Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài \(21\). Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit trang \(20\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(6.20\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(3^{x \ – \ 1} = 27\);
\(b)\) \(100^{2x^2 \ – \ 3} = 0,1^{2x^2 \ – \ 18}\);
\(c)\) \(\sqrt{3} {e^{3x}} = 1\);
\(d)\) \(5^x =3^{2x \ – \ 1}\).

Trả lời:

\(a)\) \(3^{x \ – \ 1} = 27\)

\(\Leftrightarrow 3^{x \ – \ 1} = 3^3\)

\(\Leftrightarrow x \ – \ 1 = 3\)

\(\Leftrightarrow x = 4\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4\).

\(b)\) \(100^{2x^2 \ – \ 3} = 0,1^{2x^2 \ – \ 18}\)

\(\Leftrightarrow 10^{4x^2 \ – \ 6} = 10^{\ – \ 2x^2 + 18}\)

\(\Leftrightarrow 4x^2 \ – \ 6 = \ – \ 2x^2 + 18\)

\(\Leftrightarrow 6x^2 = 24\)

\(\Leftrightarrow x^2 = 4\)

\(\Leftrightarrow x = \pm 2\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \{\ – \ 2; 2\}\).

\(c)\) \(\sqrt{3} e^{3x} = 1\)

\(\Leftrightarrow e^{3x} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\Leftrightarrow 3x = \ln \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{1}{3} \ln \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{1}{3} \ln \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\).

\(d)\) \(5^x = 3^{2x \ – \ 1}\)

\(\Rightarrow \log_{3} 5^x = \log_{3} 3^{2x \ – \ 1}\)

\(\Rightarrow x \log_{3} 5 = 2x \ – \ 1\)

\(\Rightarrow x = \displaystyle \frac{1}{2 \ – \ \log_{3} 5}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \displaystyle \frac{1}{2 \ – \ \log_{3} 5}\)

\(\)

Bài \(6.21\). Giải các phương trình sau:
\(a)\) \(\log_{x + 1} = 2\);
\(b)\) \(2\log_{4} x + \log_{2} (x \ – \ 3) = 2\);
\(c)\) \(\ln x + \ln (x \ – \ 1) = \ln 4x\);
\(d)\) \(\log_{3} (x^2 \ – \ 3x + 2) = \log_{3} (2x \ – \ 4)\).

Trả lời:

\(a)\) \(\log_{x + 1} = 2\)

Điều kiện \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > \ – \ 1\)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(x + 1 = 10^2\)

\(\Leftrightarrow x = 99\) (thoả mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 99\).

\(b)\) \(2\log_{4} x + \log_{2} (x \ – \ 3) = 2\)

Điều kiện: \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x > 0 \\x \ – \ 3 . 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow x > 3\)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(2 \log_{2^2} x + \log_{2} (x \ – \ 3) = 2\)

\(\Leftrightarrow \log_{2} x + \log_{2} (x \ – \ 3) = 2\)

\(\Leftrightarrow \log_{2} x. (x \ – \ 3) = 2\)

\(\Leftrightarrow x(x \ – \ 3) = 2^2\)

\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ 3x \ – \ 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = \ – \ 1 (\text{ Loại })\\x = 4 (\text{ thoả mãn }) \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 4\).

\(c)\) \(\ln x + \ln (x \ – \ 1) = \ln 4x\)

Điều kiện \(x > 1\)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\ln [x (x \ – \ 1)] = \ln 4x\)

\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ x = 4x\)

\(\Leftrightarrow x^2 \ – \ 5x = 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x = 0 (\text{ Loại })\\x = 5 (\text{ thoả mãn }) \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 5\)

\(d)\) \(\log_{3} (x^2 \ – \ 3x + 2) = \log_{3} (2x \ – \ 4)\)

\(\)

Bài \(6.22\). Giải các bất phương trình sau:
\(a)\) \(0,1^{2 \ – \ x} > 0,1^{4 + 2x}\);
\(b)\) \(2. 5^{2x + 1} \leq 3\);
\(c)\) \(\log_{3} (x + 7) \geq \ – \ 1\);
\(d)\) \(\log_{0,5} (x + 7) \geq \log_{0,5} (2x \ – \ 1)\).

Trả lời:

\(a)\) \(0,1^{2 \ – \ x} > 0,1^{4 + 2x}\)

\(\Leftrightarrow 2 \ – \ x < 4 + 2x\)

\(\Leftrightarrow 3x > \ – \ 2\)

\(\Leftrightarrow x > \ – \ \displaystyle \frac{2}{3}\)

\(b)\) \(2. 5^{2x + 1} \leq 3\)

\(\Leftrightarrow 5^{2x + 1} \leq \displaystyle \frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2x + 1 \leq \log_{5} \displaystyle \frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2x \leq \log_{5} \displaystyle \frac{3}{2} \ – \ 1\)

\(\Leftrightarrow x \leq \displaystyle \frac{1}{2}. (\log _{5} \displaystyle \frac{3}{2} \ – \ 1)\)

\(\Leftrightarrow x \leq \displaystyle \frac{1}{2} \log_{5} \displaystyle \frac{3}{10}\)

\(\Leftrightarrow x \leq \log_{5} \displaystyle \frac{\sqrt{30}}{10}\)

\(c)\) \(\log_{3} (x + 7) \geq \ – \ 1\)

Điều kiện \(x > \ – \ 7\)

Bất phương trình đã cho tương đương với:

\(x + 7 \geq 3^{\ – \ 1}\)

\(\Leftrightarrow x > \ – \ \displaystyle \frac{20}{3}\)

Kết hợp với điều kiện ta có \(x > \ – \ \displaystyle \frac{20}{3}\)

\(d)\) \(\log_{0,5} (x + 7) \geq \log_{0,5} (2x \ – \ 1)\)

Điều kiện \(x > \displaystyle \frac{1}{2}\)

Bất phương trình đã cho tương đương với:

\(x + 7 \leq 2x \ – \ 1\)

\(\Leftrightarrow x \geq 8\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(x \geq 8\)

\(\)

Bài \(6.23\). Bác Minh gửi tiết kiệm \(500\) triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi \(7,5 \%\) một năm theo thể thức lãi kép kì hạn \(12\) tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi sau \(n\) năm) là:
\(A = 500. (1 + 0,075)^n\) (triệu đồng)
Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất \(800\) triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).

Trả lời:

Để bác Minh thu được ít nhất \(800\) triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) thì:

\(A = 500. (1 + 0,075)^n \geq 800\)

\(\Leftrightarrow 1,075^n \geq 1,6\)

\(\Leftrightarrow n \geq \log_{1,075} 1,6 \approx 6,5\)

Vậy bác Minh cần tối thiểu \(7\) năm để thu được ít nhất \(800\) triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).

\(\)

Bài \(6.24\). Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là \(500\) con. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy đó, đếm số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là \(40 \%\) mỗi giờ. Khi đó số lượng vi khuẩn \(N(t)\) sau \(t\) giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức sau:
\(N(t) = 500. e^{0,4t}\).
Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức \(80000\) con.

Trả lời:

Số lượng vi khuẩn vượt mức \(80000\) con tương ứng với:

\(N(t) = 500. e^{0,4t} > 80000\)

\(\Leftrightarrow e^{0,4t} > 160\)

\(\Leftrightarrow 0,4t > \ln 160\)

\(\Leftrightarrow t > 12,688\) (giờ)

Vậy sau \(13\) giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức \(80000\) con.

\(\)

Bài \(6.25\). Giả sử nhiệt độ \(T (^oC)\) của một vật giảm dần theo thời gian cho bởi công thức:
\(T = 25 + 70e^{\ – \ 0,5t}\), trong đó thời gian \(t\) tính bằng phút.
\(a)\) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.
\(b)\) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại \(30^oC\).

Trả lời:

\(a)\) Nhiệt độ ban đầu của vật tương ứng thời điểm \(t = 0\), ta có:

\(T(0) = 25 + 70. e^{\ – \ 0,5. 0} = 95 (^oC)\)

\(b)\) Nhiệt độ của vật còn lại \(30^oC\) nên ta có:

\(T = 25 + 70. e^{\ – \ 0,5t} = 30\)

\(\Leftrightarrow e^{\ – \ 0,5t} = \displaystyle \frac{1}{14}\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 0,5t = \ln \displaystyle \frac{1}{14}\)

\(\Leftrightarrow t \approx 5,278\)

Vậy sau khoảng \(6\) phút, nhiệt độ của vật còn lại \(30^oC\)

\(\)

Bài \(6.26\). Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng mol/lít) của một dung dịch có độ \(pH\) là \(8\).

Trả lời: