Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ trang \(91\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.
Bài \(1\). Cho hình thoi \(ABCD\) và \(M\) là trung điểm cạnh \(AB\), \(N\) là trung điểm cạnh \(CD\). Chứng minh rằng:
\(\widehat{MA} + \widehat{MC} = \widehat{MB} + \widehat{MD} = \widehat{MN}\).
Trả lời:
Gọi \(O\) là tâm hình thoi. Khi đó, \(O\) là trung điểm \(AC, BD\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}; \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}\).
Suy ra:
\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC})\)
\(= 2\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{MN}\).
\(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB}) + ( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD})\)
\(= 2 \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 2 \overrightarrow{MO} = \overrightarrow{MN}\).
Vậy \(\widehat{MA} + \widehat{MC} = \widehat{MB} + \widehat{MD} = \widehat{MN}\).
\(\)
Bài \(2\). Chứng minh rằng với tứ giác \(ABCD\) bất kì, ta luôn có:
\(a)\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}\).
\(b)\) \(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB} \ – \ \overrightarrow{CD}\).
Trả lời:
\(a)\) Theo quy tắc ba điểm cộng vectơ ta có:
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CA}\)
Suy ra:
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}\) (đpcm)
\(b)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB}\)
\(\overrightarrow{CB} \ – \ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}\).
Vậy \(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB} \ – \ \overrightarrow{CD}\) (đpcm).
\(\)
Bài \(3\). Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(a\). Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{BC}\).
Trả lời:
Theo quy tắc ba điểm, ta có: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
Do tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AC = a\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AC}| = a\)
Gọi \(M\) là trung điểm \(AC\) ta có:
\(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}\)
\(= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}\)
\(= 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{MA} = 2(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) = 2\overrightarrow{MB}\)
Mà \(MB\) là đường trung tuyến trong tam giác đều \(ABC\) nên \(MB = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{MB}| = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC}| = 2|\overrightarrow{MB}| = 2. \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\).
Vậy độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AC}\) lần lượt là \(a; a\sqrt{3}\).
\(\)
Bài \(4\). Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O\). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(\overrightarrow{CO} \ – \ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB}\);
\(c)\) \(\overrightarrow{DA} \ – \ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD} \ – \ \overrightarrow{OC}\);
\(d)\) \(\overrightarrow{DA} \ – \ \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\).
Trả lời:
\(a)\) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(AC, BD\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{OA}\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{CO} \ – \ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \ – \ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\) (đpcm).
\(b)\) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC} \ – \ \overrightarrow{BC}\)
\(= \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB}\) (đpcm).
\(c)\) Ta có: \(\overrightarrow{DA} \ – \ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA}\)
\(\overrightarrow{OD} \ – \ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{CD}\).
Mà \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\)
Suy ra \(\overrightarrow{DA} \ – \ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD} \ – \ \overrightarrow{OC}\) (đpcm).
\(d)\) Ta có: \(\overrightarrow{DA} \ – \ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DA} \ – \ \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\) (đpcm).
\(\)
Bài \(5\). Cho ba lực \(\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{MC}\) cùng tác động vào một vật tại điểm \(M\) và vật đứng yên. Cho biết độ lớn của \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}\) đều là \(100N\) và \(\overrightarrow{AMB} = 60^o\). Tìm độ lớn của lực \(\overrightarrow{F_3}\).
Trả lời:
Dựng hình bình hành \(AMBD\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(MD\), khi đó \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(MD\) đồng thời \(MI\) là phân giác \(\widehat{AMB}\).
Vật đứng yên tại điểm \(M\) nên \(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{F_3} = \ – \ (\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}) = \ – \ (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) = \ – \ \overrightarrow{MD}\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{F_3}\) có hướng ngược với \(\overrightarrow{MD}\) và có độ lớn bằng \(\overrightarrow{MD}\).
Xét tam giác \(AMB\) có \(MA = MB, \widehat{AMB} = 60^o\) nên tam giác \(AMB\) đều.
\(\Rightarrow MI \perp AB, \widehat{AMI} = \displaystyle \frac{1}{2} \widehat{AMB} = 30^o\)
Xét tam giác \(MAI\) vuông tại \(I\), có \(\widehat{MAI} = 90^o \ – \ 30^o = 60^o\) nên ta có:
\(MI = AM \sin{\widehat{MAI}} = 100 \sin{60^o} = 50\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow MD = 2MI = 100\sqrt{3}\)
Vậy độ lớn của lực \(\overrightarrow{F_3}\) là \(100\sqrt{3} \).
\(\)
Bài \(6\). Khi máy bay nghiêng cánh một góc \(\alpha\), lực \(\overrightarrow{F}\) của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng \(\overrightarrow{F_1}\) và lực cản \(\overrightarrow{F_2}\) (Hình \(8\)). Cho biết \(\alpha = 45^o\) và \(|\overrightarrow{F}| = a\). Tính \(|\overrightarrow{F_1}|\) và \(|\overrightarrow{F_2}|\) theo \(a\).
Trả lời:
Kí hiệu các điểm như hình sau:
Ta có: \(\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{F} = \overrightarrow{OB}\)
Theo giả thiết, \(\widehat{AOB} + \widehat{BOC} = \widehat{AOC} = 90^o\)
Lực \(\overrightarrow{F}\) tác động vuông góc với cánh nên \(\widehat{BOx} = 90^o\)
Có \(\widehat{COx} = \alpha = 45^o\) (hai góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow \widehat{BOC} = 45^o\)
Suy ra \(OA = OC = OB \cos{45^o} = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{OA}| = OA = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}\);
\(|\overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{OC}| = OC = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Vậy \(|\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F_2}| = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
\(\)
Bài \(7\). Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\) và có cạnh bằng \(a\). Cho hai điểm \(M, N\) thoả mãn:
\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}; \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{ND} + \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}\).
Tìm độ dài các vectơ \(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{NO}\).
Trả lời:
Ta có: \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}\) nên \(M\) là trung điểm của \(AD\).
\(\Rightarrow |\overrightarrow{MA}| = MA = \displaystyle \frac{1}{2} AD = \displaystyle \frac{a}{2}\)
\(\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{ND} + \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}\) nên \(N\) là trọng tâm tam giác \(BCD\).
Khi đó \(|\overrightarrow{NO}| = NO = \displaystyle \frac{1}{3} OC = \displaystyle \frac{1}{6} AC\)
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có:
\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = a\sqrt{2}\)
Suy ra \(|\overrightarrow{NO}| = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{6}\)
Vậy \(|\overrightarrow{MA}| = \displaystyle \frac{a}{2}, |\overrightarrow{NO}| = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{6}\).
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 1 – Khái niệm vectơ
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3 – Tích của một số với một vectơ
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.