Bài 3: Các phép toán trên tập hợp

Chương \(I\) – Bài \(3\): Các phép toán trên tập hợp trang \(21\) SGK Toán Lớp \(10\) Tập \(1\) NXB Chân trời sáng tạo. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Xác định các tập hợp \(A \cup B \) và \( A \cap B\):

\(a) A = \{ Đỏ, cam, vàng, lục, lam \}\) , \(B = \{ Lục, lam, chàm, tím \}\);

\(b)\) A là tập hợp các tam giác đều, B là tập hợp các tam giác cân.

Trả lời:

Ta có: \( A \cup B = \{ Đỏ, cam, vàng, lục, lam, chàm, tím \}\)

Các phần tử vừa thuộc tập \(A\) vừa thuộc tập \(B\) là \(\{ lục, lam \}\).

\(\Rightarrow A \cap B = \{ lục, lam \}\).

\(b)\) Vì mọi tam giác đều cũng là tam giác cân nên \(A \subset B\)

\(\Rightarrow A \cup B = B \) và \( A \cap B = A \).

\(\)

Bài \(2\). Xác định tập hợp \(A \cap B\) trong mỗi trường hợp sau:

\(a) A = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x^2 \ – \ 2 = 0 \}\), \(B = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ 2x \ -\ 1 < 0 \}\);

\(b) A = \{ x; y ) \ | \ x, y \in \mathbb{R}, y = 2x \ -\ 1\}\), \(B = \{ ( x; y ) \ | \ x, y \in \mathbb{R}, y =\ -\ x + 5 \}\);

\(c) A\) là tập hợp các hình thoi, \(B\) là tập hợp các hình chữ nhật.

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \( x ^ 2 \ – \ 2 = 0 \Rightarrow \left [\begin{matrix} x = \sqrt{2} \\ x = \ – \ \sqrt{2} \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow A = \{ \ – \ \sqrt{2}; \sqrt{2}\}\)

\( 2x \ – \ 1 < 0 \Leftrightarrow x < \displaystyle\frac{1}{2} \)

\(\Rightarrow B = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x < \displaystyle\frac{1}{2} \)

\(\Rightarrow A \cap B = \{ \sqrt{2}\}\).

\(b)\) Ta có: \( A \cap B = \{ ( x; y ) \ | \ x,y \in \mathbb{R}, y = 2x \ – \ 1, y = \ – \ x \ + \ 5\} \)

\(\Leftrightarrow A \cap B \) là tập hợp các cặp số \( (x; y)\) thoả mãn hệ phương trình:

\(\left \{\begin{matrix} y = 2x \ – \ 1 \\ y = \ – \ x + 5 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} 2x \ – \ 1 = \ – \ x + 5\\ y = 2x \ – \ 1 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} 3x = 6\\ y = 2x \ – \ 1 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} x = 2\\ y = 3 \end{matrix} \right.\)

Vậy \( A \cap B = \{ (2; 3)\}\).

\(c)\) Ta có: \( A \cap B \) là tập hợp các hình vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

Một từ giác vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác đó là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.

\(\Leftrightarrow\) Tứ giác đó là hình vuông

Vậy \( A \cap B \) là tập hợp các hình vuông.

\(\)

Bài \(3\). Cho \(U = \{ x \in \mathbb{N} \ | \ x < 10\}\), \( A = \{ x \in U \ | \ x\) là bội của \(3 \}\), \( B = \{ x \in U \ | \ x\) là ước của \(6 \}\). Xác định các tập hợp \( A \setminus B\), \( B \setminus A\), \( C_uA\), \( C_uB\), \( C_u ( A \cup B )\), \( C_u ( A \cap B )\).

Trả lời:

Ta có: \( U = \{x \in \mathbb{N} \ | \ x < 10\} = \{ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 \}\)

\( A = \{ x \in U \ | \ x\) là bội của \(3 \} = \{ 0; 3; 6; 9 \}\)

\( B = \{ x \in U \ | \ x\) là ước của \(6 \} = \{ 1; 2; 3; 6 \}\)

\(\Rightarrow A \setminus B = \{ 0; 9 \}; B \setminus A = \{ 1; 2 \}\)

\( C_uA = \{1; 2; 4; 5; 7; 8\}\)

\( C_uB = \{ 0; 4; 5; 7; 8; 9\}\)

\( A \cup B = \{ 0; 1; 2; 3; 6; 9\}\)

\(\Rightarrow C_u ( A \cup B ) = \{ 4; 5; 7; 8\}\)

\( A \cap B = \{ 3; 6\}\)

\(\Rightarrow C_u ( A \cap B ) = \{ 0; 1; 2; 4; 5; 7; 8; 9\}\).

\(\)

Bài \(4\). Cho tập \(A\) và \(B\) là hai tập bất kì. Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập nào là tập con của tập hợp còn lại? Hãy giải thích bằng cách sử dụng biểu đồ Ven.

\(a)\) \( A\) và \( A \cup B\); \(b)\) \(A\) và \( A \cap B\).

Trả lời:

\(a)\) Xét các biểu đồ Ven sau:

Ta thấy \( A \subset A \cup B\).

\(b)\) Xét các biểu đồ Ven sau:

Nhìn vào biểu đồ ta thấy \( A \cap B \subset A \).

\(\)

Bài \(5\). Trong số \(35\) học sinh của lớp \(10H\), có \(20\) học sinh thích môn Toán, \(16\) học sinh thích môn Tiếng Anh và \(12\) học sinh thích cả hai môn này. Hỏi lớp \(10H\):

\(a)\) có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh?

\(b)\) có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn này?

Trả lời:

\(a)\) Gọi \(A\) là tập hợp các học sinh của lớp \(10H\) thích học môn Toán, \(B\) là tập hợp các học sinh lớp \(10H\) thích học môn Tiếng Anh.

Ta vẽ được biểu đồ Ven như sau:

Theo giả thiết \(n(A)\) = \(20\); \(n(B) = 16 \); \( n( A \cap B ) = 12 \).

Nhận thấy rằng, nếu tính tổng \(n(A) + n(B)\) thì ta được số học sinh lớp \(10H\) thích học môn Toán hoặc môn Tiếng Anh, nhưng số bạn thích học cả hai môn được tính hai lần. Do đó số bạn thích học ít nhất một trong hai môn là:

\(n( A \cup B) = n(A) + n(B) – n (A \cap B) = 20 + 16 \ – \ 12 = 24\) học sinh.

Vậy lớp \(10H\) có \(24\) học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh.

\(b)\) Số học sinh không thích cả hai môn Toán và Tiếng anh là : \( 35 \ – \ 24 = 11\) học sinh.

Vậy lớp \(10H\) có \(11\) học sinh không thích cả hai môn Toán và Tiếng Anh.

\(\)

Bài \(6\). Xác định các tập hợp sau đây:

\(a)\) \( ( \ – \ \infty; 0 ] \cup [ \ – \ \pi; \pi ]\);

\(b)\) \( [\ – \ 3,5; 2 ] \cap ( \ – \ 2; 3,5)\);

\(c)\) \( ( \ – \ \infty; \sqrt{2}] \cap [1; \ + \ \infty)\)

\(d)\) \( ( \ – \ \infty ; \sqrt{2}] \setminus [1; \ + \ \infty)\)

Trả lời:

\(a)\) Gọi \(A\) = \( ( \ – \ \infty; 0 ] \cup [ \ – \ \pi; \pi ]\)