Bài \(24\). Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp trang \(66\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
Bài \(8.6\). Một họa sĩ cần trưng bày \(10\) bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh?
Trả lời:
Mỗi cách sắp xếp \(10\) bức tranh thành \(1\) hàng ngang là hoán vị của \(10\) phần tử.
Vậy số cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh là:
\(P_{10} = 10 ! = 3628800\) (cách)
\(\)
Bài \(8.7\). Từ các chữ số \(0, 1, 2, 3, 4\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?
Trả lời:
Việc lập số tự nhiên có ba chữ số khác nhau ta thực hiện qua ba giai đoạn sau:
Chọn chữ số hàng trăm, ta có \(4\) cách chọn (khác \(0\))
Ứng với mỗi chữ số hàng trăm, ta có \(4\) cách chọn chữ số hàng chục.
Ứng với mỗi chữ số hàng trăm và hàng chục đã chọn, ta có \(3\) cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Vậy ta có thể lập được tất cả \(4. 4. 3 = 48\) số tự nhiên có ba chữ số khác nhau từ \(5\) chữ số đã cho.
\(\)
Bài \(8.8\). Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn \(100\)? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn \(100\)?
Trả lời:
Có tất cả \(99\) số nguyên dương nhỏ hơn \(100\).
Mỗi cách chọn hai số nguyên dương nhỏ hơn \(100\) là tổ hợp chập \(2\) của \(99\) phần tử, nên ta có số cách chọn là:
\(C_{99}^2 = 4851\) (cách)
Mỗi cách chọn ba số nguyên dương nhỏ hơn \(100\) là tổ hợp chập \(3\) của \(99\) phần tử, nên ta có số cách chọn là:
\(C_{99}^3 = 156849\) (cách)
\(\)
Bài \(8.9\). Bạn Hà có \(5\) viên bi xanh và \(7\) viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để bạn Hà chọn ra đúng \(2\) viên bi khác màu?
Trả lời:
Để chọn ra đúng \(2\) viên bi khác màu tức là bạn Hà chọn ra \(1\) viên bi xanh và \(1\) viên bi đỏ.
Số cách chọn \(1\) viên bi xanh là:
\(C_5^1 = 5\) (cách)
Số cách chọn \(1\) viên bi đỏ là:
\(C_7^1 = 7\) (cách)
Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách để bạn Hà chọn được \(2\) viên bi khác màu là:
\(5. 7 = 35\) (cách)
\(\)
Bài \(8.10\). Một câu lạc bộ cờ vua có \(10\) bạn nam và \(7\) bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn \(4\) bạn đi thi đấu cờ vua.
\(a)\) Có bao nhiêu cách chọn \(4\) bạn nam?
\(b)\) Có bao nhiêu cách chọn \(4\) bạn không phân biệt nam, nữ?
\(c)\) Có bao nhiêu cách chọn \(4\) bạn, trong đó có \(2\) bạn nam và \(2\) bạn nữ?
Trả lời:
\(a)\) Mỗi cách chọn \(4\) bạn nam trong \(10\) bạn nam là một tổ hợp chập \(4\) của \(10\) phần tử.
Vậy số cách chọn ra \(4\) bạn nam là:
\(C_{10}^4 = 210\) (cách)
\(b)\) Tổng số bạn của câu lạc bộ cờ vua đó là:
\(10 + 7 = 17\) (bạn)
Mỗi cách chọn \(4\) bạn không phân biệt nam, nữ là một tổ hợp chập \(4\) của \(17\) phần tử.
Vậy số cách chọn \(4\) bạn không phân biệt nam, nữ là:
\(C_{17}^4 = 2380\) (cách)
\(c)\) Việc chọn \(4\) bạn, trong đó có \(2\) bạn nam và \(2\) bạn nữ là việc thực hiện liên tiếp \(2\) công đoạn sau:
Chọn \(2\) bạn nam trong \(10\) bạn nam, có tất cả \(C_{10}^2 = 45\) cách
Chọn \(2\) bạn nữ trong \(7\) bạn nữ, có tất cả \(C_7^2 = 21\) cách
Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách chọn \(4\) bạn trong đó có \(2\) bạn nam và \(2\) bạn nữ là:
\(45. 21 = 945\) (cách)
\(\)
Bài \(8.11\). Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho \(5\) mà mỗi số có có bốn chữ số khác nhau?
Trả lời:
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là \(\overline{abcd}\)
Số tự nhiên chia hết cho \(5\) nên ta có: \(d = 0\) hoặc \(d = 5\)
\(+)\) Với \(d = 0\)
Với mỗi cách chọn và sắp xếp \(3\) chữ số trong \(9\) chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(9\).
Ta có số cách chọn \(3\) chữ số còn lại là:
\(A_9^3 = 504\) (cách)
\(+)\) Với \(d = 5\)
Số cách chọn chữ số \(a\) là \(8\) (do \(a \neq 0\))
Số cách chọn và sắp xếp \(2\) chữ số trong \(8\) chữ số còn lại là:
\(A_8^2 = 56\) (cách)
Ta có số cách chọn \(3\) chữ số còn lại là:
\(8. 56 = 448\) (cách)
Vậy có tất cả: \(504 + 448 = 952\) số tự nhiên chia hết cho \(5\) mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau.
Bài 24. Hoán vị chỉnh hợp Bài 24. Hoán vị chỉnh hợp Bài 24. Hoán vị chỉnh hợp
Xem bài giải trước: Bài 23 – Quy tắc đếm
Xem bài giải tiếp theo: Bài 25 – Nhị thức Newton
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.