Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài \(2\). Tổng và hiệu của hai vectơ trang \(88\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo và một điểm \(M\) tuỳ ý. Chứng minh rằng:
\(a)\) \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}\).

Trả lời:

\(a)\) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{0}\) (đpcm)

\(b)\) Ta có:

\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC})\)

\(= (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}) + (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC})\)

\(= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{0}\)

\(= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(2\). cho tứ giác \(ABCD\), thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:
\(a)\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AD}\);
\(c)\) \(\overrightarrow{CB} \ – \ \overrightarrow{CD}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}\)

\(= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA})\)

\(= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\)

Vậy \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}\)

\(b)\) Ta có: \(\overrightarrow{AB} \ – \ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}\)

\(c)\) Ta có: \(\overrightarrow{CB} \ – \ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DB}\)

\(\)

Bài \(3\). Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(a\). Tính độ dài của các vectơ:
\(a)\) \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\);
\(c)\) \(\overrightarrow{BA} \ – \ \overrightarrow{BC}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}| = BC = a\)

\(b)\) Dựng hình bình hành \(ABDC\) có \(O\) là giao điểm hai đường chéo.

Ta có: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}\)

Mà \(AD = 2. AO = 2. \sqrt{AB^2 \ – \ BO^2}\) ( Do \(\Delta ABC\) đều nên trung tuyến \(AO\) đồng thời là đường cao)

\(\Rightarrow AD = 2. \sqrt{a^2 \ – \ \left(\displaystyle \frac{a}{2}\right)^2} = a\sqrt{3}\).

Vậy \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = AD = a\sqrt{3}\)

\(c)\) Ta có: \(\overrightarrow{BA} \ – \ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}\)

Mà \(|\overrightarrow{CA}| = CA = a\)

Suy ra \(|\overrightarrow{BA}| \ – \ |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CA}| = a\).

\(\)

Bài \(4\). Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:
\(a)\) \(\overrightarrow{OA} \ – \ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} \ – \ \overrightarrow{OC}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{OA} \ – \ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{OA} \ – \ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\)

\(\overrightarrow{OD} \ – \ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CD}\)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OA} \ – \ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} \ – \ \overrightarrow{OC}\) (đpcm)

\(b)\) Áp dụng kết quả đã chứng minh ở câu \(a)\) ta có:

\(\overrightarrow{OA} \ – \ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{OD} \ – \ \overrightarrow{OC}) + \overrightarrow{DC}\)

\(= \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CC} = \overrightarrow{0}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(5\). Cho ba lực \(\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{MC}\) cùng tác động vào một vật tại điểm \(M\) và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}\) đều là \(10N\) và \(\widehat{AMB} = 90^o\). Tìm độ lớn của lực \(\overrightarrow{F_3}\).

Trả lời:

Theo bài ra ba lực \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}\) tác dụng vào vật \(M\) và vật đứng yên nên ta có:

\(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{F_3} = \ – \ (\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2})\)

Lại có cường độ của \(\overrightarrow{F_1}\) và \(\overrightarrow{F_2}\) đều bằng \(10N\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F_2}| = 10 N \).

Dựng hình bình hành \(MADB\) có:

\(\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{MB}, \widehat{AMB} = 90^o\)

\(\Rightarrow MA = MB =|\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F_2}| = 10 N \).

\(\Rightarrow\) Hình bình hành \(MADB\) là hình vuông có cạnh bằng \(10\).

\(\Rightarrow\) Đường chéo \(MD = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2}\)

Áp dụng tính chất cộng vectơ trong hình bình hành \(MADB\) ta có:

\(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}\).

Mà \(\overrightarrow{F_3} = \ – \ (\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2})\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{F_3} = \ – \ \overrightarrow{MD}\).

Vậy lực \(\overrightarrow{F_3}\) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow{MD}\) và có độ lớn là: \(|\overrightarrow{F_3}| = \overrightarrow{MD} = 10\sqrt{2} N\).

\(\)

Bài \(6\). Khi máy bay nghiêng cánh một góc \(\alpha\), lực \(\overrightarrow{F}\) của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng \(\overrightarrow{F_1}\) và lực cản \(\overrightarrow{F_2}\) (Hình \(16\)). Cho biết \(\alpha = 30^o\) và \(|\overrightarrow{F}|\) = a. Tính \(|\overrightarrow{F_1}|\) và \(|\overrightarrow{F_2}|\) theo \(a\).

Trả lời: Ta kí hiệu các điểm như hình dưới:

Khi đó các lực \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F}\) tương ứng là \(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\)

Vì lực \(\overrightarrow{F}\) tác động vuông góc với cánh máy bay nên \(\widehat{CAx} = 90^o\)

Mà \(\widehat{\alpha} = 30^o\)

\(\Rightarrow \widehat{CAB} = 90^o \ – \ 30^o = 60^o\)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có:

\(AC = AB. \cos{\widehat{CAB}} = \alpha. \cos60^o = \displaystyle \frac{a}{2}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{AB}| = \displaystyle \frac{a}{2}\)

Lại có: \(AD = BC = AC. \sin{\widehat{CAB}} = \alpha. \sin60^o = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{AD}| = AD = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \(|\overrightarrow{F_1}| = \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}; |\overrightarrow{F_2}| = \displaystyle \frac{a}{2}\).

\(\)

Bài \(7\). Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và ba điểm \(G, H, K\) thoả mãn: \(\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}; \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0};\)

\(\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HD} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}\). Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow{KA}, \overrightarrow{GH}, \overrightarrow{AG}\).

Trả lời:

Hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(a\) nên suy ra đường chéo \(AC = BD = a\sqrt{2}\)

\(+)\) Ta có: \(\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\) \(K\) là trung điểm đoạn \(AC\)

\(\Rightarrow AK = \displaystyle \frac{1}{2}. AC = \displaystyle \frac{1}{2}. a\sqrt{2} = \displaystyle \frac{a \sqrt{2}}{2}\)

\(+)\) Ta có: \(\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\) \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

\(\Rightarrow BG = \displaystyle \frac{2}{3}. BK = \displaystyle \frac{2}{3}. \displaystyle \frac{1}{2}. BD\)

\(= \displaystyle \frac{1}{3}. BD\). \((1)\)

\(+)\) Ta có: \(\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HD} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\) \(H\) là trọng tâm của tam giác \(ADC\)

\(\Rightarrow DH = \displaystyle \frac{2}{3}. DK = \displaystyle \frac{1}{3}. DB\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

\(HG = DB \ – \ (DH + BG) = \displaystyle \frac{1}{3}. DB\)

\( = \displaystyle \frac{1}{3}. a\sqrt{2} = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{3}\).

Tam giác \(AKG\) vuông tại \(K\) (Tính chất hai đường chéo của hình vuông)

Mà \(KG = KH = \displaystyle \frac{1}{2}. HG = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{6}\)

\(\Rightarrow AG = \sqrt{AK^2 + KG^2}\)

\(= \sqrt{\left(\displaystyle \frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{6}\right)^2}\)

\( = \displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{3}\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{AG}| = \displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{3}\)

Vậy \(|\overrightarrow{KA}| = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}; |\overrightarrow{GH}| = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{3}; |\overrightarrow{AG}| =\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{3}\).

\(\)

Bài \(8\). Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như Hình\(17\). Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.