Bài 27: Phép nhân đa thức một biến

Chương 7 – Bài 27: Phép nhân đa thức một biến trang 38 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

7.23. Thực hiện các phép nhân sau:

a) \(6x^2 . (2x^3-3x^2 + 5x-4);\)

b) \((-1,2x^2) . (2,5x^4-2x^3 + x^2-1,5).\)

Giải

a) \(6x^2 . (2x^3-3x^2 + 5x-4)\)

\(= 6x^2 . 2x^3 + 6x^2 . (-3x^2) + 6x^2 . 5x + 6x^2 . (-4)\)

\(= 12x^5-18x^4 + 30x^3-24x^2.\)

b) \((-1,2x^2) . (2,5x^4-2x^3 + x^2-1,5)\)

\(= (-1,2x^2) . 2,5x^4 + (-1,2x^2) . (-2x^3)\) \(+ (-1,2x^2) . x^2 + (-1,2x^2) . (-1,5)\)

\(=-3x^6 + 2,4x^5-1,2x^4 + 1,8x^2.\)

\(\)

7.24. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(4x^2(5x^2 + 3)-6x(3x^3-2x + 1)\)\(-5x^3(2x-1);\)

b) \(\displaystyle\frac{3}{2}x\left(x^2-\displaystyle\frac{2}{3}x+2\right)-\displaystyle\frac{5}{3}x^2\left(x+\displaystyle\frac{6}{5}\right).\)

Giải

a) \(4x^2(5x^2 + 3)-6x(3x^3-2x + 1)\)\(-5x^3(2x-1)\)

\(= (4x^2 . 5x^2 + 4x^2 . 3)-(6x . 3x^3-6x . 2x + 6x . 1)\)\(-(5x^3 . 2x-5x^3)\)

\(= (20x^4 + 12x^2)-(18x^4-12x^2 + 6x)\)\(-(10x^4-5x^3)\)

\(= 20x^4 + 12x^2-18x^4 + 12x^2-6x-10x^4 + 5x^3\)

\(= (20x^4-18x^4-10x^4) + 5x^3 + (12x^2 + 12x^2)\)\(-6x\)

\(=-8x^4 + 5x^3 + 24x^2-6x.\)

b) \(\displaystyle\frac{3}{2}x\left(x^2-\displaystyle\frac{2}{3}x+2\right)-\displaystyle\frac{5}{3}x^2\left(x+\displaystyle\frac{6}{5}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{3}{2}x.x^2-\displaystyle\frac{3}{2}x.\displaystyle\frac{2}{3}x+\displaystyle\frac{3}{2}x.2-\left(\displaystyle\frac{5}{3}x^2.x+\displaystyle\frac{5}{3}x^2.\displaystyle\frac{6}{5}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{3}{2}x^3-x^2+3x-\left(\displaystyle\frac{5}{3}x^3+2x^2\right)\)

\(=\displaystyle\frac{3}{2}x^3-x^2+3x-\displaystyle\frac{5}{3}x^3-2x^2\)

\(=\left(\displaystyle\frac{3}{2}x^3-\displaystyle\frac{5}{3}x^3\right)+(-x^2-2x^2)+3x\)

\(=\displaystyle\frac{-1}{6}x^3-3x^2+3x.\)

\(\)

7.25. Thực hiện các phép nhân sau:

a) \((x^2-x) . (2x^2-x-10);\)

b) \((0,2x^2-3x) . 5(x^2-7x + 3).\)

Giải

a) \((x^2-x) . (2x^2-x-10)\)

\(= x^2 . (2x^2-x-10)-x . (2x^2-x-10)\)

\(= (x^2 . 2x^2-x^2 . x-x^2 . 10)-(x . 2x^2-x . x\)\(-x . 10)\)

\(= (2x^4-x^3-10x^2)-(2x^3-x^2-10x)\)

\(= 2x^4-x^3-10x^2-2x^3 + x^2 + 10x\)

\(= 2x^4 + (-x^3-2x^3) + (-10x^2 + x^2) + 10x\)

\(= 2x^4-3x^3-9x^2 + 10x.\)

b) \((0,2x^2-3x) . 5(x^2-7x + 3)\)

\(= (0,2x^2-3x) . (5x^2-35x + 15)\)

\(= 0,2x^2 . (5x^2-35x + 15)-3x . (5x^2-35x + 15)\)

\(= (0,2x^2 . 5x^2-0,2x^2 . 35x + 0,2x^2 . 15)\)\(-(3x . 5x^2-3x . 35x + 3x . 15)\)

\(= (x^4-7x^3 + 3x^2)-(15x^3-105x^2 + 45x)\)

\(= x^4-7x^3 + 3x^2-15x^3 + 105x^2-45x\)

\(= x^4 + (-7x^3-15x^3) + (3x^2 + 105x^2)-45x\)

\(= x^4-22x^3 + 108x^3-45x.\)

\(\)

7.26. a) Tính \((x^2-2x + 5) . (x-2).\)

b) Từ đó hãy suy ra kết quả của phép nhân \((x^2-2x + 5) . (2-x).\) Giải thích cách làm.

Giải

a) \((x^2-2x + 5) . (x-2)\)

\(= x^2 . (x-2) + (-2x) . (x-2) + 5 . (x-2)\)

\(= (x^3-2x^2) + (-2x^2 + 4x) + (5x-10)\)

\(= x^3-2x^2-2x^2 + 4x + 5x-10\)

\(= x^3 + (-2x^2-2x^2) + (4x + 5x)-10\)

\(= x^3-4x^2 + 9x-10.\)

b) Vì \((x^2-2x + 5) . (2-x)\)

\(= (x^2-2x + 5). [-(x-2)]\)

\(=-(x^2-2x + 5) . (x-2).\)

Do đó \((x^2-2x + 5) . (2-x)\)

\(=-(x^3-4x^2 + 9x-10)\)

\(=-x^3 + 4x^2-9x + 10.\)

\(\)

7.27. Giả sử ba kích thước của một hình hộp chữ nhật là \(x;\ x + 1;\) \(x-1\) (cm) với \(x > 1.\) Tìm đa thức biểu thị thể tích (đơn vị: \(cm^3\)) của hình hộp chữ nhật đó.

Giải

Đa thức biểu thị thể tích hình hộp chữ nhật đó là:

\(V = x . (x + 1) . (x-1)\)

\(= (x.x + x.1) . (x-1)\)

\(= (x^2 + x) . (x-1)\)

\(= x^2 . (x-1) + x .(x-1)\)

\(= x^2 . x + x^2 . (-1) + x.x + x . (-1)\)

\(= x^3-x^2 + x^2-x\)

\(= x^3-x.\)

\(\)

7.28. Thực hiện các phép nhân hai đa thức sau:

a) \(5x^3-2x^2 + 4x-4\) và \(x^3 + 3x^2-5;\)

b) \(-2,5x^4 + 0,5x^2 + 1\) và \(4x^3-2x + 6.\)

Giải

a) \((5x^3-2x^2 + 4x-4) . (x^3 + 3x^2-5)\)

\(= 5x^3 . (x^3 + 3x^2-5)-2x^2 . (x^3 + 3x^2-5)\)\(+ 4x . (x^3 + 3x^2-5)-4 . (x^3 + 3x^2-5)\)

\(= (5x^3 . x^3 + 5x^3 . 3x^2-5x^3 . 5)-[-2x^2 . x^3\)\(+ 2x^2 . 3x^2-2x^2 . 5]+ (4x . x^3 + 4x . 3x^2-4x . 5)\)\(-(4 . x^3 + 4 . 3x^2-4 . 5)\)

\(= (5x^6 + 15x^5-25x^3)-[2x^5 + 6x^4-10x^2]\)\(+ (4x^4 + 12x^3-20x)-(4x^3 + 12x^2-20)\)

\(= 5x^6 + 15x^5-25x^3-2x^5-6x^4 + 10x^2 + 4x^4\)\(+ 12x^3-20x-4x^3-12x^2 + 20\)

\(= 5x^6 + (15x^5-2x^5) + (-6x^4 + 4x^4) + (-25x^3\)\(+ 12x^3-4x^3) + (10x^2-12x^2)-20x + 20\)

\(= 5x^6 + 13x^5-2x^4-17x^3-2x^2-20x + 20.\)

b) \((-2,5x^4 + 0,5x^2 + 1) . (4x^3-2x + 6)\)

\(= (-2,5x^4) . (4x^3-2x + 6) + 0,5x^2 . (4x^3\)\(-2x+ 6) + 1 . (4x^3-2x + 6)\)

\(=-2,5x^4 . 4x^3 + (-2,5x^4) . (-2x) + (-2,5x^4) . 6\)\(+ (0,5x^2 . 4x^3 + 0,5x^2 . (-2x) + 0,5x^2 . 6)\)\(+ (4x^3-2x + 6)\)

\(=-10x^7 + 5x^5-15x^4 + 2x^5-x^3 + 3x^2\)\(+ 4x^3-2x + 6\)

\(=-10x^7 + (5x^5 + 2x^5)-15x^4 + (-x^3 + 4x^3)\)\(+ 3x^2-2x + 6\)

\(=-10x^7 + 7x^5-15x^4 + 3x^3 + 3x^2-2x + 6.\)

\(\)

7.29. Người ta dùng những chiếc cọc để rào một mảnh vườn hình chữ nhật sao cho mỗi góc vườn đều có một chiếc cọc và hai cọc liên tiếp cắm cách nhau 0,1 m. Biết rằng số cọc dùng để rào hết chiều dài của vườn nhiều hơn số cọc dùng để rào hết chiều rộng là 20 chiếc. Gọi số cọc dùng để rào hết chiều rộng là x. Tìm đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn đó.

Giải

Vì số cọc để rào hết chiều rộng mảnh vườn là x nên số cọc dùng để rào hết chiều dài của mảnh vườn là \(x + 20\) cọc.

Khoảng cách giữa hai cọc liên tiếp là \(0,1\) m.

Giữa x cọc có \(x-1\) khoảng cách nên chiều rộng mảnh vườn là: \(0,1. (x-1)\) m.

Giữa \(x + 20\) cọc có \(x + 19\) khoảng cách nên chiều dài mảnh vườn là: \(0,1. (x + 19)\) m.

Khi đó diện tích của mảnh vườn là:

\(S = [0,1. (x-1)] . [0,1. (x + 19)]\)

\(= 0,1 . (x-1)(x+19)\)

\(= 0,1 . [x . x + x . 19 + (-1) . x + (-1) . 19]\)

\(= 0,01 . (x^2 + 19x-x-19)\)

\(= 0,01 . (x^2 + 18x-19)\)

\(= 0,01 . x^2 + 0,01 . 18x + 0,01 . (-19)\)