH nên IK là đường trung bình của \(\Delta HBC.\)
Suy ra \(IK = \displaystyle\frac{BC}{2},\) IK // BC.
Vì IK // BC và MD // BC nên IK // MD (1).
Vì \(IK = \displaystyle\frac{BC}{2},\ MD = \displaystyle\frac{BC}{2}\) nên IK = MD (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác IKDM là hình bình hành.
b) Nếu IN là đường trung bình của tam giác HAB thì IN // AB. Suy ra IM // AB.
Mà MA = MD, suy ra I là trung điểm của BD (3).
Mặt khác theo giả thiết, I là trung điểm của HB (4).
Từ (3) và (4) suy ra vô lí.
Vậy IN không thể là đường trung bình của tam giác HAB.
\(\)
19*. Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Đường thẳng đi qua trung điểm M và N lần lượt của các cạnh AB và CD cắt các đường thẳng AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh: \(\widehat{AEM}=\widehat{MFB}.\)
Giải
Lấy I là trung điểm của BD.
Do MI, NI lần lượt là các đường trung bình của tam giác ABD và BDC nên \(MI = \displaystyle\frac{AD}{2},\) MI // AD, \(NI =\displaystyle\frac{BC}{1};\) NI // BC.
Mà AD = BC nên MI = NI suy ra tam giác IMN cân ở I.
Do đó \(\widehat{IMN}=\widehat{INM}.\)
Lại có \(\widehat{IMN}=\widehat{AEM}\) (hai góc đồng vị, IM // AE).
Suy ra \(\widehat{INM}=\widehat{MFB}.\)
Mặt khác \(\widehat{INM}=\widehat{MFB}\) (hai góc so le trong, IN // FB).
Suy ra \(\widehat{AEM}=\widehat{MFB}.\)
\(\)
20*. Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: \(MN ≤\displaystyle\frac{AB+CD}{2}.\) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải
Lấy \(I\) là trung điểm của \(BD.\)
Khi đó, ta có \(MI,\ NI\) lần lượt là các đường trung bình của tam giác \(ABD\) và \(BDC\) nên \(MI = \displaystyle\frac{AB}{2},\) \(NI = \displaystyle\frac{CD}{2}.\)
Do đó \(MI + NI = \displaystyle\frac{AB+CD}{2}\) (1).
– Nếu \(I\) không thuộc \(MN\) ta có \(MN < MI + NI\) (bất đẳng thức tam giác).
– Nếu \(I\) thuộc \(MN\) ta có \(MN = MI+NI.\)
Tức là, ta luôn có \(MN ≤ MI + NI\) (2).
Từ (1), (2) suy ra \(MN ≤ \displaystyle\frac{AB+CD}{2}.\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(I\) thuộc \(MN,\) khi đó \(AB\ //\ CD.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 2: Ứng dụng của định lí Thalès trong tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
