Bài 25. Nhị thức Newton

Bài \(25\). Nhị thức Newton trang \(72\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(8.12\). Khai triển các đa thức:
\(a)\) \((x \ – \ 3)^4\);
\(b)\) \((3x \ – \ 2y)^4\);
\(c)\) \((x + 5)^4 + (x \ – \ 5)^4\);
\(d)\) \((x \ – \ 2y)^5\).

Trả lời:

\(a)\) \((x \ – \ 3)^4 = x^4 + 4. x^3. (\ – \ 3) + 6. x^2. (\ – \ 3)^2\)

\( + 4. x. (\ – \ 3)^3 + (\ – \ 3)^4\)

\(= x^4 \ – \ 12x^3 + 54x^2 \ – \ 108x + 81\)

\(b)\) \((3x \ – \ 2y)^4 = (3x)^4 + 4. (3x)^3. (\ – \ 2y)\)

\( + 6. (3x)^2. (\ – \ 2y)^2 + 4. 3x. (\ – \ 2y)^3 + (\ – \ 2y)^4\)

\(= 81x^4 \ – \ 216x^3y + 216x^2y^2 \ – \ 96xy^3 + 16y^4\)

\(c)\) \((x + 5)^4 + (x \ – \ 5)^4\)

\(= (x^4 + 4x^3. 5 + 6x^2. 5^2 + 4x. 5^3 + 5^4)\)

\(+ (x^4 + 4x^3. (\ – \ 5) + 6x^2. (\ – \ 5)^2 + 4x. (\ – \ 5)^3 + (\ – \ 5)^4)\)

\(= (x^4 + x^4) + (20x^3 \ – \ 20x^3) + (150x^2 + 150x^2)\)

\(+ (500x \ – \ 500x) + (625 + 625)\)

\(= 2x^4 + 300x^2 + 1250\)

\(d)\) \((x \ – \ 2y)^5 = x^5 + 5x^4. (\ – \ 2y) + 10x^3. (\ – \ 2y)^2\)

\(+ 10x^2. (\ – \ 2y)^3 + 5x. (\ – \ 2y)^4 + (\ – \ 2y)^5\)

\(= x^5 \ – \ 10x^4y + 40x^3y^2 \ – \ 80x^2y^3 + 80xy^4 \ – \ 32y^5\)

\(\)

Bài \(8.13\). Tìm hệ số của \(x^4\) trong khai triển của \((3x \ – \ 1)^5\).

Trả lời:

Số hạng chứa \(x^4\) trong khai triển \((3x \ – \ 1)^5\) là: \(5. (3x)^4. (\ – \ 1) = \ – \ 405x^4\)

Vậy hệ số của \(x^4\) trong khai triển \((3x \ – \ 1)^5\) là \(\ – \ 405\)

\(\)

Bài \(8.14\). Biểu diễn \((3 + \sqrt{2})^5 \ – \ (3 \ – \ \sqrt{2})^5\) dưới dạng \(a + b\sqrt{2}\) với \(a, b\) là các số nguyên.

Trả lời:

Ta có:

\((3 + \sqrt{2})^5 = 3^5 + 5. 3^4. \sqrt{2} + 10. 3^3. (\sqrt{2})^2\)

\(+ 10. 3^2. (\sqrt{2})^3 + 5. 3. (\sqrt{2})^4 + (\sqrt{2})^5\)

\(= 3^5 + 5. 3^4. \sqrt{2} + 10. 3^3. 2 + 10. 3^2. 2\sqrt{2}\)

\(+ 5. 3. 4 + 4\sqrt{2}\)

\((3 \ – \ \sqrt{2})^5 = 3^5 + 5. 3^4. (\ – \ \sqrt{2}) + 10. 3^3. (\ – \ \sqrt{2})^2\)

\(+ 10. 3^2. (\ – \ \sqrt{2})^3 + 5. 3. (\ – \ \sqrt{2})^4 + (\ – \ \sqrt{2})^5\)

\(= 3^5 \ – \ 5.3^4. \sqrt{2} + 10.3^3. 2 \ – \ 10. 3^2. 2\sqrt{2} + 5.3. 4 \ – \ 4\sqrt{2}\)

Suy ra:

\((3 + \sqrt{2})^5 \ – \ (3 \ – \ \sqrt{2})^5\)

\( = 2. (5. 3^4. \sqrt{2} + 10. 3^2. 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2})\)

\(= 2. 589\sqrt{2} = 1178\sqrt{2} = 0 + 1178\sqrt{2}\)

Vậy biểu diễn \((3 + \sqrt{2})^5 \ – \ (3 \ – \ \sqrt{2})^5\) dưới dạng \(a + b\sqrt{2}\) với \(a, b\) là các số nguyên ta được: \(0 + 1178\sqrt{2}\)

\(\)

Bài \(8.15\). \(a)\) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của \((1 + 0,02)^5\) để tính giá trị gần đúng của \(1,02^5\).
\(b)\) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của \(1,02^5\) và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu \(a\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \((1 + 0,02)^5 = 1^5 + 5. 1^4. 0,02 + 10. 1^3. 0,02^2\)

\( + 10. 1^2. 0,02^3 + 5. 1. 0,02^4 + 0,02^5\)

Suy ra: \(1,02^5 = (1 + 0,02)^5 \approx 1^5 + 5. 1^4. 0,02 = 1,1\)

\(b)\) Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được \(1,02^5 \approx 1,104080803\)

Suy ra sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng là:

\(\Delta = |1,104080803 \ – \ 1,1| = 0,004080803 < 0,005\)

Vậy sai số tuyệt đối là \(0,005\)

\(\)

Bài \(8.16\). Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng \(800\) nghìn người. Giả sử rằng, tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r %.
\(a)\) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau \(1\) năm, sau \(2\) năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau \(5\) năm nữa là \(P = 800 \left(1 + \displaystyle \frac{r}{100} \right)^5\) (nghìn người).
\(b)\) Với \(r = 1,5 %\), dùng hai số hạng đầu trong khai triển của \((1 + 0,015)^5\), hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau \(5\) năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

Trả lời:

\(a)\) Số dân của tỉnh đó sau \(1\) năm là:

\(P_1 = 800 + 800. r% = 800. (1 + r%)\)

\(= 800. (1 + \displaystyle \frac{r}{100})\) (nghìn người)

Số dân của tỉnh đó sau \(2\) năm là:

\(P_2 = P_1 + P_1. r% = P_1. (1 + r%)\)

\( = 800. (1 + \displaystyle \frac{r}{100}). (1 + \displaystyle \frac{r}{100}) = 800.(1 + \displaystyle \frac{r}{100})^2\) (nghìn người)

Suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau \(5\) năm nữa là:

\(P_5 = 800. (1 + \displaystyle \frac{r}{100})^5\) (nghìn người)

\(b)\) Với \(r = 1,5\) ta có: \(\displaystyle \frac{r}{100} = \displaystyle \frac{1,5}{100} = 0,015\)

Suy ra khai triển:

\((1 + 0,015)^5 = 1^5 + 5. 1^4. 0,015 + 10. 1^3. 0,015^2\)