Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài \(2\). Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trang \(28\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau đây:
\(a)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} x + y \ – \ 4 \leq 0\\x \geq 0\\y \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\).
\(b)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} x + 2y \ – \ 5 < 0\\ 0 \leq x \leq 3\\y \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\).

Trả lời:

\(a)\) Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho, ta biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ trên mặt phẳng \(Oxy\) và xét phần giao.

\(+)\) Vẽ đường thẳng \(x + y \ – \ 4 = 0\) đi qua hai điểm \((0; 4)\) và \((4; 0)\).

Xét gốc tọa độ \(O(0; 0)\) không thuộc đường thẳng \(x + y \ – \ 4 = 0\), ta có: \(0 + 0 \ – \ 4 = \ – \ 4 < 0\).

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \ – \ 4 \leq 0\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(x + y \ – \ 4 = 0\), chứa điểm \(O\), kể cả đường thẳng \(x + y \ – \ 4 = 0\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(x \geq 0\) chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(Oy\), nằm bên phải trục \(Oy\), bao gồm cả đường thẳng \(Oy\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(y \geq 0\) chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(Ox\), nằm bên trên trục \(Ox\), bao gồm cả đường thẳng \(Ox\).

Vậy miền không bị tô màu (kể cả bờ) trong hình dưới là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

\(b)\) Ta có: \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} x + 2y \ – \ 5 < 0\\ 0 \leq x \leq 3\\y \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\) \(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} x + 2y \ – \ 5 < 0\\ x \geq 0\\x \leq 3\\ y \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\).

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, ta biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ trên mặt phẳng \(Oxy\) và xét phần giao.

\(+)\) Vẽ đường thẳng \(x + 2y \ – \ 5 = 0\) đi qua hai điểm \((0; 5)\) và \((5; 0)\).

Xét gốc tọa độ \(O\) không thuộc đường thẳng \(x + 2y \ – \ 5 = 0\), ta có: \(0 + 2 . 0 \ – \ 5 = \ – \ 5 < 0\).

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x + 2y \ – \ 5 < 0\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(x + 2y \ – \ 5 = 0\), chứa điểm \(O\), không kể đường thẳng \(x + 2y \ – \ 5 = 0\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(x \geq 0\) chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(Oy\), nằm bên phải trục \(Oy\), bao gồm cả đường thẳng \(Oy\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(x \leq 3\) chính là nửa mặt có bờ là đường thẳng \(x = 3\) song song với trục \(Oy\) và nằm bên trái đường thẳng \(x = 3\), bao gồm cả đường thẳng \(x = 3\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(y \geq 0\) chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(Ox\), nằm bên trên trục \(Ox\), bao gồm cả đường thẳng \(Ox\).

Vậy miền không bị tô màu (kể cả bờ là một phần đường thẳng \(x = 3\), một phần đường thẳng \(x= 0\), một phần đường thẳng \(y = 0\) và không kể đường thẳng \(x + 2y \ – \ 5 = 0\)) trong hình dưới là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

\(\)

Bài \(2\). Bạn Bích có \(500 g\) bột gạo để pha hai loại nước hồ tráng bánh đa và bánh xèo. Một lít nước hồ tráng bánh đa cần \(200 g\) bột gạo, còn một lít nước hồ tráng bánh xèo chỉ cần \(100g\) bột gạo. Gọi \(x, y\) lần lượt là số lít nước hồ tráng bánh đa và bánh xèo. Hãy lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của \(x; y\) và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Trả lời:

Vì \(x, y\) lần lượt là số lít nước hồ tráng bánh đa và bánh xèo nên \(x \geq 0, y \geq 0\).

Để pha được \(x\) lít nước hồ tráng bánh đa thì cần \(200x (g)\) bột gạo.

Để pha được \(y\) lít nước hồ tráng bánh xèo thì cần \(100y (g)\) bột gạo.

Do Bích có \(500g\) bột gạo nên \(200x + 100y \leq 500 \Leftrightarrow 2x + y \leq 5\)

Do đó ta có hệ bất phương trình mô tả điều kiện của \(x, y\) là:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}2x + y \leq 5\\x \geq 0\\y \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\).

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, ta biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ trên mặt phẳng \(Oxy\) và xét phần giao.

\(+)\) Vẽ đường thẳng \(2x + y = 5\) đi qua hai điểm \((0; 5)\) và \(\left(\displaystyle \frac{5}{2}; 0\right)\).

Xét gốc tọa độ \(O\) không thuộc đường thẳng \(2x + y = 5\), ta có: \(2 . 0 + 0 = 0 < 5\).

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \leq 5\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(2x + y = 5\), chứa điểm \(O\), kể cả đường thẳng \(2x + y = 5\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(x \geq 0\) chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(Oy\), nằm bên phải trục \(Oy\), bao gồm cả đường thẳng \(Oy\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(y \geq 0\) chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(Ox\), nằm phía trên trục \(Ox\), bao gồm cả đường thẳng \(Ox\).

Vậy miền không bị tô màu bao gồm cả các cạnh trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

\(\)

Bài \(3\). Một bãi đậu xe ban đêm có diện tích đậu xe là \(150 m^2\) (không tính lối đi cho xe ra vào). Cho biết xe du lịch cần diện tích \(3m^2\)/chiếc và phải trả phí \(40\) nghìn đồng, xe tải cần diện tích \(5 m^2\)/ chiếc và phải trả phí \(50\) nghìn đồng. Nhân viên quản lí không thể phục vụ quá \(40\) xe một đêm. Hãy tính số lượng xe mỗi loại mà chủ bãi xe có thể cho đăng kí đậu xe để có doanh thu cao nhất.

Trả lời:

Gọi \(x, y\) lần lượt là số xe du lịch, số xe tải mà chủ bãi xe nên cho đậu một đêm.

Có \(x \geq 0, y \geq 0\)

Nhân viên quản lí không thể phục vụ quá \(40\) xe một đêm nên \(x + y \leq 40\).

Diện tích cần dùng để đỗ \(x\) xe du lịch là: \(3x (m^2)\)

Diện tích cần dùng để đỗ \(y\) xe tải là: \(5y (m^2)\).

Do bãi đậu xe có diện tích đậu xe là \(150 m^2\) (không tính lối đi cho xe ra vào).

Suy ra \(3x + 5y \leq 150\).

Ta có hệ bất phương trình sau:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x + y \leq 40\\3x + 5y \leq 150\\x \geq 0\\y \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, ta biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ trên mặt phẳng Oxy và xét phần giao.

\(+)\) Vẽ đường thẳng \(x + y = 40\) đi qua hai điểm \((0; 40)\) và \((40; 0)\).

Xét gốc tọa độ \(O\) không thuộc đường thẳng \(x + y = 40\), ta có: \(0 + 0 = 0 < 40\).

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \leq 40\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(x + y = 40\), chứa điểm \(O\), kể cả đường thẳng \(x + y = 40\).

\(+)\) Vẽ đường thẳng \(3x + 5y = 150\) đi qua hai điểm \((0; 30)\) và \((50; 0)\).

Xét gốc tọa độ \(O\) không thuộc đường thẳng \(3x + 5y = 150\), ta có: \(3 . 0 + 4 . 0 = 0 < 150\).

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 5y \leq 150\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x + 5y = 150\), chứa điểm \(O\), kể cả đường thẳng \(3x + 5y = 150\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(x \geq 0\) chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(Oy\), nằm bên phải trục \(Oy\), bao gồm cả đường thẳng \(Oy\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(y \geq 0\) chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(Ox\), nằm phía trên trục \(Ox\), bao gồm cả đường thẳng \(Ox\).

Miền không bị tô màu bao gồm cả các cạnh trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiện của hệ bất phương trình trên.

Do đó miền nghiệm của hệ bất phương trình trên chính là miền tứ giác \(OABC\) (kể cả bờ) với \(O(0; 0), A(0; 30), B(25; 15), C(40; 0)\).

Khi đó, số tiền chủ bãi xe thu được khi cho đậu \(x\) xe du lịch và \(y\) xe tải là \(F = 40x + 50y\) (nghìn đồng).

Người ta chứng minh được rằng \(F\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác \(OABC\).

Ta có: \(F(0; 0) = 40 . 0 + 50 . 0 = 0\);

\(F(0; 30) = 40 . 0 + 50 . 3 = 150\);

\(F(25; 15) = 40 . 25 + 50 . 15 = 1750\);

\(F(40; 0) = 40 . 40 + 50 . 0 = 1600\).

Do đó, \(F\) đạt giá trị lớn nhất là \(1750\) (nghìn đồng) tại \((x; y) = (25; 15)\).

Vậy để có doanh thu cao nhất, chủ bãi xe có thể cho đăng kí \(25\) chiếc xe du lịch và \(15\) chiếc xe tải.

\(\)

Bài \(4\). Cho biết mỗi kilôgam thịt bò giá \(250\) nghìn đồng, trong đó có chứa khoảng \(800\) đơn vị protein và \(100\) đơn vị lipit, mỗi kilôgam thịt heo có giá \(200\) nghìn đồng, trong đó có chứa khoảng \(600\) đơn vị protein và \(200\) đơn vị lipit. Một gia đình cần ít nhất \(800\) đơn vị protein và \(200\) đơn vị lipit trong khẩu phần thức ăn mỗi ngày và họ chỉ có thể mua một ngày không quá \(1 kg\) thịt bò và \(1,5 kg\) thịt heo. Hỏi gia đình này phải mua bao nhiêu kilôgam thịt mỗi loại để chi phí là ít nhất?

Trả lời:

Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số kilôgam thịt bò và thịt heo có thể mua.

Vì gia đình đó chỉ có thể mua một ngày không quá \(1 kg\) thịt bò và \(1,5 kg\) thịt heo.

Suy ra \(0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1,5\).      

Trong \(x\) kilôgam thịt bò chứa khoảng \(800x\) đơn vị protein, \(100x\) đơn vị lipit.

Trong \(y\) kilôgam thịt heo chứa khoảng \(600y\) đơn vị protein, \(200y\) đơn vị lipit.

Gia đình cần ít nhất \(800\) đơn vị protein và \(200\) đơn vị lipit trong khẩu phần thức ăn mỗi ngày nên ta có: \(800x + 600y \geq 800 \Leftrightarrow 4x + 3y \geq 4\);

\(100x + 200y \geq 200 \Leftrightarrow x + 2y \geq 2\).

Kết hợp lại, ta có hệ bất phương trình sau:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}4x + 3y \geq 4\\x + 2y \geq 2\\x \geq 0\\x \leq 1\\y \geq 0\\y \leq 1,5 \end{array} \right. \end{equation}\).

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, ta biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ trên mặt phẳng \(Oxy\) và xét phần giao.

\(+)\) Vẽ đường thẳng \(4x + 3y = 4\) đi qua hai điểm \(\left(0; \displaystyle \frac{4}{3}\right)\) và \((1; 0)\).

Xét gốc tọa độ \(O\) không thuộc đường thẳng \(4x + 3y = 4\), ta có: \(4 . 0 + 3 . 0 = 0 < 4\).

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(4x + 3y \geq 4\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(4x + 3y = 4\), không chứa điểm \(O\), kể cả đường thẳng \(4x + 3y = 4\).

\(+)\) Vẽ đường thẳng \(x + 2y = 2\) đi qua hai điểm \((0; 1)\) và \((2; 0)\).

Xét gốc tọa độ \(O\) không thuộc đường thẳng \(x + 2y = 2\), ta có: \(0 + 2 . 0 = 0 < 2\).

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x + 2y \geq 2\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(x + 2y = 2\), không chứa điểm \(O\), kể cả đường thẳng \(x + 2y = 2\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(x \geq 0\) chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(Oy\), nằm bên phải trục \(Oy\), bao gồm cả đường thẳng \(Oy\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(x \leq 1\) chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(x = 1\), nằm bên trái đường thẳng \(x = 1\), bao gồm cả đường thẳng \(x = 1\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(y \geq 0\) chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(Ox\), nằm phía trên trục \(Ox\), bao gồm cả đường thẳng \(Ox\).

\(+)\) Miền nghiệm của bất phương trình \(y \leq 1,5\) chính là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(y = 1,5\) nằm phía dưới đường thẳng \(y = 1,5\) bao gồm cả đường thẳng \(y = 1,5\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên chính là miền ngũ giác \(ABCDE\) (kể cả bờ) với tọa độ các đỉnh là: \(A\left(0; \displaystyle \frac{4}{3}\right), B(0; 1,5), C(1; 1,5), D(1; 0,5), E(0,4; 0,8)\).

Số tiền gia đình đó cần bỏ ra để mua được \(x\) kilôgam thịt bò và \(y\) kilôgam thịt heo là

\(F = 250x + 200y\) (nghìn đồng).

Người ta chứng minh được rằng, \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác \(ABCDE\).

Ta có: \(F(A) = F\left(0; \displaystyle \frac{4}{3}\right) = 250. 0 + 200. \displaystyle \frac{4}{3} = \displaystyle \frac{800}{3}\)

\(F(B) = F(0; 1,5) = 250. 0 + 200. 1,5 = 300\)

\(F(C) = F(1; 1,5) = 250. 1 + 200. 1,5 = 550\)

\(F(D) = F(1; 0,5) = 250. 1 + 200. 0,5 = 350\)

\(F(E) = F(0,4; 0,8) = 250. 0,4 + 200. 0,8 = 260\)

Do đó, \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(260\) nghìn đồng tại đỉnh \(E(0,4; 0,8)\)

Vậy gia đình đó cần mua \(0,4\) kg thịt bò và \(0,8\) kg thịt lợn để chi phí là ít nhất.

Bài 2 – Hệ bất phương trình Bài 2 – Hệ bất phương trình Bài 2 – Hệ bất phương trình Bài 2 – Hệ bất phương trình Bài 2 – Hệ bất phương trình Bài 2 – Hệ bất phương trình

Xem bài giải trước: Bài 1 – Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương II
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech