Bài 2. Tập hợp

Bài \(2\). Tập hợp trang \(9\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử:
\(a)\) \(A = \{x|x^2 \ – \ 2x \ – \ 15 = 0\}\);
\(b)\) \(B = \{x \in \mathbb{Z}|\ – \ 3 < x \leq 2\}\);
\(c)\) \(C = \left\{\displaystyle \frac{n}{n^2 \ – \ 1}|n \in \mathbb{N}, 1 < n \leq 4 \right\}\);
\(d)\) \(D = \{(x; y)|x \leq 2, y < 2, x,y \in \mathbb{N}\}\).

Trả lời:

\(a)\) Giải phương trình \(x^2 \ – \ 2x \ – \ 15 = 0\) có hai nghiệm \(x = \ – \ 3\) và \(x = 5\)

\(\Rightarrow A = \{\ – \ 3; 5\}\).

\(b)\) \(B = \{\ – \ 2; \ – \ 1; 0; 1; 2\}\).

\(c)\) Với \(1 < n \leq 4\) nên \(n \in \{2; 3; 4\}\).

Khi \(n = 2\) thì \(\displaystyle \frac{n}{n^2 \ – \ 1} = \displaystyle \frac{2}{2^2 \ – \ 1} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

Khi \(n = 3\) thì \(\displaystyle \frac{n}{n^2 \ – \ 1} = \displaystyle \frac{3}{3^2 \ – \ 1} = \displaystyle \frac{3}{8}\)

Khi \(n = 4\) thì \(\displaystyle \frac{n}{n^2 \ – \ 1} = \displaystyle \frac{4}{4^2 \ – \ 1} = \displaystyle \frac{4}{15}\)

Vậy \(C = \left\{\displaystyle \frac{2}{3}; \displaystyle \frac{3}{8}; \displaystyle \frac{4}{15}\right\}\).

\(d)\) \(x\) là số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng \(2\) nên \(x \in \{0; 1; 2\}\)

\(y\) là số tự nhiên nhỏ hơn \(2\) nên \(y \in \{0; 1\}\)

Vậy \(D = \{(0; 0); (1; 0); (2; 0); (0; 1); (1; 1); (2; 1)\}\).

\(\)

Bài \(2\). Viết các tập hợp sau đây bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử:
\(a)\) \(A = \{\ – \ 4; \ – \ 3; \ – \ 2; \ – \ 1; 0; 1; 2; 3; 4\}\);
\(b)\) \(B = \{0; 2; 4; 6; 8; 10\}\);
\(c)\) \(C = \left\{1; \displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{1}{3}; \displaystyle \frac{1}{4}; \displaystyle \frac{1}{5}\right\}\);
\(d)\) Tập hợp \(D\) các số thực lớn hơn hoặc bằng \(3\) và bé hơn \(8\).

Trả lời:

\(a)\) Các số \(\ – \ 4; \ – \ 3; \ – \ 2; \ – \ 1; 0; 1; 2; 3; 4\) là các số nguyên lớn hơn hoặc bằng \(\ – \ 4\) và nhỏ hơn hoặc bằng \(4\).

\(\Rightarrow A = \{x \in \mathbb{Z}|\ – \ 4 \leq x \leq 4\}\)

Hoặc \(A = \{x \in \mathbb{Z}| |x| \leq 4\}\)

\(b)\) Các số \(0; 2; 4; 6; 8; 10\) là các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn hoặc bằng \(10\).

\(\Rightarrow B = \{x | x \in \mathbb{N}, x \text{ chẵn }, x \leq 10\}\)

Hoặc \(B = \{x | x = 2k, k = 0; 1; 2; 3; 4; 5\}\).

\(c)\) \(C = \left\{\displaystyle \frac{1}{n}|n = 1; 2; 3; 4; 5\right\}\)

Hoặc \(C = \left\{x| x = \displaystyle \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}, 1 \leq n \leq 5\right\}\)

\(d)\) \(D\) là tập hợp các số thực lớn hơn hoặc bằng \(3\) và bé hơn 8.

\(\Rightarrow D = \{x \in \mathbb{R}| 3 \leq x < 8\}\).

\(\)

Bài \(3\). Điền kí hiệu \((\in, \notin, \subset, \not \subset, =)\) thích hợp vào chỗ chấm.
\(a)\) \(0 … \{0; 1; 2\}\);
\(b)\) \((0; 1) … \mathbb{Z}\);
\(c)\) \(0 … \{x \in \mathbb{R}|x^2 = 0\}\);
\(d)\) \(\{0\} … \{x|x^2 = x\}\);
\(e)\) \(\emptyset … \{x \in \mathbb{R}|x^2 + 4 = 0\}\).
\(g)\) \((4; 1) … \{x|x^2 \ – \ 5x + 4 = 0\}\);
\(h)\) \(\{n; a; m\} … \{m; a; n\}\);
\(i)\) \(\{nam\} … \{n; a; m\}\).

Trả lời:

\(a)\) Tập hợp \(\{0; 1; 2\}\) chứa phần tử \(0\) nên \(0 \in \{0; 1; 2\}\).

\(b)\) \((0; 1)\) là một tập hợp và là tập hợp con của tập số nguyên nên \((0; 1) \subset \mathbb{Z}\).

\(c)\) Phương trình \(x^2 = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\) và là một phần tử nên \(0 \in \{x \in \mathbb{R}|x^2 = 0\}\)

\(d)\) Phương trình \(x^2 = x\) có hai nghiệm là \(0\) và \(1\).

Mặt khác \(\{0\}\) là một tập hợp nên \(\{0\} \subset \{x|x^2 = x\}\)

\(e)\) Phương trình \(x^2 + 4 = 0\) vô nghiệm nên \(\emptyset = \{x \in \mathbb{R}|x^2 + 4 = 0\}\)

\(g)\) Phương trình \(x^2 \ – \ 5x + 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x = 1\) và \(x = 4\) nên \((4; 1) = \{x|x^2 \ – \ 5x + 4 = 0\}\).

\(h)\) Ta thấy các phần tử trong hai tập hợp giống nhau nên \(\{n; a; m\} = \{m; a; n\}\).

\(i)\) Hai tập hợp có các phần tử hoàn toàn khác nhau nên \(\{nam\} \not \subset \{n; a; m\}\)

\(\)

Bài \(4\). Điền kí hiệu \((\subset, \supset, =)\) thích hợp vào chỗ chấm.
\(a)\) \(x|x(x \ – \ 1)(x + 1) = 0\} … \{x| |x| < 2, x \in \mathbb{Z}\}\);
\(b)\) \(\{3; 6; 9\} … \{x \in \mathbb{N}| x \text{ là ước của } 18\}\);
\(c)\) \(\{x| x = 5k, k \in \mathbb{N}\} … \{x \in \mathbb{N}| x \text{ là bội của } 5\}\);
\(d)\) \(\{4k| k \in \mathbb{N}\} … \{x| x = 2m, m \in \mathbb{N}\}\).

Trả lời:

\(a)\) Tập hợp \(\{x| x(x \ – \ 1)(x + 1) = 0\}\) có các phần tử là \(\{\ – \ 1; 0; 1\}\)

Tập hợp \(\{x| |x| < 2, x \in \mathbb{Z}\}\) có các phần tử là \(\{ \ – \ 1; 0; 1\}\)

Suy ra \(x|x(x \ – \ 1)(x + 1) = 0\} = \{x| |x| < 2, x \in \mathbb{Z}\}\)

\(b)\) Tập hợp \(\{x \in \mathbb{N}| x \text{ là ước của } 18\}\) có các phần tử là \(\{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\)

Suy ra \(\{3; 6; 9\} \subset \{x \in \mathbb{N}| x \text{ là ước của } 18\}\)

\(c)\) Tập hợp \(\{x \in \mathbb{N}| x \text{ là bội của } 5\}\) viết dưới dạng đặc trưng có dạng là \(\{x|x = 5k, k \in \mathbb{N}\}\)

Suy ra \(\{x| x = 5k, k \in \mathbb{N}\} = \{x \in \mathbb{N}| x \text{ là bội của } 5\}\)

\(d)\) Tập hợp \(\{4k| k \in \mathbb{N}\}\) gồm tập hợp các số tự nhiên là bội của \(4\)

Tập hợp \(\{x| x = 2m, m \in \mathbb{N}\}\) là tập hợp các số tự nhiên là bội của \(2\).

Mặt khác, mọi số chia hết cho \(4\) đều chia hết cho \(2\)

\(\{4k| k \in \mathbb{N}\} \supset \{x| x = 2m, m \in \mathbb{N}\}\)

\(\)

Bài \(5\). Hãy chỉ ra các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau và vẽ biểu đồ Ven để biểu diễn các quan hệ đó:
\(A = \{x| x \text{ là tứ giác }\}\);
\(B = \{x| x \text{ là hình vuông }\}\);
\(C = \{x| x \text{ là hình chữ nhật }\}\);
\(D = \{x| x \text{ là hình bình hành }\}\).

Trả lời:

Mọi hình vuông, hình chữ nhật và hình bình hành đều là tứ giác.

\(\Rightarrow B, C, D \subset A\)

Mọi hình vuông và hình chữ nhật đều là hình bình hành.

\(\Rightarrow B, C \subset D\)

Mọi hình vuông đều là hình chữ nhật \(\Rightarrow B \subset C\)

Suy ra quan hệ bao hàm là: \(B \subset C \subset D \subset A\)

Ta có đồ thị Ven biểu diễn mỗi quan hệ bao hàm trên như hình sau:

\(\)

Bài \(6\). Tìm tất cả các tập hợp \(A\) thoả mãn điều kiện \((a; b) \subset A \subset \{a; b; c; d\}\).

Trả lời:

Các tập hợp \(A\) thỏa mãn \((a; b) \subset A \subset \{a; b; c; d\}\) là các tập hợp có phần tử gồm \(\{a; b\}\) và có thể có thêm các phần tử thuộc tập hợp \(\{a; b; c; d\}\)

Vậy các tập hợp \(A\) cần tìm có thể là: \(\{a; b\}; \{a; b; c\}; \{a; b; d\}; \{a; b; c; d\}\).

\(\)

Bài \(7\). Cho các tập hợp \(A = \{1; 2; 3; 4; 5\}\) và \(B = \{1; 3; 5; 7; 9\}\). Hãy tìm tập hợp \(M\) có nhiều phần tử nhất thoả mãn \(M \subset A\) và \(M \subset B\).

Trả lời:

\(M \subset A\) nên các phần tử của tập hợp \(M\) đều là các phần tử của tập \(A\).

\(M \subset B\) nên các phần tử của tập hợp \(M\) đều là các phần tử của tập \(B\).

Các phần tử vừa thuộc tập \(A\) vừa thuộc tập \(B\) là \(\{1; 3; 5\}\).

Do đó tập hợp \(M\) có nhiều phần tử nhất thỏa mãn \(M \subset A\) và \(M \subset B\) là tập hợp nhiều nhất các phần tử vừa thuộc \(A\) vừa thuộc \(B\).

\(\Rightarrow M = \{1; 3; 5\}\).

\(\)

Bài \(8\). Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử:
\(a)\) \(A = \{y \in \mathbb{N}|y = 10 \ – \ x^2, x \in \mathbb{N}\}\);
\(b)\) \(B = \{x \in \mathbb{N}| \displaystyle \frac{6}{6 \ – \ x} \in \mathbb{N}\}\);
\(c)\) \(C = \{x \in \mathbb{N}|2x \ – \ 3 \geq 0 \text{ và } 7 \ – \ x \geq 2\}\);
\(d)\) \(D = \{(x; y)| x \in \mathbb{N}, y \in \mathbb{N}, x + 2y = 8\}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(y = 10 \ – \ x^2\), \(y \in \mathbb{N}\)

\(\Rightarrow y = 10 \ – \ x^2 \geq 0\)

\(\Rightarrow x \leq \sqrt{10}\)

Mà \(x \in \mathbb{N} \Rightarrow x \in \{0; 1; 2; 3\}\)

Thay lần lượt các giá trị của \(x \in \{0; 1; 2; 3\}\) vào \(y = 10 \ – \ x^2\) ta được các giá trị tương ứng của \(y\) là \(\{10; 9; 6; 1\}\).

\(\Rightarrow A = \{1; 6; 9; 10\}\).

\(b)\) Có \(\displaystyle \frac{6}{6 \ – \ x}\) là số tự nhiên nên \(6 \ – \ x\) phải là số tự nhiên và là ước của \(6\).

\(\Rightarrow 6 \ – \ x \in \{1; 2; 3; 6\}\)

Ứng với \(6 \ – \ x = 1 \Rightarrow x = 5 \in \mathbb{N}\) thoả mãn.

Ứng với \(6 \ – \ x = 2 \Rightarrow x = 4 \in \mathbb{N}\) thoả mãn.

Ứng với \(6 \ – \ x = 3 \Rightarrow x = 3 \in \mathbb{N}\) thoả mãn.

Ứng với \(6 \ – \ x = 6 \Rightarrow x = 0 \in \mathbb{N}\) thoả mãn.

Vậy \(B = \{0; 3; 4; 5\}\)

\(c)\) Ta có: \(2x \ – \ 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \displaystyle \frac{3}{2}\)

\(7 \ – \ x \geq 2 \Leftrightarrow x \leq 5\)

Suy ra \(\displaystyle \frac{3}{2} \leq x \leq 5\)

\(\Rightarrow C = \{x| x \in \mathbb{N}, \displaystyle \frac{3}{2} \leq x \leq 5\}\)

Vậy \(C = \{2; 3; 4; 5\}\)

\(d)\) Có \(x + 2y = 8 \Rightarrow x = 8 \ – \ 2y\)

Với \(x, y \in \mathbb{N}\) ta có bảng sau:

Vậy \(D = \{(8; 0); (6; 1); (4; 2); (2; 3); (0; 4)\}\)

\(\)

Bài \(9\). Cho hai tập hợp \(A = \{2k + 1|k \in \mathbb{Z}\}\) và \(B = \{6l + 3| l \in \mathbb{Z}\}\). Chứng minh rằng \(B \subset A\).

Trả lời:

Để chứng minh \(B \subset A\), ta chứng minh mọi phần tử của\(B\) đều là phần tử của \(A\).

Lấy phần tử \(x\) tùy ý thuộc \(B\). Ta có: \(x = 6l + 3, l \in \mathbb{Z}\)

\(\Rightarrow x = 6l + 3 = 2 . (3l + 1) + 1 = 2k + 1\) với \(k = 3l + 1 \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(x \in A\)

Vậy với mọi \(x \in B\) ta cũng có \(x \in A\)

Do đó \(B \subset A\)

\(\)

Bài \(10\). Cho hai tập hợp \(A = \{1; 2; a\}\) và \(B = \{1; a^2\}\). Tìm tất cả các giá trị của \(A\) sao cho \(B \subset A\).

Trả lời:

Ta có: \(B \subset A\) \(\Leftrightarrow\) Mọi phần tử của tập \(B\) đều là phần tử của tập \(A\).

Tập \(A\) có ba phần tử là \(1; 2; a\).

Tập \(B\) có hai phần tử là \(1; a^2\).

Để \(B \subset A\) thì \(a^2 \in A\) hay:

\(\begin{equation} \left[\begin{array}{II}a^2 = 1 \Leftrightarrow a = \{\pm 1\}\\a^2 = 2 \Leftrightarrow a = \{\pm \sqrt{2}\}\\a^2 = a \Leftrightarrow a = \{0; 1\} \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy tập hợp các giá trị của \(a\) để \(B \subset A\) là:

\(\{\ – \ \sqrt{2}; \ – \ 1; 0; 1; \sqrt{2}\}\).

Bài 2. Tập hợp Bài 2. Tập hợp Bài 2. Tập hợp Bài 2. Tập hợp Bài 2. Tập hợp Bài 2. Tập hợp

Bài 2. Tập hợp Bài 2. Tập hợp Bài 2. Tập hợp Bài 2. Tập hợp Bài 2. Tập hợp Bài 2. Tập hợp

Xem bài giải trước: Bài 1 – Mệnh đề
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3 – Các phép toán trên tập hợp
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech