Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài \(3\). Đường thẳng và mặt phẳng song song trang \(101\) SGK Toán lớp \(11\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Trong phòng học của lớp, hãy nêu những hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng.

Trả lời:

Đường thẳng chân tường và mặt phẳng sàn nhà, cạnh bảng nằm ngang và mặt phẳng sàn nhà, canh bàn mặt phẳng sàn nhà…

\(\)

Bài \(2\). Trong Hình \(57\), khi cắt bánh sinh nhật, mặt cắt và mặt khay đựng bánh lần lượt gợi nên hình ảnh mặt phẳng \((Q)\) và mặt phẳng \((P)\); mép trên và mép dưới của lát cắt lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong đó \(a\) song song với mặt phẳng \((P)\). Cho biết hai đường thẳng \(a, b\) có song song với nhau hay không.

Trả lời:

Ta có: \(a // (P), a \subset (Q), (P) \cap (Q) = b\)

Suy ra \(a // b\)

Vậy hai đường thẳng \(a\) và \(b\) song song với nhau.

\(\)

Bài \(3\). Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\), điểm \(I\) nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BI = 2IC\). Chứng minh rằng \(IG\) song song với mặt phẳng \((ACD)\).

Trả lời:

Trong tam giác \(ABD\), kẻ trung tuyến \(BM (M \in AD)\)

Do \(G\) là trọng tâm tam giác nên ta có:

\(\displaystyle \frac{BG}{GM} = \displaystyle \frac{2}{1}\)

Mặt khác \(BI = 2 IC\) nên \(\displaystyle \frac{BI}{IC} = \displaystyle \frac{2}{1}\).

Xét mặt phẳng \((BCM)\) có:

\(\displaystyle \frac{BG}{GM} = \displaystyle \frac{BI}{IC} = 2\)

\(\Rightarrow IG // CM\) (theo định lí Thales đảo).

Lại có \(CM \subset (ACD)\)

Do đó \(IG // (ACD)\) (đpcm)

\(\)

Bài \(4\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) song song với giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((SBC\) và \((SAD)\).

Trả lời:

Ta có: \(S\) là giao điểm của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\)

Lại có: \(AD // BC\) (do \(ABCD\) là hình bình hành)

\(AD \subset (SAD), BC \subset (SBC)\)

Do đó giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AD\) và \(BC\).

Do \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB, CD\) nên \(MN\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABCD\)

\(\Rightarrow MN // BC // AD\)

Có \(MN // BC \Rightarrow MN // (SBC)\)

\(MN // AD \Rightarrow MN // (SAD)\)

Mặt khác \((SBC) \cap (SAD) = d\)

Suy ra \(MN // d\)

Vậy \(MN\) song song với giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\).

\(\)

Bài \(5\). Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi \(M, N\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ABF\) và \(ABC\). Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \((ACF)\).

Trả lời:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Có \(M\) là trọng tâm tam giác \(ABF\) nên:

\(\displaystyle \frac{IM}{MF} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

Có \(N\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên:

\(\displaystyle \frac{IN}{NC} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

Xét tam giác \(ICF\) có:

\(\displaystyle \frac{IM}{MF} = \displaystyle \frac{IN}{NC} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

Suy ra \(MN // FC\) (theo định lí Thales đảo)

Lại có \(FC \subset (ACF)\)

Vậy \(MN // (ACF)\)

\(\)

Bài \(6\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(AD\) sao cho \(AD = 3AM\). Gọi \(G, N\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(SAB\) và \(ABC\).
\(a)\) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\).
\(b)\) Chứng minh rằng \(MN\) song song với mặt phẳng \((SCD)\) và \(NG\) song song với mặt phẳng \((SAC)\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(S\) là giao điểm của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\).

Mặt khác \(AB // CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành), \(AB \subset (SAB), CD \subset (SCD)\)

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AB\) và \(CD\).

\(b)\) \(+)\) Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\). Khi đó \(BO = OD = \displaystyle \frac{1}{2} BD\)

Có \(N\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên:

\(\displaystyle \frac{BN}{BO} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{BN}{BD} = \displaystyle \frac{BN}{2BO} = \displaystyle \frac{1}{2}. \displaystyle \frac{2}{3} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

Mặt khác ta có: \(AD = 3 AM\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{AM}{AD} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

Xét tam giác \(ABD\) có \(\displaystyle \frac{AM}{AD} = \displaystyle \frac{BN}{BD} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

Do đó \(MN // AB\) (định lí Thales đảo)

Lại có \(AB // CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành)

Suy ra \(MN // CD\). Mà \(CD \subset (SCD)\)

Vì vậy \(MN // (SCD)\) (đpcm)

\(+)\) Gọi \(I\) là trung điểm \(SA\)

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) nên \(\displaystyle \frac{BG}{BI} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

Xét tam giác \(BIO\) có:

\(\displaystyle \frac{BG}{BI} = \displaystyle \frac{BN}{BO} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

Suy ra \(GN // IO\) (theo định lí Thales đảo)