Bài \(2\). Trung vị và tứ phân vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm trang \(136\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Lương tháng của một số nhân viên một văn phòng được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng):
\(a)\) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.
\(b)\) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
\(c)\) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.
Trả lời:
\(a)\) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
\(6,5; 6,7; 6,7; 8,3; 8,4; 8,9; 9,2; 9,6; 9,8; 10; 10;\)
\(10,7; 10,9; 11,1; 11,2; 11,7; 11,9; 12,2; 12,5; \)
\(12,7; 13,1; 13,2; 13,6; 13,8\)
Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:
\(Q_2 = \displaystyle \frac{10,7+ 10,9}{2} = 10,8\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu: \(6,5; 6,7; 6,7; 8,3; 8,4; 8,9; 9,2; 9,6; 9,8; 10; 10; 10,7\)
\(\Rightarrow Q_1 = \displaystyle \frac{8,9 + 9,2}{2} = 9,05\)
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu: \(10,9; 11,1; 11,2; 11,7; 11,9; 12,2; 12,5; 12,7; 13,1;\)
\( 13,2; 13,6; 13,8\).
\(\Rightarrow Q_3 = \displaystyle \frac{12,2 + 12,5}{2} = 12,35\)
\(b)\)
\(c)\) Gọi \(x_1; x_2; x_3; …; x_{24}\) lần lượt là lương tháng của mỗi nhân viên xếp theo thứ tự không giảm.
Do \(x_1, x_2, x_3 \in [6; 8); x_4, …,x_9 \in [8; 10);\)
\(x_{10},…, x_{17} \in [10; 12); x_{18}, …, x_{24} \in [12; 14)\) nên trung vị của mẫu số liệu \(x_1; …; x_{24}\) là: \(\displaystyle \frac{1}{2}(x_{12} + x_{13}) \in [10; 12)\)
Ta xác định được \(n = 24; n_m = 8; C = 3 + 6 = 9; u_m = 10, u_{m + 1} = 12\)
Suy ra tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là:
\(Q_2 = 10 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{24}{2} \ – \ 9}{8} (12 \ – \ 10) = 10,75\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\displaystyle \frac{1}{2} (x_6 + x_7)\). Do \(x_6, x_7 \in [8; 10)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(Q_1 = 8 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{24}{4} \ – \ 3}{6} (10 \ – \ 8) = 9\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\displaystyle \frac{1}{2} (x_{18} + x_{19})\). Do \(x_{18}, x_{19} \in [12; 14)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(Q_3 = 12 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3. 24}{4} \ – \ 17}{7} (14 \ – \ 12) = 12,3\)
\(\)
Bài \(2\). Số điểm một cầu thủ ghi được trong \(20\) trận đấu được cho ở bảng sau:
\(a)\) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.
\(b)\) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
\(c)\) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu từ bảng tần số ghép nhóm trên.
Trả lời:
\(a)\) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
\(6; 8; 8; 10; 11; 11; 12; 13; 14; 14; 14; 15; 18; 18; 21; 22;\)
\(23; 24; 25; 25\).
Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:
\(Q_2 = \displaystyle \frac{14+ 14}{2} = 14\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu: \(6; 8; 8; 10; 11; 11; 12; 13; 14; 14\)
\(\Rightarrow Q_1 = \displaystyle \frac{11 + 11}{2} = 9,05\)
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu: \(14; 15; 18; 18; 21; 22; 23; 24; 25; 25\)
\(\Rightarrow Q_3 = \displaystyle \frac{21+ 22}{2} = 21,5\)
\(b)\)
\(c)\) Vì số trận là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại bảng số liệu như sau:
Gọi \(x_1; x_2; x_3; …; x_{20}\) lần lượt là số điểm ghi được ở mỗi trận đấu xếp theo thứ tự không giảm.
Do \(x_1, x_2, x_3, x_4 \in [5,5; 10,5); x_5, …,x_{12} \in [10,5; 15,5);\)
\( x_{13}, x_{14} \in [15,5; 20,5); x_{15}, …, x_{20} \in [20,5; 25,5)\) nên trung vị của mẫu số liệu \(x_1; …; x_{20}\) là: \(\displaystyle \frac{1}{2}(x_{10} + x_{11}) \in [10,5; 15,5)\)
Ta xác định được \(n = 20; n_m = 8; C = 4; u_m = 10,5; u_{m + 1} = 15,5\)
Suy ra tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là:
\(Q_2 = 10,5 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{20}{2} \ – \ 4}{8} (15,5 \ – \ 10,5) = 14,25\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\displaystyle \frac{1}{2} (x_5 + x_6)\). Do \(x_5, x_6 \in [10,5; 15,5)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(Q_1 = 10,5 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{20}{4} \ – \ 4}{8} (15,5 \ – \ 10,5) = 11,125\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\displaystyle \frac{1}{2} (x_{15} + x_{16})\). Do \(x_{15}, x_{16} \in [20,5; 25,5)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(Q_3 = 20,5 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3. 20}{4} \ – \ 14}{6} (25,5\ – \ 20,5) = 21,3\)
\(\)
Bài \(3\). Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả sau:
Hãy ước lượng số trung bình, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Trả lời:
Số trung bình của dãy số liệu là:
\(\displaystyle \frac{0,925.10 + 0,975.20 + 1,025.35 + 1,075.15 + 1,125.5}{85}\)
\(=1,016\)
Nhóm chứa mốt của dãy số liệu là:
\([1; 1,05)\)
\(M_0 = 1 + \displaystyle \frac{35 \ – \ 20}{(35 \ – \ 20) + (35 \ – \ 15)} (1,05 \ – \ 1)\)
\(= 1,02\)
Gọi \(x_1; x_2; x_3; …; x_{85}\) lần lượt là điện lượng mỗi viên pin xếp theo thứ tự không giảm.
Do \(x_1, x_2, …, x_{10} \in [0,9; 0,95);\)
\( x_{11}, …,x_{30} \in [0,95; 1,0); x_{31}, …,x_{65} \in [1; 1,05);\)
\(x_{66}, …, x_{80} \in [1,05; 1,1); x_{81}, …, x_{85} \in [1,1; 1,15)\) nên trung vị của mẫu số liệu \(x_1; …; x_{85}\) là: \(x_{43} \in [1; 1,05)\)
Ta xác định được \(n = 85; n_m = 35; C = 30; u_m = 1; u_{m + 1} = 1,05\)
Suy ra tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là:
\(Q_2 = 1 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{85}{2} \ – \ 30}{35} (1,05 \ – \ 1) = 1,02\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\displaystyle \frac{1}{2} (x_{21} + x_{22})\). Do \(x_{21}, x_{22} \in [0,95; 1)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(Q_1 = 0,95 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{85}{4} \ – \ 10}{20} (1 \ – \ 0,95) \approx 0,98 \)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\displaystyle \frac{1}{2} (x_{64} + x_{65})\).
Do \(x_{64}, x_{65} \in [1; 1,05)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(Q_3 = 1 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3. 85}{4} \ – \ 30}{35}(1,05 \ – \ 1) = 1,048\)
\(\)
Bài \(4\). Cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc hai giống \(A\) và \(B\) được cho ở biểu đồ dưới đây (đơn vị: kg)
\(a)\) Hãy so sánh cân nặng của lợn con mới sinh giống \(A\) và giống \(B\) theo số trung bình và trung vị.
\(b)\) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của cân nặng lợn con mới sinh giống \(A\) và của cân nặng lợn con mới sinh giống \(B\).
Trả lời:
Ta có bảng thống kê cân nặng của lợn con giống \(A\) và giống \(B\) như sau:
\(a)\) Cân nặng trung bình của lợn con giống \(A\) là:
\(\displaystyle \frac{1,05.8 + 1,15.28 + 1,25.32 + 1,35.17}{85} = 1,22\) (kg)
Cân nặng trung bình của lợn con giống \(B\) là:
\(\displaystyle \frac{1,05.13 + 1,15.14 + 1,25.24 + 1,35.14}{65} = 1,21\) (kg)
Vậy theo số trung bình thì cân nặng trung bình của lợn con giống \(A\) lớn hơn giống \(B\).
Gọi \(x_1, x_2, …, x_{85}\) lần lượt là cân nặng mỗi con lợn con giống \(A\) theo thứ tự không giảm.
Do \(x_1, …, x_8 \in [1,0; 1,1); x_9, x_{10}, …, x_{36} \in [1,1; 1,2);\)
\(x_{37}, …, x_{68} \in [1,2; 1,3); x_{69}, …, x_{85} \in [1,3; 1,4)\) nên trung vị của mẫu số liệu lợn con giống \(A\) là \(x_{43} \in [1,2; 1,3)\)
\(\Rightarrow Q_{2A} = 1,2 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{85}{2} \ – \ 36}{32}(1,3 \ – \ 1,2) = 1,22\)
Gọi \(y_1, y_2, …, y_{65}\) lần lượt là cân nặng mỗi con lợn con giống \(B\) theo thứ tự không giảm.
Do \(y_1, …, x_{13} \in [1,0; 1,1); y_{14}, …, y_{27} \in [1,1; 1,2);\)
\(y_{28}, …, y_{51} \in [1,2; 1,3); y_{52}, …, y_{65} \in [1,3; 1,4)\) nên trung vị của mẫu số liệu lợn con giống \(B\) là \(y_{33} \in [1,2; 1,3)\)
\(\Rightarrow Q_{2B} = 1,2 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{65}{2} \ – \ 27}{24} (1,3 \ – \ 1,2) = 1,223\)
Vậy theo số trung vị thì cân nặng trung bình của lợn con giống \(A\) nhỏ hơn giống \(B\).
\(b)\) Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu lợn con giống \(A\) là \(\displaystyle \frac{1}{2}(x_{21} + x_{22})\) thuộc nhóm \([1,1; 1,2)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu lợn con giống \(A\) là:
\(Q_{1A} = 1,1 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{85}{4} \ – \ 8}{28} (1,2 \ – \ 1,1) = 1,15\)
Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu lợn con giống \(A\) là \(\displaystyle \frac{1}{2}(x_{64} + x_{65})\) thuộc nhóm \([1,2; 1,3)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu lợn con giống \(A\) là:
\(Q_{3A} = 1,2 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3. 85}{4} \ – \ 36}{32} (1,3 \ – \ 1,2) = 1,29\)
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu lợn con giống \(B\) là \(\displaystyle \frac{1}{2}(y_{16} + y_{17})\) thuộc nhóm \([1,1; 1,2)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu lợn con giống \(B\) là:
\(Q_{1B} = 1,1 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{65}{4} \ – \ 13}{14} (1,2 \ – \ 1,1) = 1,12\)
Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu lợn con giống \(B\) là \(\displaystyle \frac{1}{2}(y_{49} + y_{50})\) thuộc nhóm \([1,2; 1,3)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu lợn con giống \(B\) là:
\(Q_{3B} = 1,2 + \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3. 65}{4} \ – \ 27}{24} (1,3 \ – \ 1,2) = 1,29\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 1 – Số trung bình và mốt của mẫu dữ liệu ghép nhóm
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương V
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.