Bài 25: Đa thức một biến

Chương 7 – Bài 25: Đa thức một biến trang 24 sách bài tập toán lớp 7 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

7.7. Trong các biểu thức sau đây, biểu thức nào là đa thức một biến?

a) \(\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{3}}-\sqrt{3};\)

b) \(\sqrt{2x};\)

c) \((1-\sqrt{2})x^3+2;\)

d) \(x+\displaystyle\frac{1}{x}.\)

Giải

a) \(\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\) là đa thức một biến.

b) \(\sqrt{2x}\) không là đa thức một biến.

c) \((1-\sqrt{2})x^3+2\) là đa thức một biến.

d) \(x+\displaystyle\frac{1}{x}\) không là đa thức một biến.

\(\)

7.8. Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức sau đây theo lũy thừa giảm của biến rồi tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đó.

a) \(F(x) =-2 + 4x^5-2x^3-4x^5 + 3x +3;\)

b) \(G(x) =-5x^3 + 4-3x + 4x^3 + x^2 + 6x-3.\)

Giải

a) \(F(x) =-2 + 4x^5-2x^3-4x^5 + 3x +3\)

\(= (4x^5-4x^5)-2x^3 + 3x + (-2 + 3)\)

\(=-2x^3 + 3x + 1.\)

Kết quả ta được đa thức \(F(x) =-2x^3 + 3x + 1.\)

Hạng tử có bậc cao nhất là \(-2x^3,\) bậc 3, nên F(x) là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là -2 và hệ số tự do là 1.

b) \(G(x) =-5x^3 + 4-3x + 4x^3 + x^2 + 6x-3\)

\(= (-5x^3 + 4x^3) + x^2 + (-3x + 6x) + (4-3)\)

\(=-x^3 + x^2 + 3x + 1.\)

Kết quả ta được đa thức \(G(x) =-x^3 + x^2 + 3x + 1.\)

Hạng tử có bậc cao nhất là \(-x^3,\) bậc 3, nên G(x) là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là -1 và hệ số tự do là 1.

\(\)

7.9. Bằng cách tính giá trị của đa thức \(F(x) = x^3 + 2x^2 + x\) tại các giá trị của x thuộc tập hợp {\(-2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 0\)}, hãy tìm hai nghiệm của đa thức F(x).

Giải

\(F(-2) = (-2)^3 + 2 . (-2)^2-2\) \(=-8 + 2.4-2\) \(=-8 + 8-2 =-2.\)

\(F(-1) = (-1)^3 + 2 . (-1)^2-1 =-1 + 2.1-1\) \(=-1 + 2-1 = 0.\)

\(F(0) = 0^3 + 2 . 0^2-0 = 0.\)

\(F(2) = (2)^3 + 2 . 2^2 + 2\) \(= 8 + 2.4 + 2\) \(= 8 + 8 + 2 = 18.\)

Vậy hai nghiệm của đa thức F(x) là \(x =-1\) và \(x = 0.\)

\(\)

7.10. Tìm đa thức P(x) bậc 3 thỏa mãn các điều kiện sau:

• P(x) khuyết hạng tử bậc hai

• Hệ số cao nhất là 4

• Hệ số tự do là 0

• x = \(\displaystyle\frac{1}{2}\) là một nghiệm của P(x)

Giải

Đa thức P(x) bậc 3 có dạng \(P(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d.\)

P(x) bậc 3 khuyết hạng tử bậc 2: \(P(x) = ax^3+cx+d.\)

Hệ số cao nhất là 4 nên a = 4.

Hệ số tự do là 0 nên d = 0.

Khi đó \(P(x)=4x^3+cx.\)

x = \(\displaystyle\frac{1}{2}\) là một nghiệm của P(x) nên

\(P\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=4.\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3-c.\displaystyle\frac{1}{2}=0\)

\(4.\displaystyle\frac{1}{8}-c.\displaystyle\frac{1}{2}=0\)

\(\displaystyle\frac{1}{2}-c.\displaystyle\frac{1}{2}=0\)

\(c=-1.\)

Vậy \(P(x)=4x^3-x.\)

\(\)

7.11. Cho hai đa thức \(A(x)=-x^4+2,5x^3+3x^2-4x\) và \(B(x)=x^4+\sqrt{2}.\)

a) Chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm của đa thức A(x) nhưng không là nghiệm của đa thức B(x).

b) Chứng tỏ rằng đa thức B(x) không có nghiệm.

Giải

a) Thay x = 0 vào đa thức A(x), ta được:

\(A(0) =-0^4 + 2,5.0^3 + 3.0^2-4.0 = 0\)

Vậy \(x = 0\) là nghiệm của đa thức A(x).

Thay x = 0 vào đa thức B(x) ta được:

\(B(0) = 0^4 + \sqrt{2} = \sqrt{2} ≠ 0\)

Vậy \(x = 0\) không là nghiệm của đa thức B(x).

b) Ta biết bằng \(x^4 ≥ 0\) với mọi giá trị của x.

Do đó \(B(x) = x^4 + \sqrt{2} ≥ \sqrt{2} > 0\) với mọi giá trị của x.

Vậy B(x) không có nghiệm.

\(\)

7.12. Biết rằng hai đa thức \(G(x) = x^2-3x + 2\) và \(H(x) = x^2 + x-6\) có một nghiệm chung. Hãy tìm nghiệm chung đó.

Giải

Giả sử a là nghiệm chung của cả hai đa thức, ta có: G(a) = H(a) = 0. Từ đó suy ra:

\((a^2-3a + 2)-(a^2 + a-6)=G(a)-H(a)=0.\)

Thu gọn vế trái ta được:

\(a^2-3a + 2-a^2-a + 6\) \(= (a^2-a^2) + (-3a-a) + (2 + 6)\) \(=-4a + 8 = 0.\)

Suy ra \(a = 2.\)

Thử lại bằng cách tính G(2) và H(2), ta thấy \(x = 2\) đúng là nghiệm của cả hai đa thức G(x) và H(x).

\(\)

7.13. Người ta định dùng những viên gạch với kích thước như nhau để xây một bức tường (có dạng hình hộp chữ nhật) dày 20 cm, dài 6 m và cao x (m). Số gạch đã có là 450 viên.

a) Tìm đa thức (biến x) biểu thị số gạch cần mua thêm để xây tường, biết rằng cứ xây mỗi mét khối tường thì cần 542 viên gạch. Xác định bậc và hệ số tự do của đa thức đó.

b) Nếu chỉ dùng số gạch sẵn có thì xây được bức tường cao khoảng bao nhiêu mét? (tính chính xác đến 0,1 m).

Giải

a) Đổi 20 cm = 0,2 m

Bức tường có dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước là 0,2 m; 6 m và x (m).

Thể tích của nó là: \(0,2\ .\ 6\ .\ x = 1,2x\ (m^3).\)

Mỗi mét khối tường xây hết 542 viên gạch nên số gạch cần dùng để xây bức tường là: \(542\ .\ 1,2x = 650,4x\) (viên).

Số gạch đã có là 450 viên.

Vậy số gạch cần mua thêm là: \(F(x) = 650,4x-450.\)

b) Nếu chỉ dùng số gạch sẵn có để xây tường thì số gạch mua thêm là 0, tức là: \(650,4x-450 = 0.\)

Từ đó ta tính được: \(x = 450 : 650,4 ≈ 0,7\ (m).\)

Vậy nếu chỉ dùng số gạch có sẵn thì xây được bức tường cao khoảng 0,7 m.

\(\)

7.14. Tìm các hệ số p và q của đa thức \(F(x) = x^2 + px + q,\) biết rằng với số a tùy ý, giá trị của F(x) tại \(x = a,\) tức là F(a) luôn bằng \((a + 2)^2.\)

Giải

Theo bài ra, với a là số tuỳ ý ta luôn có:

\(a^2+pa+q=(a+2)^2\)

Chọn \(a = 0\) thì \(0^2+p.0+q=(0+2)^2\)

\(⇒q=2^2⇒q=4.\)

Chọn \(a = 1\) thì \(1^2+p.1+4=(1+2)^2\)

\(⇒1 + p + 4 = 3^2\)

\(⇒p = 9-1-4 = 4\)

Vậy \(q = 4\) và \(p = 4.\)

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 24: Biểu thức đại số

Xem bài giải tiếp theo: Bài Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến