Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai

Bài \(3\). Dấu của tam thức bậc hai trang \(44\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
\(a)\) \(x^2 \ – \ 2x \ – \ 3 > 0\) khi và chỉ khi \(x \in (\ – \ \infty; \ – \ 1) \cup (3; +\infty)\);
\(b)\) \(x^2 \ – \ 2x \ – \ 3 < 0\) khi và chỉ khi \(x \in [\ – \ 1; 3]\).

Trả lời:

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 \ – \ 2x \ – \ 3\)

Có \(a = 1, b = \ – \ 2, c = \ – \ 3,\)

\( \Delta = (\ – \ 2)^2 \ – \ 4. 1. (\ – \ 3) = 16\)

Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \ – \ 1\) và \(x_2 = 3\).

Lại có hệ số \(a = 1 > 0\) nên \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in (\ – \ \infty; \ – \ 1) \cup (3; +\infty)\) và \(f(x) < 0\) với mọi \(x \in (\ – \ 1; 3)\)

Vậy phát biểu \(a)\) đúng, phát biểu \(b)\) sai.

\(\)

Bài \(2\). Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai \(f(x)\) với đồ thị được cho ở mỗi Hình \(24a, 24b, 24c\).

Trả lời:

\(a)\) Quan sát Hình\(24a)\) ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \((2; 0)\) do đó nghiệm của tam thức bậc hai \(f(x)\) là \(x = 2\)

Phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành trừ điểm có hoành độ bằng \(x = 2\) nên ta có bảng xét dấu tam thức \(f(x)\) là:

\(b)\) Quan sát Hình \(24b)\) ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \((\ – \ 4; 0)\) và \((\ – \ 1; 0)\)

Do đó tam thức bậc hai \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \ – \ 4; x_2 = \ – \ 1\)

Trên các khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 4)\) và \((\ – \ 1; +\infty)\) phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên \(f(x) < 0\)

Trên khoảng \((\ – \ 4; \ – \ 1)\), phần parabol nằm phía trên trục hoành nên \(f(x) > 0\)

Ta có bảng xét dấu tam thức bậc hai \(f(x)\) như sau:

\(c)\) Quan sát Hình \(24c)\) ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có tọa độ \((\ – \ 1; 0)\) và \((2; 0)\)

Do đó tam thức bậc hai \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \ – \ 1, x_2 = 2\)

Trên các khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 1)\) và \((2; +\infty)\) phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên \(f(x) > 0\)

Trên khoảng \((\ – \ 1; 2)\) phần parabol nằm phía dưới trục hoành nên \(f(x) < 0\).

Ta có bảng xét dấu tam thức bậc hai \(f(x)\) như sau:

\(\)

Bài \(3\). Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
\(a)\) \(f(x) = 3x^2 \ – \ 4x + 1\);
\(b)\) \(f(x) = 9x^2 + 6x + 1\);
\(c)\) \(f(x) = 2x^2 \ – \ 3x + 10\);
\(d)\) \(f(x) = \ – \ 5x^2 + 2x + 3\);
\(e)\) \(f(x) = \ – \ 4x^2 + 8x \ – \ 4\);
\(g)\) \(f(x) = \ – \ 3x^2 + 3x \ – \ 1\).

Trả lời:

\(a)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = 3x^2 \ – \ 4x + 1\) có \(\Delta = (\ – \ 4)^2 \ – \ 4. 3. 1 = 4 > 0\)

Do đó tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{3}\) và \(x_2 = 1\)

Lại có hệ số \(a = 3 > 0\)

Vậy \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{3}\right)\) và \((1; +\infty)\), \(f(x) < 0\) với mọi \(x \in \left(\displaystyle \frac{1}{3}; 1\right)\).

\(b)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = 9x^2 + 6x + 1\) có \(\Delta = 6^2 \ – \ 4. 9. 1 = 0\)

Do đó tam thức bậc hai có nghiệm kép \(x = \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\)

Lại có hệ số \(a = 9 > 0\)

Vậy \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle \frac{1}{3}\right\}\)

\(c)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = 2x^2 \ – \ 3x + 10\) có \(\Delta = (\ – \ 3)^2 \ – \ 4. 2. 10 = \ – \ 71 < 0\) và hệ số \(a = 2 > 0\) nên \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(d)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 5x^2 + 2x + 3\) có \(\Delta = 2^2 \ – \ 4. (\ – \ 5). 3 = 64 > 0\) nên tam thức có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \ – \ \displaystyle \frac{3}{5}\) và \(x_2 = 1\)

Lại có hệ số \(a = \ – \ 5 < 0\)

Vậy \(f(x) < 0\) với mọi \(x\) thuộc các khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ \displaystyle \frac{3}{5}\) và \((1; +\infty)\); \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \left(\ – \ \displaystyle \frac{3}{5}; 1\right)\)

\(e)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 4x^2 + 8x \ – \ 4\) có \(\Delta = 8^2 \ – \ 4. (\ – \ 4). (\ – \ 4) = 0\) nên tam thức có nghiệm kép \(x = 1\)

Lại có hệ số \(a = \ – \ 4 < 0\)

Vậy \(f(x) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R} \ – \ \{1\}\)

\(g)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 3x^2 + 3x \ – \ 1\) có \(\Delta = 3^2 \ – \ 4. (\ – \ 3). (\ – \ 1) = \ – \ < 0\) và hệ số \(a = \ – \ 3 < 0\) nên \(f(x) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\)

Bài \(4\). Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:
\(50\) khách đầu tiên có giá là \(300000\) đồng/người. Nếu có nhiều hơn \(50\) người đăng kí thì cứ có thêm một người, giá vé sẽ giảm \(5000\) đồng/người cho toàn bộ hành khách.
\(a)\) Gọi \(x\) là số lượng khách từ người thứ \(51\) trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo \(x\).
\(b)\) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là \(15080000\) đồng.

Trả lời:

\(a)\) Gọi \(x\) là số lượng người khách từ người thứ \(51\) trở lên của nhóm nên ta có \(x \in \mathbb{N^*}\)

Khi đó, tổng số khách sẽ là \(50 + x\) (người)

Nếu có nhiều hơn \(50\) người đăng kí thì cứ thêm \(1\) người giá vé sẽ giảm \(5000\) đồng/người cho toàn bộ hành khách nên khi thêm \(x\) người thì giá vé sẽ giảm \(5000. x\) (đồng/người)

Do đó, giá vé cho mỗi hành khách trong nhóm \(50 + x\) người là \(300000 \ – \ 5000x\) (đồng)

Khi đó, tổng số tiền vé của \(50 + x\) hành khách hay chính là doanh thu của công ty:

\(T = (300000 \ – \ 5000x) (50 + x)\)

\( = \ – \ 5000x^2 + 50000x + 15000000\) (đồng)

\(b)\) Lợi nhuận của công ty là:

\(y = \ – \ 5000x^2 + 50000x + 15000000 \ – \ 15080000\)

\(= \ – \ 5000x^2 + 50000x \ – \ 80000\) (đồng)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 5000x^2 + 50000x \ – \ 80000\)

Ta thấy \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 =, x_2 = 8\) và có hệ số \(a = \ – \ 5000x^2 < 0\). Do đó ta có bảng xét dấu sau:

Công ty không bị lỗ (hòa vốn hoặc có lãi) khi \(f(x) \geq 0\)

Mà \(x \in \mathbb{N^*}\) nên \(2 \leq x \leq 8\)

Do đó, số lượng khách từ người thứ \(52\) trở lên, nhiều nhất là \(8\) người thì công ty du lịch không bị lỗ.

Vậy số người có nhóm du lịch nhiều nhất là \(58\) người thì công ty không bị lỗ.

\(\)

Bài \(5\). Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất \(Q\) sản phẩm là \(Q^2 + 180Q + 1400000\) (nghìn đồng). Giả sử, giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là \(1200\) nghìn đồng.
\(a)\) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết \(Q\) sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.
\(b)\) Xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để không bị lỗ? Biết rằng các sản phẩm sản xuất ra đều bán hết.

Trả lời:

\(Q\) là số lượng sản phẩm được sản xuất nên \(Q \in \mathbb{N*}\)

\(a)\) Tổng chi phí để sản xuất ra \(Q\) sản phẩm là:

\(Q^2 + 180Q + 140000\) (nghìn đồng)

Doanh thu khi bán hết \(Q\) sản phẩm là:

\(1200Q\) (nghìn đồng)

Khi đó, lợi nhuận của công ty khi bán hết \(Q\) sản phẩm là:

\(y = 1200Q \ – \ (Q^2 + 180Q + 140000)\)

\( = \ – \ Q^2 + 1020Q \ – \ 140000\) (nghìn đồng)

\(b)\) Xét tam thức bậc hai \(y = \ – \ Q^2 + 1020Q \ – \ 140000\)

Ta thấy tam thức có hai nghiệm phân biệt \(Q_1 = 510 \ – \ 10\sqrt{1201}, Q_2 = 510 + 10\sqrt{1201}\) và có hệ số \(a = \ – \ 1 < 0\).

Ta có bảng xét dấu sau: