Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài \(2\). Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trang \(25\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Kiểm tra xem mỗi cặp số \((x, y)\) đã cho có là nghiệm của hệ bất phương trình tương ứng không?
\(a)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} 3x + 2y \geq \ – \ 6\\ x + 4y > 4 \end{array} \right. \end{equation} (0; 2), (1; 0)\);
\(b)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} 4x + y \leq \ – \ 3 \\ \ – \ 3x + 5y \geq \ – \ 12 \end{array} \right. \end{equation} (\ – \ 1; \ – \ 3), (0; \ – \ 3)\).

Trả lời:

\(a)\) Thay \(x = 0, y = 2\) vào hệ \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} 3x + 2y \geq \ – \ 6\\ x + 4y > 4 \end{array} \right. \end{equation}\) ta được:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}3. 0 + 2. 2 \geq \ – \ 6 (\text{ Đúng }) \\ 0 + 4. 2 > 4 (\text{ Đúng }) \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy \((0; 2)\) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Thay \(c = 1, y = 0\) vào hệ \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} 3x + 2y \geq \ – \ 6\\ x + 4y > 4 \end{array} \right. \end{equation}\) ta được:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}3. 1 + 2. 0 \geq \ – \ 6 (\text{ Đúng }) \\ 1 + 4. 0 > 4 (\text{ Vô lý }) \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy \((1; 0)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

\(b)\) Thay \(x = \ – \ 1, y = \ – \ 3\) vào hệ \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} 4x + y \leq \ – \ 3 \\ \ – \ 3x + 5y \geq \ – \ 12 \end{array} \right. \end{equation}\) ta có:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}4. (\ – \ 1) + (\ – \ 3) \leq \ – \ 3 (\text{ Đúng }) \\\ – \ 3. (\ – \ 1) + 5. (\ – \ 3) \geq \ – \ 12 (\text{ Đúng }) \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy \((\ – \ 1; \ – \ 3)\) là nghiệm của hệ đã cho.

Thay \(x = 0, y = \ – \ 3\) vào hệ \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} 4x + y \leq \ – \ 3 \\ \ – \ 3x + 5y \geq \ – \ 12 \end{array} \right. \end{equation}\) ta có:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}4. 0 + (\ – \ 3) \leq \ – \ 3 \text{ Đúng } \\ – \ 3. 0 + 5. (\ – \ 3) \geq \ – \ 12 \text{ Sai } \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy \((0; \ – \ 3)\) không là nghiệm của hệ đã cho.

\(\)

Bài \(2\). Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:
\(a)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} x + 2y < \ – \ 4\\y \geq x + 5 \end{array} \right. \end{equation}\);
\(b)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}4x \ – \ 2y > 8\\x \geq 0\\y \leq 0 \end{array} \right.\end{equation}\).

Trả lời:

\(a)\) Trong cùng mặt phẳng tọa độ \((Oxy)\), vẽ hai đường thẳng \(d_1: x + 2y = \ – \ 4\) và \(d_2: y = x + 5\)

Xét gốc tọa độ \(O(0; 0)\) không thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ lần lượt là những nửa mặt phẳng không bị tô màu không chứa điểm \(O(0; 0)\)

Phần không bị tô màu (không chứa điểm \(O\)) kể cả bờ \(d_2\) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

\(b)\) Trong cùng mặt phẳng tọa độ \((Oxy)\), vẽ hai đường thẳng \(d_1: 4x \ – \ 2y = 8; d_2: x = 0; d_3 : y = 0\)

Xét điểm \(A(\ – \ 2; 2)\) không thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ lần lượt là những nửa mặt phẳng không bị tô màu không chứa điểm \(M(\ – \ 2; 2)\) (kể cả hai trục tọa độ \(Ox, Oy\), không kể đường thẳng \(d_1\)).

Phần không bị tô màu (không chứa điểm \(A\)) chứa một phần trục tung, trục hoành, không kể cả bờ \(d_1\) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

\(\)

Bài \(3\). Miền không bị gạch ở mỗi Hình \(12a, 12b\) là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào cho ở dưới đây?

\(a)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x + y < 2\\x > \ – \ 3\\y \geq \ – \ 1 \end{array} \right.\end{equation}\).
\(b)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}y < x \\x \leq 0\\y > \ – \ 3 \end{array} \right.\end{equation} \);
\(c)\) \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}y > \ – \ x + 1\\x \leq 2\\y < 1 \end{array} \right.\end{equation}\).

Trả lời:

\(a)\) Gọi tên các đường thẳng trong hình như sau:

Đường thẳng \(d_1\) đi qua điểm \((2; 0)\) và song song với trục tung nên \(d_1\) có phươmg trình: \(x = 2\)

Đường thẳng \(d_2\) đi qua điểm \((0; 1)\) và song song với trục hoành nên \(d_2\) có phương trình: \(y = 1\)

Gọi \(d_3: y = ax + b (a \neq 0)\)

Ta thấy \(d_3\) đi qua hai điểm \((0; 1)\) và \((1; 0)\) nên thay tọa độ hai điểm vào phương trình \(d_3\) ta được:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}1 = b \\0 = a + b \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} b = 1 \\ a = \ – \ 1 (\text{ Thỏa mãn }) \end{array} \right. \end{equation}\)

Khi đó \(d_3: y = \ – \ x + 1\)

Do đó, miền không gạch sọc trên hình là miền nghiệm của hệ \(c)\):

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}y > \ – \ x + 1\\x \leq 2 \\y < 1 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(b)\) Gọi tên các đường thẳng trong hình như sau:

Khi đó ta có:

\(d_4: x = \ – \ 3\)

\(d_5: y = \ – \ 1\)

Giả sử \(d_6: y = ax + b (a \neq 0)\)

\(d_6\) đi qua hai điểm \((2; 0)\) và \((0; 2)\) nên ta có hệ sau:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}0 = 2a + b\\b = 2 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = \ – \ 1 (\text{ Thỏa mãn })\\b = 2 \end{array} \right. \end{equation}\)

Khi đó phương trình \(d_6: y = \ – \ x + 2 \)

\(\Leftrightarrow x + y = 2\)

Do đó, phần không gạch sọc trên hình chính là miền nghiệm của hệ \(a)\):

\(\begin{equation} \left \{\begin{array}{II} x + y < 2\\x > \ – \ 3\\y \geq \ – \ 1 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\)

Bài \(4\). Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất kiểu mũ thứ hai thì trong một giờ phân xưởng làm được \(60\) chiếc. Phân xưởng làm việc \(8\) tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là \(200\) chiếc mũ kiểu thứ nhất và \(240\) chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là \(24\) nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là \(15\) nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.

Trả lời:

Gọi \(x, y\) (chiếc) lần lượt là số mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất (\(x \in \mathbb{N}, y \in \mathbb{N}\)).

Khi đó, tổng số tiền lãi thu được là:
\(T = 24x + 15y\) (nghìn đồng)

Theo bài ra ta có:

Thời gian để sản xuất một chiếc mũ kiểu thứ hai là: \(\displaystyle \frac{1}{60}\) (giờ).

Thời gian để sản xuất một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai nên thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất là: \(2. \displaystyle \frac{1}{60} = \displaystyle \frac{1}{30}\) (giờ).

Do đó, tổng thời gian để sản xuất \(x\) chiếc mũ kiểu thứ nhất, \(y\) chiếc mũ kiểu thứ hai là:

\(\displaystyle \frac{1}{30}x + \displaystyle \frac{1}{60} y\) (giờ)

Một ngày phân xưởng làm việc \(8\) tiếng nên ta có:

\(\displaystyle \frac{1}{30} x + \displaystyle \frac{1}{60} y \leq 8\)

\(\Leftrightarrow 2x + y \leq 480\)

Vậy bài toán đã cho đưa về: Tìm \(x, y\) là nghiệm của hệ bất phương trình

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}2x + y \leq 480\\0 \leq x \leq 200\\0 \leq y \leq 240 \end{array} \right.\end{equation}\) sao cho \(T = 24x + 15y\) lớn nhất.

Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị tô màu (kể cả biên) hay chính là miền ngũ giác \(OABCD\) với \(O(0; 0), A(0; 240), B(120; 240), C(200; 80), D(200; 0)\).

Biểu thức \(T = 24x + 15y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác \(OABCD\).

Tính giá trị của \(T\) tại các cặp số \((x; y)\) là tọa độ các đỉnh của ngũ giác \(OABCD\).

\(+)\) Tại \(O: T(O) = 24. 0 + 15. 0 = 0\);
\(+)\) Tại \(A: T(A) = 24. 0 + 15. 240 = 3600\);
\(+)\) Tại \(B: T(B) = 24. 120 + 15. 240 = 6480\);
\(+)\) Tại \(C: T(C) = 24. 200 + 15. 80 = 6000\);
\(+)\) Tại \(D: T(D) = 24. 200 + 15. 0 = 4800\).

Ta thấy, \(T\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(6480\) tại \((x; y) = (120; 240)\) ứng với tọa độ đỉnh \(B\).

Vậy để tiền lãi thu được là cao nhất, trong một ngày xưởng cần sản xuất \(120\) chiếc mũ kiểu thứ nhất và \(240\) chiếc mũ kiểu thứ hai.

Xem bài giải trước: Bài 1 – Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương II
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech