Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài \(21\). Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ trang \(43\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(7.13\). Tìm tâm và bán kính của đường tròn
\((x + 3)^2 + (y \ – \ 3)^2 = 36\).

Trả lời:

Phương trình đường tròn đã cho có dạng:

\((x \ – \ (\ – \ 3))^2 + (y \ – \ 3)^2 = 6^2\)

Do đó, đường tròn đã cho có tâm \(I(\ – \ 3; 3)\) và bán kính \(R = 6\).

\(\)

Bài \(7.14\). Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
\(a)\) \(x^2 + y^2 + xy + 4x \ – \ 2 = 0\);
\(b)\) \(x^2 + y^2 \ – \ 2x \ – \ 4y + 5 = 0\);
\(c)\) \(x^2 + y^2 + 6x \ – \ 8y + 1 = 0\).

Trả lời:

\(a)\) Phương trình \(x^2 + y^2 + xy + 4x \ – \ 2 = 0\) không có dạng \(x^2 + y^2 \ – \ 2ax \ – \ 2by + c = 0\) với \(a, b, c\) là các số thực nên phương trình đã cho không phải phương trình đường tròn.

\(b)\) Ta có:

\(x^2 + y^2 \ – \ 2x \ – \ 4y + 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow x^2 + y^2 \ – \ 2. 1. x \ – \ 2. 2. y + 5 = 0\) với \(a = 1, b = 2, c = 5\)

Lại có: \(a^2 + b^2 \ – \ c = 1^2 + 2^2 \ – \ 5 = 0\)

Do đó phương trình đã cho không phải phương trình đường tròn.

\(c)\) \(x^2 + y^2 + 6x \ – \ 8y + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow x^2 + y^2 \ – \ 2. \ – \ 3. x \ – \ 2. 4. y + 1 = 0\) với các hệ số \(a = \ – \ 3, b = 4, c = 1\)

Ta có: \(a^2 + b^2 \ – \ c = (\ – \ 3)^2 + 4^2 \ – \ 1 = 24 > 0\) nên phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

Đường tròn có tâm \(I(\ – \ 3; 4)\) và có bán kính \(R = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}\)

\(\)

Bài \(7.15\). Viết phương trình đường tròn \((C)\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) Có tâm \(I(\ – \ 2; 5)\) và có bán kính \(R = 7\);
\(b)\) Có tâm \(I(1; \ – \ 2)\) và đi qua điểm \(A(\ – \ 2; 2)\);
\(c)\) Có đường kính \(AB\), với \(A(\ – \ 1; \ – \ 3), B(\ – \ 3; 5)\);
\(d)\) Có tâm \(I(1; 3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\).

Trả lời:

\(a)\) Đường tròn có tâm \(I(\ – \ 2; 5)\) và bán kính \(R = 7\) có phương trình là:

\(x \ – \ (\ – \ 2))^2 + (y \ – \ 5)^2 = 7^2\)

Hay \((x + 2)^2 + (y \ – \ 5)^2 = 49\)

\(b)\) Đường tròn có tâm \(I(1; \ – \ 2)\) và đi qua điểm \(A(\ – \ 2; 2)\) nên đường tròn có bán kính là:

\(R = IA = \sqrt{(\ – \ 2 \ – \ 1)^2 + (2 \ – \ (\ – \ 2))^2} = 5\)

Do đó, phương trình đường tròn cần tìm là:

\((x \ – \ 1)^2 + (y \ – \ (\ – \ 2))^2 = 5^2\)

Hay \((x \ – \ 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\).

\(c)\) Đường tròn đường kính \(AB\) nên tâm \(I\) của đường tròn chính là trung điểm của \(AB\)

Tọa độ trung điểm \(I\) của \(AB\) là:

\(I\left(\displaystyle \frac{\ – \ 1 + (\ – \ 3)}{2}; \displaystyle \frac{\ – \ 3 + 5}{2} \right) = (\ – \ 2; 1)\)

Lại có: \(AB = \sqrt{(\ – \ 3 \ – \ (\ – \ 1))^2 + (5 \ – \ (\ – \ 3))^2} = 2 \sqrt{17}\)

Khi đó ta có phương trình đường tròn \((C)\) cần tìm là:

\((x + 2)^2 + (y \ – \ 1)^2 = 68\)

\(d)\) Đường tròn có tâm \(I(1; 3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta: x + 2y + 3 = 0\) nên bán kính của đường tròn \((C)\) chính là khoảng cách từ điểm \(I\) đến đường thẳng \(d\).

Ta có: \(R = d(I; \Delta) = \displaystyle \frac{|1 + 2. 3 + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \displaystyle \frac{10}{\sqrt{5}} = 2 \sqrt{5}\)

Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là:

\((x \ – \ (\ – \ 2))^2 + (y \ – \ 1)^2 = (2 \sqrt{5})^2\)

Hay \((x + 2)^2 + (y \ – \ 1)^2 = 20\)

\(\)

Bài \(7.16\). Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác \(ABC\), với \(A(6; \ – \ 2), B(4; 2), C(5; \ – \ 5)\). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Trả lời:

Giả sử \(I(a; b)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Ta có: \(R = IA = IB = IC\)

\(\Rightarrow IA^2 = IB^2 = IC^2\)

Ta có hệ phương trình sau:

\(\left \{\begin{matrix}IA^2 = IB^2\\IA^2 = IC^2 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}(6 \ – \ a)^2 + (\ – \ 2 \ – \ b)^2 = (4 \ – \ a)^2 + (2 \ – \ b)^2\\(6 \ – \ a)^2 + (\ – \ 2 \ – \ b)^2 = (5 \ – \ a)2 + (\ – \ 5 \ – \ b)^2 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} a^2 + b^2 \ – \ 12a + 4b + 36 + 4 = a^2 + b^2 \ – \ 8a \ – \ 4b + 16 + 4\\a^2 + b^2 \ – \ 12a + 4b + 40 = a^2 + b^2 \ – \ 10a + 10b + 50 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}4a \ – \ 8b = 20\\2a + 6b = \ – \ 10 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}a = 1\\b = \ – \ 2 \end{matrix} \right.\)

Vậy tâm \(I(1; \ – \ 2)\) và bán kính \(R = IA = \sqrt{(1 \ – \ 6)^2 + (\ – \ 2 \ – \ (\ – \ 2))^2} = 5\)

Vậy phương trình đường tròn \((C)\) cần tìm là:

\((x \ – \ 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\)

\(\)

Bài \(7.17\). Cho đường tròn \((C): x^2 + y^2 + 2x \ – \ 4y + 4 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến \(d\) của \((C)\) tại điểm \(M(0; 2)\).

Trả lời:

Ta có: \(x^2 + y^2 + 2x \ – \ 4y + 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow x^2 + y^2 \ – \ 2. (\ – \ 1). x \ – \ 2. 2. y + 4 = 0\) với các hệ số \(a = \ – \ 1; b = 2; c = 4\)

Khi đó đường tròn \((C)\) có tâm \(I(\ – \ 1; 2)\)

Ta thấy tọa độ điểm \(M(0; 2)\) thỏa mãn phương trình \((C)\) \((0 + 4 + 2. 0 \ – \ 4. 2 + 4 = 0)\) nên điểm \(M\) thuộc đường tròn \((C)\)

Tiếp tuyến \(d\) của \((C)\) tại điểm \(M(0; 2)\) sẽ có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{IM} = (1; 0)\) nên \(d\) có phương trình là:

\(1. ( x \ – \ 0) + 0. ( y \ – \ 2) = 0\)

\(\Leftrightarrow x = 0\)

Vậy phương trình tiếp tuyến \(d\) của \((C)\) tại điểm \(M(0; 2)\) là \(x = 0\).

\(\)

Bài \(7.18\). Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian \(180\) phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó tại thời điểm \(t (0 \leq t \leq 180)\) vật thể ở vị trí có tọa độ \((2 + \sin{t^o}; 4 + \cos{t^o})\).
\(a)\) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
\(b)\) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Trả lời:

\(a)\) Vị trí ban đầu của vật thể là tại thời điểm \(t = 0\). Khi đó, tọa độ của vật khi ở vị trí này là:

\((2 + \sin0^o; 4 + \cos0^o) = (2; 5)\)

Vị trí kết thúc của vật thể là tại thời điểm \(t = 180\). Khi đó, tọa độ của vật khi ở vị trí này là:

\((2 + \sin180^o; 4 + \cos180^o) = (2; 3)\)

\(b)\) Gọi điểm \(M(x ; y)\) thuộc quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Ta có: \(x = 2 + \sin{t^o}, y = 4 + \cos{t^o}\)

Suy ra: \(\sin{t^o} = x \ – \ 2, \cos{t^o} = y \ – \ 4\)

Lại có: \(\sin^2{t^o} + \cos^2{t^o} = 1 (0 \leq 0 \leq 180)\)

Suy ra ta có: \((x \ – \ 2)^2 + (y \ – \ 4)^2 = 1\)

Vậy quỹ đạo chuyển động của vật thể chính là quỹ đạo chuyển động của điểm \(M\) và là đường tròn có tâm \(I(2; 4)\) và bán kính \(R = 1\).

Bài 21. Đường tròn trong mặt Bài 21. Đường tròn trong mặt Bài 21. Đường tròn trong mặt Bài 21. Đường tròn trong mặt