Bài 20. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài \(20\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Góc và khoảng cách trang \(36\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(7.7\). Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

\(a)\) \(\Delta_1: 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}y \ – \ \sqrt{3} = 0 \text{ và } \Delta_2: 6x + 2y \ – \ \sqrt{6} = 0\).

\(b)\) \(d_1: x \ – \ \sqrt{3}y + 2 = 0 \text{ và } d_2: \sqrt{3}x \ – \ 3y + 2 = 0\).

\(c)\) \(m_1: x \ – \ 2y + 1 = 0 \text{ và } m_2: 3x + y \ – \ 2 = 0\).

Trả lời:

Ta có: Đường thẳng \(\Delta_1\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1} = (3\sqrt{2}; \sqrt{2})\)

Đường thẳng \(\Delta_2\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2} = (6; 2)\)

Ta có: \(\overrightarrow{n_2} = \sqrt{2}. \overrightarrow{n_1}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow{n_1} \text{ và } \overrightarrow{n_2}\) cùng phương.

Suy ra hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, điểm \(A\left(0; \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\) vừa thuộc \(\Delta_1\) vừa thuộc \(\Delta_2\)

Vậy hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) trùng nhau.

\(b)\) Đường thẳng \(d_1\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1} = (1; \ – \ \sqrt{3})\).

Đường thẳng \(d_2\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2} = (\sqrt{3}; \ – \ 3)\)

Ta có: \(\overrightarrow{n_2} = \sqrt{3}. \overrightarrow{n_1}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow{n_1} \text{ và } \overrightarrow{n_2}\) cùng phương. Do đó hai vectơ \(d_1\) và \(d_2\) song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác điểm \(B(\ – \ 2; 0) \in d_1\) nhưng không thuộc \(d_2\).

Vậy hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) song song với nhau.

\(c)\) Xét hệ phương trình:

\(\left \{\begin{matrix}x \ – \ 2y + 1 = 0\\3x + y \ – \ 2 = 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}3x \ – \ 6y + 3 = 0\\3x + y \ – \ 2 = 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}7y \ – \ 5 = 0\\3x + y \ – \ 2 = 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}y = \displaystyle \frac{5}{7}\\x = \displaystyle \frac{3}{7} \end{matrix} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left(\displaystyle \frac{3}{7}; \displaystyle \frac{5}{7}\right)\).

Vậy hai đường thẳng \(m_1\) và \(m_2\) cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left(\displaystyle \frac{3}{7}; \displaystyle \frac{5}{7}\right)\).

\(\)

Bài \(7.8\). Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

\(a)\) \(\Delta_1: \sqrt{3}x + y \ – \ 4 = 0 \text{ và } \Delta_2: x + \sqrt{3}y + 2 = 0\).

\(b)\) \(d_1: \left \{\begin{matrix}x = \ – \ 1 + 2t\\y = 3 + 4t \end{matrix} \right.\) và \(d_2:\left \{\begin{matrix}x = 3 + s\\y = 1 \ – \ 3s \end{matrix} \right.\) (\(t,s\) là các tham số).

Trả lời:

\(a)\) Đường thẳng \(\Delta_1\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1} = (\sqrt{3}; 1)\)

Đường thẳng \(\Delta_2\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2} = (1; \sqrt{3})\).

Khi đó, góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{n_1} \text{ và } \overrightarrow{n_2}\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1 \text{ và } \Delta_2\).

Ta có:

\(\cos{(\Delta_1, \Delta_2)} = |\cos{\left(\overrightarrow{n_1}; \overrightarrow{n_2}\right)}| = \displaystyle \frac{|\overrightarrow{n_1}. \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|. |\overrightarrow{n_2}|}\)

\(= \displaystyle \frac{\sqrt{3}. 1 + 1. \sqrt{3}}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}. \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Suy ra góc giữa \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) là \(30^o\).

\(b)\) Đường thẳng \(d_1, d_2\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_1} = (2; 4), \overrightarrow{u_2} = (1; \ – \ 3)\)

Suy ra góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) chính là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u_1} \text{ và } \overrightarrow{u_2}\).

Ta có:

\(\cos{(d_1, d_2)} = |\cos{\left(\overrightarrow{n_1}; \overrightarrow{n_2}\right)}|\)

\(= \displaystyle \frac{|2. 1 + 4. (\ – \ 3)|}{\sqrt{2^2 + 4^2}. \sqrt{1^2 + (\ – \ 3)^2}} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Suy ra góc giữa \(d_1\) và \(d_2\) là \(45^o\).

\(\)

Bài \(7.9\). Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A(0; \ – \ 2)\) và đường thẳng \(\Delta: x + y \ – \ 4 = 0\).

\(a)\) Tính khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta\).

\(b)\) Viết phương trình đường thẳng \(a\) đi qua điểm \(M(\ – \ 1; 0)\) và song song với \(\Delta\).

\(c)\) Viết phương trình đường thẳng \(b\) đi qua điểm \(N(0; 3)\) và vuông góc với \(\Delta\).

Trả lời:

\(a)\) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta\) là:

\(d(A; \Delta) = \displaystyle \frac{|0 \ – \ 2 \ – \ 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 3\sqrt{2}\)

\(b)\) Đường thẳng \(a\) song song với \(\Delta\) nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\) cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(a\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của \(a\) là \(\overrightarrow{n_a} = (1; 1)\)

Phương trình đường thẳng \(a\) đi qua điểm \(M(\ – \ 1; 0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_a}\) là:

\(1(x + 1) + 1. (y \ – \ 0) = 0\)

\(\Leftrightarrow x + y + 1 = 0\)

\(c)\) Đường thẳng \(\Delta\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_{\Delta}} = (1; 1)\) nên có vectơ chỉ phương \((1; \ – \ 1)\).

Đường thẳng \(b\) vuông góc với \(\Delta\) nên vectơ chỉ phương của \(\Delta\) đồng thời là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(b\) hay \(\overrightarrow{n_b} = (1; \ – \ 1)\)

Phương trình đường thẳng \(b\) đi qua điểm \(N(0; 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_b} = (1; \ – \ 1)\) là:

\(1. (x \ – \ 0) \ – \ 1. (y \ – \ 3) = 0\)

\(\Leftrightarrow x \ – \ y + 3 = 0\)

\(\)

Bài \(7.10\). Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A(1; 0), B(3; 2) \text { và } C(\ – \ 2; \ – \ 1)\).

\(a)\) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\).

\(b)\) Tính diện tích tam giác \(ABC\).

Trả lời:

\(a)\) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BC\).

Ta có: \(\overrightarrow{BC} = (\ – \ 2 \ – \ 3; \ – \ 1 \ – \ 2) = (\ – \ 5; \ – \ 3)\)

Đường thẳng \(BC\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{BC} = (\ – \ 5; \ – \ 3)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{BC}} = (3; \ – \ 5)\)

Đường thẳng \(BC\) đi qua điểm \(B(3; 2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{BC}} = (3; \ – \ 5)\) nên có phương trình:

\(3(x \ – \ 3) \ – \ 5(y \ – \ 2) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x \ – \ 5y + 1 = 0\).

Khi đó, khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BC\) là:

\(d(A; BC) = \displaystyle \frac{3. 1 \ – \ 5.0 + 1}{\sqrt{3^2 + 5^2}} = \displaystyle \frac{4}{\sqrt{34}}\)

Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) là \(h = \displaystyle \frac{4}{\sqrt{34}}\).

\(b)\) Ta có: \(BC = \sqrt{(\ – \ 5)^2 + (\ – \ 3)^2} = \sqrt{34}\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. h. BC = \displaystyle \frac{1}{2}. \displaystyle \frac{4}{\sqrt{34}}. \sqrt{34} = 2\) (đvdt)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(2\) đvdt.

\(\)

Bài \(7.11\). Chứng minh rằng hai đường thẳng \(d: y = ax + b (a \neq 0) \text{ và } d’: y = a’x + b’ (a’ \neq 0)\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(aa’ = 1\).

Trả lời:

Ta có:

\(d: y = ax + b\)

\(\Leftrightarrow d: ax \ – \ y + b = 0\)

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n} = (a; \ – \ 1)\)

\(d’: y = a’x + b’\)

\(\Leftrightarrow d’: a’x \ – \ y + b’ = 0\)

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d’\) là: \(\overrightarrow{n’} = (a’; \ – \ 1)\).

Khi đó, hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

\(\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{n’}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{n}. \overrightarrow{n’} = 0\)

\(\Leftrightarrow a. a’ + (\ – \ 1). (\ – \ 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow a. a’ = \ – \ 1\)

Vậy \(d \perp d’\) khi và chỉ khi \(a. a’ = \ – \ 1\) (đpcm).

\(\)

Bài \(7.12\). Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí \(O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3)\) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Trả lời:

Gọi \(M(a; b)\) là vị trí tín hiệu âm thanh phát đi.

Ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí nhận được cùng một thời điểm nên ta có:

\(MO = MA = MB\)

Mặt khác: \(\overrightarrow{MO} = (\ – \ a; \ – \ b)\)

\(\Rightarrow MO = \sqrt{(\ – \ a)^2 + (\ – \ b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}\)

\(\overrightarrow{MA} = (1 \ – \ a; \ – \ b)\)

\(\Rightarrow MA = \sqrt{(1 \ – \ a)^2 + (\ – \ b)^2} = \sqrt{(1 \ – \ a)^2 + b^2}\)

\(\overrightarrow{MC} = (1 \ – \ a; 3 \ – \ b)\)

\(\Rightarrow MC = \sqrt{(1 \ – \ a)^2 + (3 \ – \ b)^2}\)

Vì \(MO = MA = MB\) nên ta có hệ phương trình sau:

\(\left \{\begin{matrix}\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(1 \ – \ a)^2 + b^2}\\ \sqrt{(1 \ – \ a)^2 + b^2} = \sqrt{(1 \ – \ a)^2 + (3 \ – \ b)^2} \end{matrix} \right.\)

Bình phương hai vế của từng phương trình trong hệ ta được:

\(\left \{\begin{matrix}a^2 + b^2 = (1 \ – \ a)^2 + b^2\\(1 \ – \ a)^2 + b^2 = (1 \ – \ a)^2 + (3 \ – \ b)^2 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}a^2 + b^2 = a^2 \ – \ 2a + 1 + b^2\\b^2 = b^2 \ – \ 6b + 9 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} 1 \ – \ 2a = 0\\6b \ – \ 9 = 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}a = \displaystyle \frac{1}{2}\\b = \displaystyle \frac{3}{2} \end{matrix} \right.\)

Thay \(a = \displaystyle \frac{1}{2}, b = \displaystyle \frac{3}{2}\) vào các phương trình của hệ ban đầu ta đều thấy thỏa mãn.

Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là vị trí \(M\) có tọa độ \(\left(\displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{3}{2} \right)\).

Bài 20. Vị trí tương đối Bài 20. Vị trí tương đối Bài 20. Vị trí tương đối Bài 20. Vị trí tương đối

Xem bài giải trước: Bài 19: Phương trình đường thẳng
Xem bài giải tiếp theo: Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 – NXB Kết nối tri thức với cuộc sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech