Bài \(26\). Khoảng cách trang \(54\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(7.22\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là một hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAD\)là một tam giác đều và \((SAD) \perp (ABCD)\).
\(a)\) Tính chiều cao của hình chóp.
\(b)\) Tính khoảng cách giữa \(BC\) và \((SAD)\).
\(c)\) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa \(AB\) và \(SD\).
Trả lời:
\(a)\) Gọi \(E\) là trung điểm \(AD\).
\((SAD) \perp (ABCD), (SAD) \cap (ABCD) = AD\)
Lại có tam giác \(SAD\) đều nên \(SE \perp AD\)
Suy ra \(SE \perp (ABCD)\) hay \(SE\) là đường cao hình chóp \(S.ABCD\).
Xét tam giác \(SEA\) vuông tại \(E\) ta có:
\(SE = \sqrt{SA^2 \ – \ AE^2} = \sqrt{a^2 \ – \ \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(b)\) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC // AD\)
Mà \(AD \subset (SAD) \Rightarrow BC // (SAD)\).
Ta có: \(Ab \perp AD, AB \perp SE\) nên \(AB \perp (SAD)\)
Suy ra: \(d(AB, (SAD)) = d(B, (SAD)) = AB = a\)
\(c)\) Trong mặt phẳng \((SAD)\), kẻ \(AF \perp SD\).
Khi đó ta có: \(AF \perp AB\) (do \((AB \perp (SAD), AF \subset (SAD)\))
\(\Rightarrow d(AB, SD) = AF\)
Do tam giác \(SAD\) đều nên \(AF = SE = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Vậy \(d(AB, SD) = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\)
Bài \(7.23\). Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(AA’ = a, AB = b, BC = c\).
\(a)\) Tính khoảng cách giữa \(CC’\) và \((BB’D’D)\).
\(b)\) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa \(AC\) và \(B’D’\).
Trả lời:
\(a)\) Trong mặt phẳng \((ABCD)\), kẻ \(CE \perp BD, E \in BD\)
Lại có \(CE \perp BB’\)
Suy ra \(CE \perp (BDD’B’)\)
Có \(CC’ // BB’, BB’ \subset (BDD’B’) \Rightarrow CC’ // (BDD’B’)\)
\(\Rightarrow d(CC’, (BDD’B’)) = d(C, (BDD’B’)) = CE\)
Xét tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\) ta có:
\(\displaystyle \frac{1}{CE^2} = \displaystyle \frac{1}{CD^2} + \displaystyle \frac{1}{BC^2} = \displaystyle \frac{1}{b^2} + \displaystyle \frac{1}{c^2} = \displaystyle \frac{b^2 + c^2}{b^2c^2}\)
\(\Rightarrow CE = \displaystyle \frac{bc}{\sqrt{b^2 + c^2}}\)
\(b)\) Ta có: \(AC \subset (ABCD), B’D’ \subset (A’B’C’D’)\)
Mà \((ABCD) // (A’B’C’D’)\)
\(\Rightarrow d(AC, B’D’) = d((ABCD), (A’B’C’D’)) = BB’ = a\)
\(\)
Bài \(7.24\). Cho tứ diện \(ABCD\) có các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(M, N\) tương ứng là trung điểm của các cạnh \(AB, CD\). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(MN\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\).
\(b)\) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện \(ABCD\) đều vuông góc với nhau.
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(CD \perp BN, CD \perp AN\)
\(\Rightarrow CD \perp (ABN)\)
\(\Rightarrow CD \perp MN\) (do \(MN \subset (ABN)\)) \((1)\)
Lại có \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(CM \perp AB, DM \perp AB\)
\(\Rightarrow AB \perp (CDM)\)
\(\Rightarrow AB \perp MN\) (do \(MN \subset (CDM)\)) \((2)\)
Từ \((1), (2)\) suy ra: \(MN\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\).
\(b)\) Có \(CD \perp (ABN)\). Mà \(AB \subset (AMN) \Rightarrow CD \perp AB\)
Chứng minh tương tự ta cũng được: \(BC \perp AD, BD \perp AC\)
Vậy các cặp cạnh đối diện trong tứ diện \(ABCD\) đều vuông góc với nhau.
\(\)
Bài \(7.25\). Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) có cạnh \(a\).
\(a)\) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((D’AC)\) và \((BC’A’)\) song song với nhau và \(DB’\) vuông góc với hai mặt phẳng đó.
\(b)\) Xác định các giao điểm \(E, F\) của \(DB’\) với \((D’AC), (BC’A’)\). Tính \(d((D’AC), (BC’A’))\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(AC // A’C’\) (do \((ABCD) // (A’B’C’D’)\)
\(A’B // CD’\) (do \((ABB’A’) // (CDD’C’)\)
Suy ra \((D’AC) // (BC’A’)\)
Ta có: \(AC \perp BD, AC \perp BB’ \Rightarrow AC \perp (BDB’)\)
\(\Rightarrow AC \perp DB’\). Mà \(AC // A’C’\)
\(\Rightarrow DB’ \perp A’C’\)
Ta có: \(AB’ \perp A’B, AD \perp A’B \Rightarrow A’B \perp (AB’D)\)
\(\Rightarrow A’B \perp DB’\). Mà \(A’B // D’C\)
\(\Rightarrow DB’ \perp D’C\)
Xét có: \(DB’ \perp AC, DB’ \perp D’C \Rightarrow DB’ \perp (D’AC)\)
\(DB’ \perp A’C’, DB’ \perp A’B \Rightarrow DB’ \perp (BC’A’)\)
\(b)\) Gọi \(O, O’\) lần lượt là giao điểm của \(AC\) với \(BD\), \(A’C’\) với \(B’D’\)
Trong mặt phẳng \((BDD’B’)\), nối \(BO’\) cắt \(B’D\) tại \(F\), \(OB’\) cắt \(B’D\) tại \(E\).
Do \((D’AC) // (BC’A’)\) nên \(d((D’AC), (BC’A’)) = d(E, (BC’A’)) = EF\) (do \(B’D \perp (BC’A’)\))
Do \(DB’ \perp (BC’A’)\) nên \(DB’ \perp BO’\)
\(DB’ \perp (D’AC)\) nên \(DB’ \perp OD’\)
Suy ra \(BO’ // OD’\)
Áp dụng định lí Talet ta có:
\(\displaystyle \frac{DE}{EF} = \displaystyle \frac{OD}{OB} = 1\)
\(\Rightarrow DE = EF\)
Tương tự ta cũng có \(\displaystyle \frac{B’F}{EF} = \displaystyle \frac{B’O’}{O’D’}\)
\(\Rightarrow B’F = EF\)
\(\Rightarrow EF = \displaystyle \frac{B’D}{3}\)
Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) có:
\(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = a\sqrt{2}\)
Xét tam giác \(BB’D\) vuông tại \(B\) ta có:
\(B’D = \sqrt{BB’^2 + BD^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = a\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow EF = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(d((D’AC), (BC’A’)) = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(\)
Bài \(7.26\). Giá đỡ ba chân ở Hình \(7.90\) đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng \(110 cm\). Tính chiều cao của giá đỡ, biết chân của giá đỡ dài \(129 cm\).
Trả lời:
Giá đỡ ba chân ở Hình \(7.90\) đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau nên hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy, chính là tâm của đáy và làm tâm của tam giác đều hay là trọng tâm của tam giác đáy.
Đáy là tam giác đều cạnh \(110 cm\) nên chiều cao của đáy có độ dài là:
\(\displaystyle \frac{110 \sqrt{3}}{2} = 55\sqrt{3}\) (cm)
Khi đó, khoảng cách từ mỗi gốc chân đến tâm là:
\(\displaystyle \frac{2}{3}. 55\sqrt{3} = \displaystyle \frac{110\sqrt{3}}{3}\) (cm)
Suy ra, chiều cao giá đỡ là:
\(\sqrt{129^2 \ – \ \left(\displaystyle \frac{110\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{\displaystyle \frac{37823}{3}} \approx 112,28\) (cm)
\(\)
Bài \(7.27\). Một bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang. Trong trường hợp này, độ sâu của bể là khoảng cách giữa mặt bể và đáy bể. Giải thích vì sao để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước.
Trả lời:
Bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang nên mặt nước nằm trong mặt phẳng song song với đáy. Vì vậy, độ sâu của bể chính là khoảng cách từ mặt nước đến đáy bể.
Khi thả quả dọi vào bể nước, nó sẽ chìm dưới mặt nước và chạm đến đáy bể. Khi kéo quả dọi lên, ta sẽ thấy một đoạn dây dọi nằm trong bể nước và một đoạn dây dọi ở ngoài bể nước. Đoạn dây dọi nằm trong bể nước có độ dài bằng khoảng cách từ mặt nước đến chỗ quả dọi chạm đáy bể. Do đó, để đo độ sâu của bể, ta chỉ cần đo độ dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước.
Khi đó công thức tính độ sâu của bể nước sẽ là:
Độ sâu bể = chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước.
Xem bài giải trước: Bài 25 – Hai mặt phẳng vuông góc
Xem bài giải tiếp theo: Bài 27 – Thể tích
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.