Chương 8 – Bài 3. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông trang 75 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
1. Hãy tìm cặp tam giác vuông đồng dạng trong Hình 8.
Giải
Tam giác ABC vuông tại A có: \(\widehat{C}=90^o-48^o=42^o.\)
Tam giác ABC vuông tại A và tam giác QPR vuông tại Q có: \(\widehat{B}=\widehat{P}=42^o.\) Vậy \(\Delta BAC ∽ \Delta PQR\) (g.g).
Tam giác TUV và MKN có: \(\displaystyle\frac{UV}{KN}=\displaystyle\frac{6}{9}=\displaystyle\frac{2}{3};\) \(\displaystyle\frac{TV}{MN}=\displaystyle\frac{4}{6}=\displaystyle\frac{2}{3}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{UV}{KN}=\displaystyle\frac{TV}{MN}.\) Vậy \(\Delta TUV ∽ \Delta MKN.\)
Tam giác DEF vuông tại D và tam giác và GHI vuông tại G có: \(\displaystyle\frac{DE}{GH}=\displaystyle\frac{DF}{GI}\) (vì \(\displaystyle\frac{9}{7,5}=\displaystyle\frac{12}{10}\)).
Vậy \(\Delta DEF ∽ \Delta GHI\) (c.g.c).
\(\)
2. Quan sát Hình 9.
a) Chứng minh rằng \(\Delta DEF ∽ \Delta HDF.\)
b) Chứng minh \(DF^2=FH.FE.\)
c) Biết \(EF = 15\) cm, \(FH = 5,4\) cm. Tính độ dài đoạn thẳng \(DF.\)
Giải
a) Tam giác DEF vuông tại D và tam giác HDF vuông tại H có \(\widehat{F}\) chung.
Vậy \(\Delta DEF ∽ \Delta HDF\) (g.g).
b) Vì \(\Delta DEF ∽ \Delta HDF\) nên \(\displaystyle\frac{DF}{FH}=\displaystyle\frac{FE}{DF}.\)
Suy ra \(DF^{2}=FH.FE.\)
c) Thay EF = 15 cm, FH = 5,4 cm ta có: \(DF^{2} = 5,4 . 15\)
\(⇒ DF =\sqrt{5,4 . 15}= 9\) (cm).
\(\)
3. Trong Hình 10, biết MB = 20 m, MF = 2 m, EF = 1,65 m. Tính chiều cao AB của ngọn tháp.
Giải
Tam giác MEF vuông tại F và tam giác MAB vuông tại B có \(\widehat{M}\) chung.
Suy ra \(\Delta MEF ∽ \Delta MAB\) (g.g).
Do đó \(\displaystyle\frac{EF}{AB}=\displaystyle\frac{MF}{MB}\) hay \(\displaystyle\frac{1,65}{AB}=\displaystyle\frac{2}{20}\)
Vậy \(AB = \displaystyle\frac{1,6.20}{2}=16,5\) (cm).
\(\)
4. Trong Hình 11, cho biết \(\widehat{B}=\widehat{C},\) BE = 25 cm, AB = 20 cm, DC = 15 cm. Tính độ dài đoạn thẳng CE.
Giải
Tam giác ABE vuông tại A và tam giác ACD vuông tại A có: \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (giả thiết).
Suy ra \(\Delta ABE ∽ \Delta ACD\) (g.g).
Do đó \(\displaystyle\frac{AB}{AC}=\displaystyle\frac{BE}{CD}\) hay \(\displaystyle\frac{20}{AC}=\displaystyle\frac{25}{15}\)
\(⇒ AB = \displaystyle\frac{15.20}{25}=12\) (cm).
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABE ta có:
\(BE^{2}=AB^{2}+AE^{2}\)
\(⇒ AE=\sqrt{BE^{2}-AB^{2}}=15.\)
Vậy \(CE = AE-AC = 15-12 = 3.\)
\(\)
5. Quan sát Hình 12. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ABH ∽ \Delta DCB.\)
b) \(\displaystyle\frac{BC}{BE}=\displaystyle\frac{BD}{BA}.\)
Giải
a) Ta có BH ⊥ AE, CJ ⊥ AE nên BH // CJ do đó \(\widehat{ABH}=\widehat{BCD}\) (so le trong)
Tam giác ABH vuông tại H và tam giác DCB vuông tại B có: \(\widehat{ABH}=\widehat{BCD}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\Delta ABH ∽ \Delta DCB\) (g.g).
b) Vì \(\Delta ABH ∽ \Delta DCB\) nên \(\widehat{A}=\widehat{BDC}\)
Tam giác DCB vuông tại B và tam giác AEB vuông tại B ta có: \(\widehat{A}=\widehat{BDC}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\Delta DCB ∽ \Delta AEB\) (g.g) nên \(\displaystyle\frac{BC}{BE}=\displaystyle\frac{BD}{BA}.\)
\(\)
6. Một người đo chiều cao của một tòa nhà nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 3 m và đặt cách xa tòa nhà 27 m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 1,2 m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh tòa nhà cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi tòa nhà cao bao nhiêu mét, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,5 m.
Giải
Gọi chiều cao của tòa nhà là BC và cọc tiêu DE = 3 m.
Khoảng cách từ chân đến mắt người đo là FG = 1,5 m.
Cọc DE cách xa tòa nhà 27 m, và người cách cọc một khoảng EG = 1,2 m và gọi A là giao điểm của CF và BE.
Ta có BC ⊥ AB, DE ⊥ AB, FG ⊥ AB;
⇒ BC // DE // FG.
Ta có: \(\Delta AFG ∽ \Delta ADE\) (vì FG // DE)
\(⇒ \displaystyle\frac{FG}{DE}=\displaystyle\frac{AG}{AE}\)
Mà \(DE = 3\) m; \(FG = 1,5\) m nên \(\displaystyle\frac{1,5}{3}=\displaystyle\frac{AG}{AE} ⇒ \displaystyle\frac{AG}{AE}=\displaystyle\frac{1}{2} ⇒ \displaystyle\frac{AG}{1}=\displaystyle\frac{AE}{2}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\displaystyle\frac{AG}{1}=\displaystyle\frac{AE}{2}=\displaystyle\frac{AE-AG}{2-1}=\displaystyle\frac{EG}{1}=1,2\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{DB}{1}=1,2 ⇒ DB = 1,2;\)
\(\displaystyle\frac{AB}{2}=1,2⇒ AB=2,4.\)
\(⇒ AB = EB + EG + AG\) \(= 27 + 1,2 + 1,2 = 29,4\) m.
\(\Delta ADE ∽ \Delta ABC\) (vì DE // BC)
\(⇒ \displaystyle\frac{AE}{AB}=\displaystyle\frac{DE}{BC}\)
\(⇒ BC=\displaystyle\frac{DE.AB}{AE}=\displaystyle\frac{3.29,4}{2,4}=36,75\) (m)
Vậy tòa nhà cao \(36,75\) m.
\(\)
7. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH.\) Kẻ \(HM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M.\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta AMH ∽ \Delta AHB.\)
b) Kẻ \(HN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N.\) Chứng minh rằng \(AM.AB = AN.AC.\)
c) Chứng minh rằng \(\Delta ANM ∽ \Delta ABC.\)
d) Cho biết \(AB = 9\) cm, \(AC = 12\) cm. Tính diện tích tam giác \(AMH.\)
Giải
a) Tam giác vuông \(AMH\) và \(AHB\) ta có: \(\widehat{A}\) chung.
Suy ra \(\Delta AMH ∽ \Delta AHB\) (g.g).
b) Vì \(\Delta AMH ∽ \Delta AHB\) nên \(\displaystyle\frac{AM}{AH}=\displaystyle\frac{AH}{AB}\) hay \(AM.AB=AH^{2}\) (1)
Tam giác vuông \(ANH\) và \(AHC\) ta có: \(\widehat{A}\) chung.
Suy ra \(\Delta ANH ∽ \Delta AHC\) (g.g) nên \(\displaystyle\frac{AN}{AH}=\displaystyle\frac{AH}{AC}\) hay \(AN.AC=AH^{2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM.AB = AN.AC.\)
c) Ta có \(AM . AB = AN . AC,\) do đó \(\displaystyle\frac{AN}{AB}=\displaystyle\frac{AM}{AC}\)
Tam giác vuông \(AMN\) và \(ABC\) ta có:
\(\displaystyle\frac{AN}{AB}=\displaystyle\frac{AM}{AC}\)
Suy ra \(\Delta ANM ∽ \Delta ABC\) (c.g.c).
d) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(ABC\) ta có:
\(BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} ⇒ BC = 15\) (cm)
Ta có \(AH . BC = AB . AC\) \(⇒ AH . 15 = 9 . 12 ⇒ AH = 7,2\) (cm).
Tứ giác \(AMHN\) có bốn góc vuông nên \(AMHN\) là hình chữ nhật, do đó \(AH = MN = 7,2\) (cm).
Vậy tam giác \(AMN\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) theo tỉ số đồng dạng \(k=\displaystyle\frac{MN}{BC}=\displaystyle\frac{7,2}{15}=\displaystyle\frac{12}{25}.\)
Nên tỉ số diện tích của tam giác \(AMN\) và \(ABC\) là \(k^{2}=\displaystyle\frac{144}{625}.\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(\displaystyle\frac{1}{2}AB.AC=54\ (cm^{2})\)
Diện tích tam giác \(AMN\) là: \(54 . \displaystyle\frac{144}{625}=12,4416\ (cm^{2})\)
Vậy diện tích tam giác \(AMN\): \(12,4416\ (cm^{2})\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 4. Hai hình đồng dạng
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải bài tập SGK Toán Lớp 8 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
