Chương 6 – Bài 22. Tính chất cơ bản của phân thức đại số trang 11 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
6.7. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng.
a) \(\displaystyle\frac{(x-2)^3}{x^2-2x}=\displaystyle\frac{(x-2)^2}{x};\)
b) \(\displaystyle\frac{1-x}{-5x+1}=\displaystyle\frac{x-1}{5x-1}.\)
Giải
a) Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\displaystyle\frac{(x-2)^2}{x}\) với \(x-2\) ta có:
\(\displaystyle\frac{(x-2)^2}{x}= \displaystyle\frac{(x-2)^2(x-2)}{x(x-2)}\)
\(=\displaystyle\frac{x^3-6x^2+12x-8}{x(x-2)}=\displaystyle\frac{(x-2)^3}{x^2-2x}.\)
b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\displaystyle\frac{1-x}{-5x+1}\) với \(-1,\) ta có: \(\displaystyle\frac{1-x}{-5x+1}=\displaystyle\frac{x-1}{5x-1}.\)
\(\)
6.8. Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu “?”.
\(\displaystyle\frac{y-x}{4-x}=\displaystyle\frac{?}{x-4}.\)
Giải
Ta có: \(\displaystyle\frac{y-x}{4-x} = \displaystyle\frac{(y-x).(-1)}{(4-x).(-1)} = \displaystyle\frac{x-y}{x-4}\)
Vậy \(? = x-y.\)
\(\)
6.9. Rút gọn các phân thức sau:
a) \(\displaystyle\frac{5x+10}{25x^2+50};\)
b) \(\displaystyle\frac{45x(3-x)}{15x(x-3)^3};\)
c) \(\displaystyle\frac{(x^2-1)^2}{(x+1)(x^3+1)}.\)
Giải
a) \(\displaystyle\frac{5x + 10}{25x^2 + 50} = \displaystyle\frac{5(x + 2)}{25(x^2 + 2)} = \displaystyle\frac{x + 2}{5(x^2 + 2)}.\)
b) \(\displaystyle\frac{45x(3-x)}{15x(x-3)^2} = \displaystyle\frac{3(3-x)}{(x-3)^2}.\)
c) \(\displaystyle\frac{(x^2-1)^2}{(x + 1)(x^3 + 1)}\)
\(= \displaystyle\frac{(x^2-1)(x^2-1)}{(x + 1)(x + 1)(x^2-x + 1)}\)
\(= \displaystyle\frac{(x + 1)(x-1)(x + 1)(x-1)}{(x + 1)(x + 1)(x^2-x + 1)}\)
\(= \displaystyle\frac{(x-1)^2}{x^2-x + 1}.\)
\(\)
6.10. Cho phân thức \(P=\displaystyle\frac{x+1}{x^2-1}.\)
a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu Q là phân thức nhận được.
b) Tính giá trị của P và Q tại x = 11. So sánh hai kết quả đó.
Giải
a) Ta có: \(P = \displaystyle\frac{x + 1}{x^2-1} = \displaystyle\frac{x + 1}{(x-1)(x + 1)} = \displaystyle\frac{1}{x-1}.\)
Suy ra \(Q = \displaystyle\frac{1}{x-1}.\)
b) Thay \(x = 11\) vào P, ta có: \(P = \displaystyle\frac{11 + 1}{11^2-1} = \displaystyle\frac{1}{10}.\)
Thay \(x = 11\) vào Q, ta có: \(Q = \displaystyle\frac{1}{11-1} = \displaystyle\frac{1}{10}.\)
Hai kết quả \(P = Q\) tại \(x = 11.\)
\(\)
6.11. Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:
\(\displaystyle\frac{5x}{x+1}\) và \(\displaystyle\frac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)}.\)
Giải
Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\displaystyle\frac{5x}{x+1}\) với \(1-x,\) ta có:
\(\displaystyle\frac{5x(1-x)}{(1-x)(x+1)}=\displaystyle\frac{-5x(x-1)}{(1-x)(x+1)}.\)
Vậy \(a=-5.\)
\(\)
6.12. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) \(\displaystyle\frac{1}{x^3-8}\) và \(\displaystyle\frac{3}{4-2x};\)
b) \(\displaystyle\frac{x}{x^2-1}\) và \(\displaystyle\frac{1}{x^2+2x+1}.\)
Giải
a) Ta có: \(x^3-8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4);\)
\(4-2x = 2(2-x) = -2(x-2).\)
Mẫu thức chung là \(-2(x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Nhân tử phụ của \(x^3-8\) là \(-2.\)
Nhân tử phụ của \(4-2x\) là \(x^2 + 2x + 4.\)
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
\(\displaystyle\frac{1}{x^3-8} = \displaystyle\frac{-2}{-2(x^3-8)};\)
\(\displaystyle\frac{3}{4-2x} = \displaystyle\frac{3(x^2 + 2x + 4)}{(4-2x)(x^2 + 2x + 4 )}\) \(= \displaystyle\frac{3(x^2 + 2x + 4)}{-2(x^3-8)}.\)
b) Ta có: \(x^2-1 = (x-1)(x + 1);\)
\(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.\)
Mẫu thức chung là \({(x + 1)^2}(x-1).\)
Nhân tử phụ của \(\displaystyle\frac{x}{x^2-1}\) là: \(x + 1.\)
Nhân tử phụ của \(\displaystyle\frac{1}{x^2 + 2x + 1}\) là \(x-1.\)
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
\(\displaystyle\frac{x}{x^2-1} = \displaystyle\frac{x(x + 1)}{(x + 1)^2(x-1)};\)
\(\displaystyle\frac{1}{x^2 + 2x + 1} = \displaystyle\frac{x-1}{(x + 1)^2(x-1)}.\)
\(\)
6.13. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) \(\displaystyle\frac{1}{x+2};\ \displaystyle\frac{x+1}{x^2-4x-4}\) và \(\displaystyle\frac{5}{2-x}.\)
b) \(\displaystyle\frac{1}{3x+3y};\ \displaystyle\frac{2x}{x^2-y^2}\) và \(\displaystyle\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}.\)
Giải
a) Ta có: \(\displaystyle\frac{5}{2-x} = \displaystyle\frac{-5}{x-2};\)
\(x^2-4x + 4 =(x-2)^2.\)
\(MTC = (x + 2)(x-2)^2.\)
Nhân tử phụ của \(x+2\) là \((x-2)^2.\)
Nhân tử phụ của\(x^2-4x + 4\) là \((x-2)^2.\)
Nhân tử phụ của \(x-2\) là \((x+2)(x-2).\)
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
\(\displaystyle\frac{1}{x + 2} = \displaystyle\frac{(x-2)^2}{(x + 2)(x-2)^2};\)
\(\displaystyle\frac{x + 1}{x^2-4x-4} = \displaystyle\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 2){(x-2)}^2};\)
\(\displaystyle\frac{5}{2-x} = \displaystyle\frac{-5(x + 2)(x-2)}{(x + 2)(x-2)^2}.\)
b) Ta có: \(3x+3y=3(x+y);\)
\(x^2-y^2 = (x-y)(x + y);\)
\(x^2 + 2xy +y^2 =(x-y)^2.\)
\(MTC = 3(x + y){(x-y)^2}\)
Nhân tử phụ của \(3x+3y\) là: \((x-y)^2.\)
Nhân tử phụ của \(x^2-y^2\) là: \(3(x-y).\)
Nhân tử phụ của \(x^2 + 2xy +y^2\) là: \(3(x+y).\)
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
\(\displaystyle\frac{1}{3x + 3y} = \displaystyle\frac{(x-y)^2}{3(x + y)(x-y)^2};\)
\(\displaystyle\frac{2x}{x^2-y^2} = \displaystyle\frac{6x(x-y)}{3(x + y)(x-y)^2};\)
\(\displaystyle\frac{x^2-xy +y^2}{x^2-2xy +y^2} = \displaystyle\frac{3(x^2-xy +y^2)(x + y)}{3(x + y)(x-y)^2}.\)
\(\)
6.14. Cho hai phân thức: \(\displaystyle\frac{9x^2+3x+1}{27x^3-1}\) và \(\displaystyle\frac{x^2-4x}{16-x^2}.\)
a) Rút gọn hai phân thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a.
Giải
a) Ta có \(\displaystyle\frac{9x^2+3x+1}{27x^{3}-1}\) \(=\displaystyle\frac{9x^2+3x+1}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}\) \(=\displaystyle\frac{1}{3x-1};\)
\(\displaystyle\frac{x^2-4x}{16-x^2}=\displaystyle\frac{x(x-4)}{(4-x)(4+x)}\) \(=\displaystyle\frac{-x(4-x)}{(4-x)(4+x)}=\displaystyle\frac{-x}{4+x}.\)
b) Mẫu thức chung của hai phân thức nhân được ở câu a là \((3x-1)(4+x).\)
Nhân tử phụ của \(\displaystyle\frac{1}{3x-1}\) là \(4+x.\)
Nhân tử phụ của \(\displaystyle\frac{-x}{4+x}\) là \(3x-1.\)
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
\(\displaystyle\frac{1}{3x-1}=\displaystyle\frac{4+x}{(3x-1)(4+x)};\)
\(\displaystyle\frac{-x}{4+x}=\displaystyle\frac{-x(3x-1)}{(4+x)(3x-1)}.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 21. Phân thức đại số
Xem bài giải tiếp theo: Luyện tập chung
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải bài tập SGK Toán Lớp 8 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
