Bài 3. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Bài 3. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu trang \(112\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:
\(a)\) \(23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41\).
\(b)\) \(12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78\).

Trả lời: Bài 3. Các số đặc trưng Bài 3. Các số đặc trưng

\(a)\) Cỡ mẫu là \(n = 8\)

• Số trung bình:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{23 + 41 + 71 + 29 + 48 + 45 + 72 + 41}{8}\)

\(= 46,25\)

• Tứ phân vị \(Q_1, Q_2, Q_3\)

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta có:

\(23; 29; 41; 41; 45; 48; 71; 72\).

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là:

\(Q_2 = \displaystyle \frac{1}{2}. (41 + 45) = 43\)

Tứ phân vị thứ nhất là tứ phân vị của mẫu: \(23; 29; 41; 41\)

\(\Rightarrow Q_1 = \displaystyle \frac{1}{2}. (29 + 41) = 35\)

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(45; 48; 71; 72\)

\(\Rightarrow Q_3 = \displaystyle \frac{1}{2}. (48 + 71) = 59,5\)

• Giá trị \(41\) có tần số lớn nhất là \(2\) nên mốt của mẫu là:

\(M_0 = 41\)

\(b)\) Cỡ mẫu là \(n = 9\)

• Số trung bình:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{12 + 32 + 93 + 78 + 24 + 12 + 54 + 66 + 78}{9}\)

\( \approx 49,9\)

• Tứ phân vị \(Q_1, Q_2, Q_3\)

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta có:

\(12; 12; 24; 32; 54; 66; 78; 78; 93\)

Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là: \(Q_2 = 54\)

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(12; 12; 24; 32\)

\(\Rightarrow Q_1 = \displaystyle \frac{1}{2}. (12 + 24) = 18\)

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(66; 78; 78; 93\)

\(\Rightarrow Q_3 = \displaystyle \frac{1}{2}. (78 + 78) = 78\)

• Các giá trị \(12\) và \(78\) đều có tần số lớn nhất (bằng \(2\)) nên mốt của mẫu là \(12\) và \(78\).

\(\)

Bài \(2\). Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và các mốt của các mẫu số liệu sau:
\(a)\)

\(b)\)

Trả lời:

\(a)\) Cỡ mẫu là \(n = 6 + 8 + 10 + 6 + 4 + 3 = 37\)

Số trung bình của mẫu là:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{6. 23 + 8. 25 + 10. 28 + 6. 31 + 4. 33 + 3. 37}{37}\)

\( \approx 28,3\)

Giá trị \(28\) có tần số lớn nhất (bằng \(25\)) nên mốt của mẫu là: \(M_0 = 28\)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(\underbrace{23; 23; … ; 23}_{6}; \underbrace{25; 25; … ; 25}_{8}; \underbrace{28; 28; … ; 28}_{10}\); \(\underbrace{31; 31; … ; 31}_{6}; 33; 33; 33; 33; 37; 37; 37\)

Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là: \(Q_2 = 28\)

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu:

\(\underbrace{23; 23; … ; 23}_{6}; \underbrace{25; 25; … ; 25}_{8}; 28; 28; 28; 28\)

Do đó \(Q_1 = 25\)

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu:

\(28; 28; 28; 28; 28; \underbrace{31; 31; … ; 31}_{6}; 33; 33; 33\);

\( 33; 37; 37; 37\)

Do đó \(Q_3 = 31\)

\(b)\) Tần số tương đối là tỉ số của tần số với cỡ mẫu. Vì vậy , giá trị có tần số tương đối lớn nhất thì cũng có tần số lớn nhất.

\(\Rightarrow\) Giá trị \(0\) có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu là \(M_0 = 0\)

Giả sử cỡ mẫu \(n = 10\)

Khi đó: tần số tương ứng với các giá trị \(0; 2; 4; 5\) lần lượt là: \(6; 2; 1; 1\)

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 2; 4; 5\)

Vĩ cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là:

\(Q_2 = \displaystyle \frac{1}{2}. (0 + 0) = 0\)

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \(0; 0; 0; 0; 0\)

Do đó \(Q_1 = 0\)

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \(0; 2; 2; 4; 5\)

Do đó \(Q_3 = 2\)

\(\)

Bài \(3\). An lấy ra ngẫu nhiên ba quả bóng từ một hộp có chứa nhiều bóng xanh và bóng đỏ. An đếm xem có bao nhiêu bóng đỏ trong ba bóng lấy ra đó rồi trả bóng lại hộp. An lặp lại phép thử trên \(100\) lần và ghi lại kết quả ở bảng sau:

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của bảng kết quả trên.

Trả lời:

• Số trung bình:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{0. 10 + 1. 30 + 2. 40 + 3. 20}{10 + 30 + 40 + 20} = 1,7\)

• Cỡ mẫu là: \(n = 100\)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(\underbrace{0; … ; 0}_{10}; \underbrace{1; … ; 1}_{30}; \underbrace{2; … ; 2}_{40}; \underbrace{3; … ; 3}_{20}\)

Vì \(n\) là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là: \(Q_2 = \displaystyle \frac{1}{2}. (2 + 2) = 2\)

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

\(\underbrace{0; … ; 0}_{10}; \underbrace{1; … ; 1}_{30}; \underbrace{2; … ; 2}_{10}\)

\(\Rightarrow Q_1 = \displaystyle \frac{1}{2}. (1 + 1) = 1\)

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

\(\underbrace{2; … ; 2}_{30}; \underbrace{3; … ; 3}_{20}\)

\(\Rightarrow Q_3 = \displaystyle \frac{1}{2}. (2 + 2) = 2\)

• Mốt \(M_0 = 2\)

\(\)

Bài \(4\). Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số thí sinh ở bảng sau:

\(a)\) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của thời gian thi nghề của các thí sinh trên.
\(b)\) Năm ngoái, thời gian thi của các thí sinh có trung bình và trung vị đều bằng \(7\). Bạn hãy so sánh thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm.

Trả lời:

\(a)\)

• Số trung bình:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{1. 5 + 3. 6 + 5. 7 + 2. 8 + 1. 35}{1 + 3 + 5 + 2 + 1} = 9, 08\)

• Tứ phân vị \(Q_1; Q_2; Q_3\)

Cỡ mẫu là \(n = 12\)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 35\)

Vì \(n\) chẵn nên \(Q_2 = \displaystyle \frac{1}{2} (7 +7) = 7\)

\(Q_1\) là trung vị của mẫu số liệu: \(5; 5; 6; 6; 7; 7\)

\(\Rightarrow Q_1 = \displaystyle \frac{1}{2}. (6 + 6) = 6\)

\(Q_3\) là trung vị của mẫu số liệu: \(7; 7; 7; 8; 8; 35\)

\(\Rightarrow Q_3 = \displaystyle \frac{1}{2}. (7 + 8) = 7,5\)

• Mốt của mẫu \(M_0 = 7\)

\(b)\)

• Nếu so sánh số trung bình thì ta có:

\(9, 08 > 7\) tức là thời gian thi nói chung của các thí sinh năm nay lớn hơn so với năm trước.

• Nếu so sánh số trung vị thì ta thấy: Trung vị của hai năm đều bằng \(7\) tức là thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm là như nhau.

Do có một thí sinh có thời gian thi lớn hơn hẳn các thí sinh khác nên ta nên so sánh theo số trung vị.

\(\)

Bài \(5\). Bác Dũng và bác Thu ghi lại số cuộc điện thoại mà mỗi người gọi mỗi ngày trong \(10\) ngày được lựa chọn ngẫu nhiên từ tháng \(01/2021\) ở bảng sau:

\(a)\) Hãy tìm số trung bình, số trung vị và mốt của số cuộc điện thoại mà mỗi bác gọi theo số liệu trên.
\(b)\) Nếu so sánh theo số trung bình thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?
\(c)\) Nếu so sánh theo số trung vị thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?
\(d)\) Theo bạn, nên dùng số trung bình hay số trung vị để so sánh xem ai có nhiều cuộc gọi điện thoại hơn mỗi ngày?

Trả lời:

\(+)\) Bác Dũng:

• Số trung bình:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{2 + 7 + 3 + 6 + 1 + 4 + 1 + 4 + 5 + 1}{10}\)

\( = 3,4\)

• Tứ phân vị \(Q_1; Q_2; Q_3\)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(1; 1; 1; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 7\)

Vì cỡ mẫu \(n = 10\) là số chẵn nên ta có:

\(Q_2 = \displaystyle \frac{1}{2}. (3 + 4)= 3,5\)

\(Q_1\) là trung vị của mẫu số liệu: \(1; 1; 1; 2; 3\)

\(\Rightarrow Q_1 = 1\)

\(Q_3\) là trung vị của mẫu số liệu: \(4; 4; 5; 6; 7\)

\(\Rightarrow Q_3 = 5\)

• Mốt của mẫu \(M_0 = 1\)

\(+)\) Bác Thu:

• Số trung bình:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{1 +3 + 1 + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 20 + 2}{10}\)

\( = 3,9\)

• Tứ phân vị \(Q_1; Q_2; Q_3\)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 4; 20\)

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên \(Q_2 = \displaystyle \frac{1}{2}. (2 + 2) = 2\)

\(Q_1\) là trung vị của mẫu số liệu: \(1; 1; 1; 2; 2\)

\(\Rightarrow Q_1 = 1\)

\(Q_3\) là trung vị của mẫu số liệu: \(2; 3; 3; 4; 20\)

\(\Rightarrow Q_3 = 3\)

• Mẫu có hai mốt: \(M_0 = 1; M_0 = 2\)

\(b)\) So sánh theo số trung bình thì \(3,9 > 3,4\) nên bác Thu có nhiều cuộc điện thoại hơn.

\(c)\) So sánh theo số trung vị thì \(3,5 > 2\) nên bác Dũng có nhiều cuộc điên thoại hơn.

\(d)\) Vì trong mẫu số liệu, có một ngày bác Thu có tới \(20\) cuộc điện thoại, chênh lệch (lớn hơn) rất nhiều so với các ngày khác nên ta nên so sánh theo số trung vị.

\(\)

Bài \(6\). Tổng số điểm mà các thành viên đội tuyển Olympic Toán quốc tế (IMO) của Việt Nam đạt được trong \(20\) kì thi được cho ở bảng sau:

Có ý kiến cho rằng điểm thi của đội tuyển giai đoạn \(2001 \ – \ 2010\) cao hơn giai đoạn \(2011\ – \ 2020\). Hãy sử dụng số trung bình và trung vị để kiểm nghiệm xem ý kiến trên có đúng không?

Trả lời:

• Xét giai đoạn \(2001 \ – \ 2010\)

Số trung bình:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{139 + 166 + 172 + 196 + 143 + 131 + 168 + 159 + 161 + 133}{10}\)

\(= 156, 8\)

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(131; 133; 139; 143; 159; 161; 166; 168; 172; 196\)

Vì cỡ mẫu bằng \(10\) là số chắn nên số trung vị là:

\(M_e = \displaystyle \frac{1}{2}. (159 + 161) = 160\)

• Xét giai đoạn \(2011 \ – \ 2020\)

Số trung bình:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{150 + 177 + 148 + 155 + 151 + 151 + 157 + 180 + 148 + 113}{10}\)

\( = 153\)

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(113; 148; 148; 150; 151; 151; 155; 157; 177; 180\)

Vì cỡ mẫu bằng \(10\) là số chẵn nên trung vị là:

\(M_e = \displaystyle \frac{1}{2}. ( 151 + 151) = 151\)

Ta nhận thấy, so sánh theo số trung bình hay số trung vị ta đều thấy, điểm thi của đội tuyển giai đoạn \(2001 \ – \ 2010\) đều cao hơn giai đoạn \(2011 \ – \ 2020\).

Vậy ý kiến trên là đúng.

\(\)

Bài \(7\). Kết quả bài kiểm tra giữa kì của các bạn học sinh lớp \(10A, 10B, 10C\) được thống kê ở các biểu đồ dưới đây:

\(a)\) Hãy lập bảng thống kê số lượng học sinh theo điểm số ở mỗi lớp.
\(b)\) Hãy so sánh điểm số của học sinh các lớp đó theo số trung bình, trung vị và mốt.

Trả lời: Bài 3. Các số đặc trưng Bài 3. Các số đặc trưng

\(a)\) Ta có bảng thống kê sau:

\(b)\)

• Lớp \(10A\)

Cỡ mẫu là: \(1+ 4 + 5 + 8 + 14 + 8 = 40\)

Số trung bình:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{1.5 + 4.6 + 5.7 + 8.8 + 9.14 + 8.10}{40}\)

\( = 8,35\)

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; \underbrace{8; … ; 8}_{8}\);

\(\underbrace{9; …; 9}_{14}; \underbrace{10; … ; 10}_{8}\)

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên trung vị là:

\(M_e = \displaystyle \frac{1}{2}. (9 + 9) = 9\)

Điểm \(9\) có tần số bằng \(14\) là lớn nhất nên mốt \(M_0 = 9\)

• Lớp \(10B\)

Cỡ mẫu là: \(4 + 6 + 10 + 10 + 6 + 4 = 40\)

Số trung bình:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{4.5 + 6.6 + 10.7 + 10.8 + 6.9 + 4.10}{40}\)

\(= 7,5\)

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(5; 5; 5; 5; \underbrace{6; … ; 6}_{6}; \underbrace{7; … ; 7}_{10}; \underbrace{8; … ; 8}_{10}; \underbrace{9; … ; 9}_{6}; 10; 10; 10; 10\)

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên trung vị là:

\(M_e = \displaystyle \frac{1}{2}. ( 7 + 8) = 7,5\)

Điểm \(7\) và \(8\) có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu là:

\(M_0 = 7\) và \(M_0 = 8\)

• Lớp \(10C\)

Cỡ mẫu là: \(1 + 3 + 17 + 11 + 6 + 2 = 40\)

Số trung bình:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{1.5 + 3.6 + 17.7 + 11.8 + 6.9 + 2.10}{40}\)

\(= 7,6\)

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

\(5; 6; 6; 6; \underbrace{7; … ; 7}_{17}; \underbrace{8; … ; 8}_{11}; \underbrace{9; … ; 9}_{6}; 10; 10\).

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên số trung vị là:

\(M_e = \displaystyle \frac{1}{2}. (7 + 7) = 7\)

Điểm \(7\) có tần số lớn nhất nê mốt của mẫu là \(7\)

• So sánh:

Theo số trung bình:

\(8,35 > 7,6 > 7,5\) nên điểm số theo thứ tự giảm dần ở các lớp \(10A, 10C, 10B\)

Theo trung vị:

\(9 > 7,5 > 7\) nên điểm số theo thứ tự giảm dần ở các lớp \(10A, 10B, 10C\)

Theo mốt:

\(9 > 8 > 7\) nên điểm số theo thứ tự giảm dần ở các lớp \(10A, 10B, 10C\)

Bài 3. Các số đặc trưng Bài 3. Các số đặc trưng Bài 3. Các số đặc trưng Bài 3. Các số đặc trưng

Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-2-mo-ta-va-bieu-dien-du-lieu-tren-cac-bang-va-bieu-do/
Xem bài giải tiếp theo: https://bumbii.com/bai-4-cac-so-dac-trung-do-muc-do-phan-tan-cua-mau-so-lieu/
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-toan-lop-10-nxb-chan-troi-sang-tao

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech