Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài \(3\). Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ trang \(67\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
\(a)\) \(x^2 + y^2 + 2x + 2y \ – \ 9 = 0\);
\(b)\) \(x^2 + y^2 \ – \ 6x \ – \ 2y + 1 = 0\);
\(c)\) \(x^2 + y^2 + 8x + 4y + 2022 = 0\);
\(d)\) \(3x^2 + 2y^2 + 5x + 7y \ – \ 1 = 0\).

Trả lời:

\(a)\) Phương trình đã cho có dạng \(x^2 + y^2 \ – \ 2ax \ – \ 2by + c = 0\) với \(a = \ – \ 1; b = \ – \ 1; c = \ – \ 9\).

Ta có \(a^2 + b^2 \ – \ c = (\ – \ 1)^2 + (\ – \ 1)^2 \ – \ (\ – \ 9) = 11 > 0\)

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn tâm \(I(\ – \ 1; \ – \ 1)\) bán kính \(R = \sqrt{11}\).

\(b)\) Phương trình đã cho có dạng \(x^2 + y^2 \ – \ 2ax \ – \ 2by + c = 0\) với \(a = 3; b = 1; c = 1\).

Ta có \(a^2 + b^2 \ – \ c = 3^2 + 1^2 \ – \ 1 = 9 > 0\)

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn tâm \(I(3; 1)\) bán kính \(R = 3\).

\(c)\) Phương trình đã cho có dạng \(x^2 + y^2 \ – \ 2ax \ – \ 2by + c = 0\) với \(a = \ – \ 4; b = \ – \ 2; c = 2022\).

Ta có \(a^2 + b^2 \ – \ c = (\ – \ 4)^2 + (\ – \ 2)^2 \ – \ 2022 = 2002 < 0\)

Vậy phương trình đã cho không là phương trình đường tròn.

\(d)\) Phương trình đã cho không phải phương trình đường tròn vì nó không có dạng phương trình tổng quát \(x^2 + y^2 \ – \ 2ax \ – \ 2by + c = 0\) hay \((x \ – \ a)^2 + (y \ – \ b)^2 = R^2\)

\(\)

Bài \(2\). Lập phương trình đường tròn \((C)\) trong các trường hợp sau:
\(a)\) \((C)\) có tâm \(O(0; 0)\) và có bán kính \(R = 9\);
\(b)\) \((C)\) có đường kính \(AB\) với \(A(1; 1)\) và \(B(3; 5)\);
\(c)\) \((C)\) có tâm \(M(2; 3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(3x \ – \ 4y + 9 = 0\);
\(d)\) \((C)\) có tâm \(I(3; 2)\) và đi qua điểm \(B(7; 4)\).

Trả lời:

\(a)\) Đường tròn \((C)\) tâm \(O(0; 0)\) và có bán kính \(R = 9\) nên có phương trình là:

\(x^2 + y^2 = 9^2 = 81\).

\(b)\) \((C)\) có đường kính \(AB\) với \(A(1; 1)\) và \(B(3; 5)\) nên \((C)\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\).

\(\Rightarrow I(2; 3)\).

Suy ra \((C)\) có bán kính \(R = IA = \sqrt{(2 \ – \ 1)^2 + (3 \ – \ 1)^2} = \sqrt{5}\)

Vậy phương trình đường tròn \((C)\) có tâm \(I(2; 3)\), bán kính \(R = \sqrt{5}\) là:

\((x \ – \ 2)^2 + (y \ – \ 3)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5\)

\(c)\) \((C)\) có tâm \(M(2; 3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta: 3x \ – \ 4y + 9 = 0\) nên \((C)\) có bán kính \(R\) là:

\(R = d(M, \Delta) = \displaystyle \frac{|3. 2 \ – \ 4. 3 + 9|}{\sqrt{3^2 + (\ – \ 4)^2}} = \displaystyle \frac{3}{5}\)

Vậy phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(2; 3)\) và bán kính \(R – \displaystyle \frac{3}{5}\) là:

\((x \ – \ 2)^2 + (y \ – \ 3)^2 = \left(\displaystyle \frac{3}{5}\right)^2 = \displaystyle \frac{9}{25}\).

\(d)\) \((C)\) có tâm \(I(3; 2)\) và đi qua điểm \(B(7; 4)\) nên bán kính đường tròn \((C)\) chính là khoảng cách \(IB\).

Ta có: \(IB = \sqrt{(7 \ – \ 3)^2 + (4 \ – \ 2)^2} = \sqrt{20} = R\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:

\((x \ – \ 3)^2 + (y \ – \ 2)^2 = R^2 = 20\).

\(\)

Bài \(3\). Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có toạ độ các đỉnh là:
\(a)\) \(A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3)\);
\(b)\) \(O(0; 0), P(16; 0), R(0; 12)\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (\ – \ 1; \ – \ 3); \overrightarrow{AC} = (3; \ – \ 1)\)

\(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} = (\ – \ 1). 3 \ – \ 3. (\ – \ 1) = 0\)

Suy ra \(AB \perp AC\) hay tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Khi đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(BC\).

\(\Rightarrow I(2; 2)\)

Bán kính \(R = IA = \sqrt{(1 \ – \ 2)^2 + (4 \ – \ 2)^2} = \sqrt{5}\)

Vậy phương trình đường tròn cần lập là:

\((x \ – \ 2)^2 + (y \ – \ 2)^2 = 5\).

\(b)\) Ta có: \(\overrightarrow{OP} = (16; 0); \overrightarrow{OR} = (0; 12)\)

\(\overrightarrow{OP}. \overrightarrow{OR} = 16. 0 \ – \ 0. 12 = 0\)

Suy ra \(OP \perp OR\) hay tam giác \(OPR\) vuông tại \(O\).

Khi đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OPR\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(PR\).

\(\Rightarrow I(8; 6)\)

Bán kính \(R = OI = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\)

Vậy phương trình đường tròn cần lập là:

\((x \ – \ 8)^2 + (y \ – \ 6)^2 = 100\).

\(\)

Bài \(4\). Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ \(Ox, Oy\) và đi qua điểm \(A(2; 1)\).

Trả lời:

Gọi đường tròn \((C)\) cần lập có tâm \(I(a; b)\) và bán kính \(R\).

Đường tròn \((C)\) tiếp xúc với \(Ox, Oy\) nên ta có:

\(d(I, Ox) = d(I, Oy) = R \Rightarrow |b| = |a| = R\)

Do \((C)\) tiếp xúc với \(Ox, Oy\) nên \((C)\) thuộc một trong các góc phần tư của mặt phẳng toạ độ.

Lại có \(A(2; 1) \in (C), A(2; 1)\) thuộc góc phần tư thứ nhất.

Nên \((C)\) thuộc góc phần tư thứ nhất.

Suy ra \(a = b = R > 0\)

Ta có: \(A \in (C)\) nên \(IA = R\) hay \(IA^2 = R^2\)

\(\Rightarrow (2 \ – \ a)^2 + (1 \ – \ a)^2 = a^2\).

\(\Rightarrow a^2 \ – \ 6a + 5 = 0\)

\(\Rightarrow a = 1\) hoặc \(a = 5\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \((x \ – \ 1)^2 + (y \ – \ 1)^2 = 1\) hoặc \((x \ – \ 5)^2 + (y \ – \ 5)^2 = 25\).

\(\)

Bài \(5\). Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \(x^2 + y^2 \ – \ 6x \ – \ 2y \ – \ 15 = 0\).
\(a)\) Chứng tỏ rằng điểm \(A(0; 5)\) thuộc đường tròn \((C)\);
\(b)\) Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(A(0; 5)\);
\(c)\) Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) song song với đường thẳng \(8x + 6y + 99 = 0\).

Trả lời:

Ta có: \(x^2 +y^2 \ – \ 6x \ – \ 2y \ – \ 15 = 0\)

\(\Leftrightarrow (x \ – \ 3)^2 + (y \ – \ 1)^2 = 25\)

Suy ra đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3; 1)\) và bán kính \(R = 5\).

\(a)\) Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình đường tròn \((C)\) ta được:

\((0 \ – \ 3)^2 + (5 \ – \ 1)^2 = (\ – \ 3)^2 + 4^2 = 25\) thoả mãn.

Vậy điểm \(A(0; 5)\) thuộc đường tròn \((C)\).

\(b)\) Tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(A(0; 5)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AI} = (3; \ – \ 4)\)

Vậy phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(A\) là:

\(3. (x \ – \ 0) \ – \ 4. (y \ – \ 5) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x \ – \ 4y + 20 = 0\)

\(c)\) Tiếp tuyến \(\Delta\) song song với đường thẳng \(8x + 6y + 99 = 0\) có phương trình dạng:

\(8x + 6y + c = 0 (c \neq 99)\).

Khi đó: \(d(I, \Delta) = R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{|8. 3 + 6. 1 + c|}{\sqrt{8^2 + 6^2}} = 5\)

\(\Leftrightarrow |c + 30| = 50\)

\(\Leftrightarrow c = 20\) hoặc \(c = \ – \ 80\).

Vậy ta có hai phương trình tiếp tuyến thoả mãn là:

\(8x + 6y + 20 = 0\) hoặc \(8x + 6y \ – \ 80 = 0\).

\(\)

Bài \(6\). Một cái cổng hình bán nguyệt rộng \(6,8m\), cao \(3,4m\). Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn cho xe ra vào.
\(a)\) Viết phương trình mô phỏng cái cổng;
\(b)\) Một chiếc xe tải rộng \(2,4m\) và cao \(2,5m\) đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng được không?

Trả lời: