Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Chương \(II\) – Bài \(2\) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trang \(33\) SGK Toán Lớp \(10\) Tập \(1\) NXB Chân trời sáng tạo. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau :

\(a) \left \{\begin{matrix} x + y \ – \ 3 \geq 0\\ x \geq 0\\ y \geq 0 \end{matrix} \right.\)

\(b) \left \{\begin{matrix} x \ – \ 2y \ < 0\\ x + 3y > \ – \ 2\\ y \ – \ x < 3 \end{matrix} \right.\)

\(c) \left \{\begin{matrix} x \geq 1\\ x \leq 4\\ x + y \ – \ 5 \leq 0\\ y \geq 0 \end{matrix} \right.\)

Trả lời:

\(a)\) Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng \(Oxy\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình: \(x + y \ – \ 3 \geq 0\)

Vẽ đường thẳng \(d_1: x + y \ – \ 3 = 0\)

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0) \notin d_1\) ta có: \( 0 + 0 \ – \ 3 = \ – \ 3 < 0 \)

Do đó miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \ – \ 3 \geq 0\) là nửa mặt phẳng có cả bờ \(d_1\) không chứa gốc toạ độ \(O\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình: \(x \geq 0\)

Tương tự ta xác định được miền nghiệm của bất phương trình \(x \geq 0\) là nửa mặt phẳng bên phải trục \(Oy\) chứa cả bờ \(Oy\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình: \(y \geq 0\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(y \geq 0\) là nửa mặt phẳng phía trên trục \(Ox\) chứa cả bờ \(Ox\).

Vậy, miền không tô màu trong hình sau (bao gồm cả các bờ) là phần giao các miền nghiệm của các bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

\(b)\) Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng \(Oxy\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình: \(x \ – \ 2y < 0\)

Vẽ đường thẳng \(d_1: x \ – \ 2y = 0\)

Xét điểm \(A(0; 1) \notin d_1\) ta có: \( 0 \ – \ 2.1 = \ – \ 2 < 0\)

Do đó miền nghiệm của bất phương trình \(x \ – \ 2y \ < 0\) là nửa mặt phẳng không chứa bờ \(d_1\) có chứa điểm \(A(0;1)\)

Xác định miền nghiệm của bất phương trình: \(x + 3y >\ – \ 2\)

Vẽ đường thẳng \(d_2\): \(x + 3y = \ – \ 2\)

Xét điểm \(O(0; 0) \notin d_2\) ta có: \(0 + 3.0 = 0 > \ – \ 2\)

Do đó miền nghiệm của bất phương trình \(x + 3y > \ – \ 2\) là nửa mặt phẳng không chứa bờ \(d_2\) và có chứa gốc toạ độ \(O\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình: \(y \ – \ x < 3\)

Xét điểm \(O(0; 0) \notin d_3: y \ – \ x = 3\) ta có \(0 \ – \ 0 = 0 < 3\)

Do đó miền nghiệm của bất phương trình \(y \ – \ x < 3\) là nửa mặt phẳng không chứa bờ \(d_3\) có chứa gốc toạ độ \(O\).

Vậy, miền không tô màu trong hình sau (không bao gồm cả các bờ) là phần giao các miền nghiệm của các bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

\(c)\) Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng \(Oxy\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình: \(x \geq 1\)

Vẽ đường thẳng \(d_1: x = 1\)

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0) \notin d_1\) và \(0 < 1\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(x \ \geq 1\) là nửa mặt phẳng chứa bờ \(d_1\) không chứa gốc toạ độ \(O\)

Xác định miền nghiệm của bất phương trình: \(x \leq 4\)

Vẽ đường thẳng \(d_2\): \(x = 4\)

Xét điểm \(O(0; 0) \notin d_2\) ta có: \(0 < 4\)

Do đó miền nghiệm của bất phương trình \(x \leq 4\) là nửa mặt phẳng chứa bờ \(d_2\) và có chứa gốc toạ độ \(O\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình: \(x + y \ – \ 5 \leq 0\)

Vẽ đường thẳng \(d_3: x + y \ – \ 5 = 0\)

Xét điểm \(O(0; 0) \notin d_3\) ta có \(0 + 0 \ – \ 5 = \ – \ 5 < 0\)

Do đó miền nghiệm của bất phương trình \(y \ – \ x < 3\) là nửa mặt phẳng chứa bờ \(d_3\) và có chứa gốc toạ độ \(O\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình: \(y \geq 0\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(y \geq 0\) là nửa mặt phẳng phía trên trục \(Ox\) chứa cả bờ \(Ox\).

Vậy, miền không tô màu trong hình (miền tứ giác \(ABCD\) bao gồm cả các cạnh là phần giao các miền nghiệm của các bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

\(\)

Bài \(2\). Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là \(A\) và \(B\). Cứ sản xuất mỗi thùng loại \(A\) thì nhà máy thải ra \(0,25\) kg khí carbon dioxide \(CO_2\) và \(0,6\) kg khí sulfur dioxide \(SO_2\), sản xuất mỗi thùng loại \(B\) thì thải ra \(0,5\) kg \(CO_2\) và\(0,2\) kg \(SO_2\). Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng \(CO_2\) của nhà máy tối đa là \(75\) kg và \(SO_2\) tối đa là \(90\) kg mỗi ngày.

a) Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ.

b) Việc nhà máy sản xuất \(100\) thùng loại \(A\) và \(80\) thùng loại \(B\) mỗi ngày có phù hợp với quy định không ?

c) Việc nhà máy sản xuất \(60\) thùng loại \(A\) và \(160\) thùng loại \(B\) mỗi ngày có phù hợp với quy định không ?

Trả lời:

Gọi \(x; y\) lần lượt là số thùng thuốc trừ sâu loại \(A; B\) mà nhà máy sản xuất được mỗi ngày.

Ta có: \(x; y \in \mathbb{N}\) và \(x \geq 0; y \geq 0\).

Khi đó lượng khí \(CO_2\) mà nhà máy thải ra mỗi ngày khi sản xuất mỗi loại thuốc trừ sâu \(A; B\) lần lượt là \( 0,25x\) và \(0,5y\)

Lượng khí \(SO_2\) mà nhà máy thải ra mỗi ngày khi sản xuất mỗi loại thuốc trừ sâu \(A; B\) lần lượt là \(0,6x\) và \(0,2y\).

Do quy định hạn chế sản lượng \(CO_2\) của nhà máy tối đa là \(75\) kg và \(SO_2\) tối đa là \(90\) kg mỗi ngày nên ta có các bất phương trình sau:

\(0,25x + 0,5y \leq 75\) và \(0,6x + 0,2y \leq 90\).

Kết hợp lại ta có hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên như sau:

\(\left \{ \begin{matrix} x \geq 0\\ y \geq 0\\ 0,25x + 0,5y \leq 75\\ 0,6x + 0,2y \leq 90 \end{matrix} \right.\)

Ta biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên hệ trục toạ độ \(Oxy\) ta được hình sau đây.

Miền không gạch chéo (miền tứ giác \(OABC\), gồm cả các cạnh) trong hình dưới là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.

\(b)\) Nhà máy sản xuất \(100\) thùng loại \(A\) và \(80\) thùng loại \(B\) mỗi ngày tương ứng với \(x = 100; y = 80\).

Với \(x = 100; y= 80\) ta có: \(\left \{\begin{matrix} 100 \geq 0\\ 90 \geq 0\\ 0,25.100 + 0,5.80 = 65 \leq 75\\ 0,6.100 + 0,2.80 = 76 \leq 90 \end{matrix} \right.\) luôn đúng nên cặp số \((x; y) = ( 100; 80)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình.

Do đó, việc nhà máy sản xuất \(100\) thùng loại \(A\) và \(80\) thùng loại \(B\) mỗi ngày là phù hợp với quy định.

\(c)\) Nhà máy sản xuất \(60\) thùng loại \(A\) và \(160\) thùng loại \(B\) mỗi ngày tương ứng với \(x = 60; y = 160\).

Ta thấy: \(0,25.60 + 0,5. 160 = 95 > 75\) nên việc nhà máy sản xuất \(60\) thùng loại \(A\) và \(160\) thùng loại \(B\) mỗi ngày vượt quá quy định hạn chế sản lượng \(CO_2\) tối đa.

Do đó, việc nhà máy sản xuất \(60\) thùng loại \(A\) và \(160\) thùng loại \(B\) mỗi ngày là không phù hợp với quy định.

\(\)

Bài \(3\). Bạn Lan thu xếp được không quá \(10\) giờ để làm hai loại đèn trung thu tặng cho các trẻ em khuyết tật. Loại đèn hình con cá cần \(2\) giờ để làm xong \(1\) cái, còn loại đèn ông sao chỉ cần \(1\) giờ để làm xong \(1\) cái. Gọi \(x, y\) lần lượt là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm. Hãy lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của \(x, y\) và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Trả lời: Ta có các bất phương trình mô tả điều kiện của \(x; y\) như sau:

\(x; y\) là số đèn nên \(x \geq 0; y \geq 0\)
Lan có không quá \(10\) giờ để làm nên \(2x + y \leq 10\)

Kết hợp lại ta có hệ phương trình sau:

\(\left \{\begin{matrix} x \geq 0\\ y \geq 0\\ 2x + y \leq 10 \end{matrix} \right.\) với \(x; y \in \mathbb{N}\)

Ta biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng \(Oxy\) ta được hình sau:

Miền không gạch chéo (miền tam giác \(OAB\), bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.
\(\)

Bài \(4\). Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân làm bằng tay để bán trong một hội chợ Tết. Cần \(2\) giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá \(10\) nghìn đồng và \(3\) giờ để vẽ một tấm thiệp loại lớn có giá \(20\) nghìn đồng. Học sinh này chỉ có \(30\) giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất \(12\) tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất?

Trả lời:

Gọi \(x; y\) lần lượt là số tấm thiệp loại nhỏ, loại to mà bạn học sinh vẽ được.

Theo bài ra ta có:

\(x \geq 0; y \geq 0\)

Có \(30\) giờ để vẽ nên \(2x + 3y \leq 30\)

Yêu cầu ít nhất \(12\) tấm nên \(x + y \geq 12\)

Kết hợp lại ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left \{\begin{matrix} x \geq 0\\ y \geq 0\\2x + 3y \leq 30\\ x + y \geq 12 \end{matrix} \right.\) với \(x; y \in \mathbb{N}\).

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ trên mặt phẳng \(Oxy\) ta được hình sau:

Miền không gạch chéo (miền tam giác \(ABC\), bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.

Ta có các đỉnh \(A, B, C\) với toạ độ như sau: \(A(12; 0); B(6; 6); C(15; 0)\)

Gọi \(T\) là số tiền (nghìn đồng) thu được của bạn học sinh.

\(\Rightarrow T = 10x + 20y\) (nghìn đồng)

Tính giá trị của \(T\) tại các đỉnh của tam giác \(ABC\):

Tại \(A: T = 10.12 + 20.0 = 120\) (nghìn đồng)

Tại \(B: T = 10.6 + 20. 6 = 180\) (nghìn đồng)

Tại \(C: T = 10.15 + 20.0 = 150\) (nghìn đồng)

Ta thấy \(T\) đạt giá trị lớn nhất là \(180\) tại \(B(6; 6)\).

Vì vậy bạn học sinh cần vẽ \(6\) tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.

\(\)

Bài \(5\). Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa \(12\) giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn: đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao \(350\) calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao \(700\) calo với chi phí \(50 000\) đồng/giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá \(7 000\) calo một tuần. Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai trường hợp sau:

\(a)\) Mạnh muốn chi phí luyện tập là ít nhất.

\(b)\) Mạnh muốn số calo tiêu hao là nhiều nhất.

Trả lời: Gọi \(x; y\) lần lượt là số giờ đạp xe và số giờ tập tạ trong một tuần của Mạnh.

Ta có: \( x \geq 0; y \geq 0\)

Số giờ tập thể dục tối đa là \(12\) giờ nên: \( x + y \leq 12\)

Lượng calo tiêu thụ không vượt quá \(7000\) calo nên: \(350x + 700y \leq 7000\)

Kết hợp lại ta có hệ phương trình sau:

\(\left \{\begin{matrix} x \geq 0\\ y \geq 0\\ x + y \leq 12\\ 350x + 700y \leq 7000 \end{matrix} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ trên mặt phẳng \(Oxy\) ta được hình sau:

Miền không gạch chéo (miền tứ giác \(OABC\), bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.

Ta có các đỉnh \(O, A, B, C\) với toạ độ như sau: \(O(0; 0); A(0; 10); B(4; 8); C(12; 0)\)

\(a)\) Gọi \(T\) là chi phí luyện tập (đơn vị: nghìn đồng) trong một tuần của Mạnh

\(\Rightarrow T = 50y\) (nghìn đồng)

Ta tính giá trị của \(T\) tại các đỉnh của tứ giác \(OABC\):