Bài 3. Cấp số nhân

Bài \(3\). Cấp số nhân trang \(53\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?
\(a)\) \(5; \ – \ 0,5; 0,05; \ – \ 0,005; 0,0005\);
\(b)\) \(\ – \ 9, 3, \ – \ 1, \displaystyle \frac{1}{3}, \ – \ \displaystyle \frac{1}{9}\);
\(c)\) \(2, 8, 32, 64, 256\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\displaystyle \frac{\ – \ 0,5}{5} = \displaystyle \frac{0,5}{\ – \ 0,5} = \displaystyle \frac{\ – \ 0,005}{0,05} = \displaystyle \frac{0,0005}{\ – \ 0,005} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{10}\)

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = 5\) và công bội \(q = \ – \ \displaystyle \frac{1}{10}\)

\(b)\) Ta có: \(\displaystyle \frac{3}{\ – \ 9} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{3} = \displaystyle \frac{\frac{1}{3}}{\ – \ 1} = \displaystyle \frac{\ – \ \frac{1}{9}}{\frac{1}{3}} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\).

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = \ – \ 9\) và công bội \(q = \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\).

\(c)\) Ta có: \(\displaystyle \frac{8}{2} = \displaystyle \frac{32}{2} = \displaystyle \frac{256}{64} \neq \displaystyle \frac{64}{32}\)

Vậy dãy số trên không là cấp số nhân.

\(\)

Bài \(2\). Chứng minh mỗi dãy số \((u_n)\) với số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:
\(a)\) \(u_n = \ – \ \displaystyle \frac{3}{4}. 2^n\);
\(b)\) \(u_n = \displaystyle \frac{5}{3^n}\);
\(c)\) \(u_n = (\ – \ 0,75)^n\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(u_{n + 1} = \ – \ \displaystyle \frac{3}{4}. 2^{n + 1}\)

Xét \(\displaystyle \frac{u_{n + 1}}{u_n} = \displaystyle \frac{\frac{\ – \ 3}{4}. 2^{n + 1}}{\frac{\ – \ 3}{4}. 2^n} = 2\)

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân.

\(b)\) Ta có: \(u_{n + 1} = \displaystyle \frac{5}{3^{n + 1}}\)

Xét \(\displaystyle \frac{u_{n + 1}}{u_n} = \displaystyle \frac{\frac{5}{3^{n + 1}}}{\frac{5}{3^n}} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân.

\(c)\) Ta có: \(u_{n + 1} = (\ – \ 0,75)^{n + 1}\)

Xét \(\displaystyle \frac{u_{n + 1}}{u_n} = \displaystyle \frac{(\ – \ 0,75)^{n + 1}}{(\ – \ 0,75)^n} = \ – \ 0,75\)

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân.

\(\)

Bài \(3\). Cho cấp số nhân \((u_n)\) với số hạng đầu \(u_1 = \ – \ 5\), công bội \(q = 2\).
\(a)\) Tìm \(u_n\).
\(b)\) Số \(\ – \ 320\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?
\(c)\) Số \(160\) có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Trả lời:

\(a)\) Cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1 = \ – \ 5\) và công bội \(q = 2\) nên công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

\(u_n = (\ – \ 5). 2^{n \ – \ 1}\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\)

\(b)\) Xét \(u_n = \ – \ 320\)

\(\Rightarrow \ – \ 5. 2^{n \ – \ 1} = \ – \ 320\)

\(\Rightarrow 2^{n \ – \ 1} = 64\)

\(\Rightarrow n = 7\)

Vậy số \(\ – \ 320\) là số hạng thứ \(7\) của cấp số nhân.

\(c)\) Xét \(u_n = 160\)

\(\Rightarrow \ – \ 5. 2^{n \ – \ 1} = \ – \ 160\)

\(\Rightarrow 2^{n \ – \ 1} = \ – \ 32\)

\(\Rightarrow n = \ – \ 4 \notin \mathbb{N^*}\)

Vậy số \(160\) không phải là một số hạng của cấp số nhân.

\(\)

Bài \(4\). Cho cấp số nhân \((u_n)\) với \(u_1 = 3, u_3 = \displaystyle \frac{27}{4}\).
\(a)\) Tìm công bội \(q\) và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.
\(b)\) Tính tổng \(10\) số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(u_3 = u_1. q^2 = 3. q^2 = \displaystyle \frac{27}{4}\)

\(\Rightarrow q^2 = \displaystyle \frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow q = \pm \displaystyle \frac{3}{2}\)

Với \(q = \displaystyle \frac{3}{2}\) ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

\(3; \displaystyle \frac{9}{2}; \displaystyle \frac{27}{4}; \displaystyle \frac{81}{8}; \displaystyle \frac{243}{16}\).

Với \(q = \ – \ \displaystyle \frac{3}{2}\) ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

\(3; \ – \ \displaystyle \frac{9}{2}; \displaystyle \frac{27}{4};\ – \ \displaystyle \frac{81}{8}; \displaystyle \frac{243}{16}\).

\(b)\) Với \(q = \displaystyle \frac{3}{2}\)

Ta có: \(S_{10} = \displaystyle \frac{3. \left[1 \ – \ \left(\frac{3}{2}\right)^{10}\right]}{1 \ – \ \displaystyle \frac{3}{2}} = 339,99\)

Với \(q = \ – \ \displaystyle \frac{3}{2}\)

Ta có: \(S_{10} = \displaystyle \frac{3. \left[1 \ – \ \left(\ – \ \frac{3}{2}\right)^{10}\right]}{1 + \displaystyle \frac{3}{2}} = \ – \ 67,998\)

\(\)

Bài \(5\). Một tỉnh có \(2\) triệu dân vào năm \(2020\) với tỉ lệ tăng dân số là \(1 \%/\)năm. Gọi \(u_n\) là số dân của tỉnh đó sau \(n\) năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi.
\(a)\) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau \(n\) năm kể từ năm \(2020\).
\(b)\) Tính số dân của tỉnh đó sau \(10\) năm kể từ năm \(2020\).

Trả lời:

Số dân của tỉnh đó mỗi năm kể từ năm \(2020\) lập thành cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = 2\) và công bội \(q = 1 \% = 0,01\)

\(a)\) Công thức số dân của tỉnh đó sau \(n\) năm kể từ năm \(2020\) là:

\(u_n = 2. 0,01^{n \ – \ 1}\) (triệu dân)

\(b)\) Số dân của tỉnh đó sau \(10\) năm kể từ năm \(2020\) là:

\(u_{10} = 2. 0,01^{10 \ – \ 1} = 200. 10^{\ – \ 20}\) (triệu dân)

\(\)

Bài \(6\). Một gia đình mua một chiếc ôtô giá \(800\) triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ôtô giảm đi \(4 \%\) (so với năm trước).
\(a)\) Viết công thức tính giá trị của ôtô sau \(1\) năm, \(2\) năm sử dụng.
\(b)\) Viết công thức tính giá trị của ôtô sau \(n\) năm sử dụng.
\(c)\) Sau \(10\) năm, giá trị ước tính của ôtô còn bao nhiêu triệu đồng?

Trả lời:

\(a)\) Giá trị còn lại của ôtô sau \(1\) năm là:

\(u_1 = 800 \ – \ 800. 4\% = 800. (1 \ – \ 4\%) = 768\) (triệu đồng)

Giá trị còn lại của ôtô sau \(2\) năm là:

\(u_2 = 800. (1 \ – \ 4\%) \ – \ 800. (1 \ – \ 4\%). 4\% \)

\(= 800. (1 \ – \ 4\%). (1 \ – \ 4\%) = 800. (1 \ – \ 4\%)^2 = 737,28\) (triệu đồng)

\(b)\) Gọi \(u_n\) là giá trị còn lại của ôtô sau \(n\) năm sử dụng.

Dãy các giá trị \(u_n\) lập thành câp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = 800\) và công bội \(q = 1 \ – \ 4\%\)

Khi đó, công thức tổng quát \(u_n\) tính giá trị của ôtô sau \(n\) năm sử dụng là:

\(u_n = 800. (1 \ – \ 4\%)^n\) (triệu đồng)

\(c)\) Giá trị còn lại của ôtô sau \(10\) năm là:

\(u_{10} = 800. (1 \ – \ 4\%)^{10} \approx 531,87\) (triệu đồng)

\(\)

Bài \(7\). Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài \(100\) m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng \(75 \%\) so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình \(3\)), Tính tổng quãng đường người đó đi được sau \(10\) lần kéo lên và lại rơi xuống.