Bài \(2\). Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng trang \(39\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:
Bài \(1\). Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định \(a, b, c\) lần lượt là hệ số của \(x^2\), hệ số của \(x\) và hệ số tự do.
\(a)\) \(y = \ – \ 3x^2\);
\(b)\) \(y = 2x(x^2 \ – \ 6x + 1)\);
\(c)\) \(y = 4x(2x \ – \ 5)\).
Trả lời:
\(a)\) \(y = \ – \ 3x^2\) là hàm số bậc hai với \(a = \ – \ 3, b = 0, c = 0\)
\(b)\) \(y = 2x(x^2 \ – \ 6x + 1) = 2x^4 \ – \ 12x^2 + 2x\)
Đây không phải hàm số bậc hai (Do bậc của đa thức là \(4\)).
\(c)\) \(y = 4x(2x \ – \ 5) = 8x^2 \ – \ 20x\) là hàm số bậc hai với \(a = 8, b = \ – \ 20, c = 0\).
\(\)
Bài \(2\). Xác định parabol \(y = ax^2 + bx + 4\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) Đi qua điểm \(M(1; 12)\) và \(N(\ – \ 3; 4)\);
\(b)\) Có đỉnh là \((\ – \ 3; \ – \ 5)\).
Trả lời:
\(a)\) Parabol đi qua điểm \(M(1; 12)\) và \(N(\ – \ 3; 4)\) nên tọa độ các điểm thỏa mãn parabol. Ta có hệ sau:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}12 = a. 1^2 + b. 1 + 4\\4 = a. (\ – \ 3)^2 \ – \ 3.b + 4 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a + b = 8\\9a \ – \ 3b = 0 \end{array} \right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}b = 3a\\ a + 3a = 8 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = 2\\b = 6 \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy \(y = 2x^2 + 6x + 4\).
\(b)\) Parabol có đỉnh \(I(\ – \ 3; \ – \ 5)\) nên ta có:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}\ – \ \displaystyle \frac{b}{2a} = \ – \ 3\\a. (\ – \ 3)^2 + b. (\ – \ 3) + 4 = \ – \ 5 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}b = 6a\\9a \ – \ 18a + 4 = \ – \ 5 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = 1 \\b = 6 \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy \(y = x^2 + 6x + 4\)
\(\)
Bài \(3\). Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
\(a)\) \(y = 2x^2 \ – \ 6x + 4\);
\(b)\) \(y = \ – \ 3x^2 \ – \ 6x \ – \ 3\).
Trả lời:
\(a)\) \(y = 2x^2 \ – \ 6x + 4\)
Ta có: \(a = 2, b = \ – \ 6, c = 4, \Delta = (\ – \ 6)^2 \ – \ 4. 2. 4 = 4\)
Tọa độ đỉnh \(I\left(\displaystyle \frac{3}{2}; \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\right)\).
Trục đối xứng \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\)
Giao điểm của parabol với trục tung là \(A(0; 4)\)
Giao điểm của parabol với trục hoành là \(B(1; 0)\) và \(C(2; 0)\).
Điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng là \(D(3; 4)\).
Do \(a = 2 > 0\) nên parabol có bề lõm hướng lên trên.
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số \(y = 2x^2 \ – \ 6x + 4\) như hình dưới:
\(b)\) \(y = \ – \ 3x^2 \ – \ 6x \ – \ 3\)
\(a = \ – \ 3, b = \ – \ 6, c = \ – \ 3,\)
\(\Delta = (\ – \ 6)^2 \ – \ 4. (\ – \ 3).(\ – \ 3) = 0\)
Tọa độ đỉnh \(I(\ – \ 1; 0)\)
Trục đối xứng \(x = \ – \ 1\)
Giao điểm của parabol với trục tung là \(A(0; \ – \ 3)\)
Giao điểm của parabol với trục hoành chính là đỉnh \(I\).
Điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng \(x = \ – \ 1\) là \(B(\ – \ 2; \ – \ 3)\)
Do \(a = \ – \ 3 < 0\) nên parabol có bề lõm hướng xuống dưới.
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số \(y = \ – \ 3x^2 \ – \ 6x \ – \ 3\) như hìn dưới đây:
\(\)
Bài \(4\). Cho đồ thị hàm số bậc hai ở Hình \(15\).
\(a)\) Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số.
\(b)\) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
\(c)\) Tìm công thức xác định hàm số.
Trả lời:
\(a)\) Quan sát ta thấy, trục đối xứng là đường thẳng \(x = 2\) với tọa độ đỉnh \(I(2; \ – \ 1)\)
\(b)\) Ta thấy đồ thị hàm số đi xuống trong khoảng \((\ – \ \infty; 2)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 2)\).
Đồ thị hàm số đi lên trong khoảng \((2; +\infty)\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((2; +\infty)\)
\(c)\) Giả sử hàm số cần tìm có dạng \(y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \((0; 3)\) nên suy ra \(c = 3\)
Khi đó \(y = ax^2 + bx + 3\)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm \((1; 0)\) và \((3; 0)\) nên ta có:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a + b + 3 = 0\\9a + 3b + 3 = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = 1 (\text{ thỏa mãn })\\b = \ – \ 4 \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy \(y = x^2 \ – \ 4x + 3\)
\(\)
Bài \(5\). Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:
\(a)\) \(y = 5x^2 + 4x \ – \ 1\);
\(b)\) \(y = \ – \ 2x^2 + 8x + 6\).
Trả lời:
\(a)\) \(y = 5x^2 + 4x \ – \ 1\)
Ta có: \(a = 5 > 0, b = 4, \ – \ \displaystyle \frac{b}{2a} = \ – \ \displaystyle \frac{4}{2. 5} = \ – \ \displaystyle \frac{2}{5}\)
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left(\ – \ \infty; \ – \ \displaystyle \frac{2}{5}\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(\ – \ \displaystyle \frac{2}{5}; +\infty\right)\).
\(b)\) \(y = \ – \ 2x^2 + 8x + 6\)
Ta có: \(a = \ – \ 2 < 0, b = 8, \ – \ \displaystyle \frac{b}{2a} = \ – \ \displaystyle \frac{8}{2. (\ – \ 2)} = 2\)
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 2)\) và nghịch biến trên khoảng \((2; +\infty)\)
\(\)
Bài \(6\). Khi du lịch đến thành phố St. Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ tọa độ \(Oxy\) sao cho một chân cổng đi qua gốc \(O\) như Hình \(16\) (\(x, y\) tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí tọa độ \((162; 0)\). Biết một điểm \(M\) trên cổng có tọa độ là \((10; 43)\). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Trả lời:
Cổng có dạng parabol hướng bề lõm xuống dưới nên gọi phương trình hàm số có dạng:
\(y = ax^2 + bx + c (a < 0)\).
Chiều cao của cổng chính là tung độ của đỉnh \(I(x_I; y_I)\).
Các điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ lần lượt là \((0; 0); (162; 0); (10; 43)\)
Thay tọa độ các điểm trên vào phương trình hàm số ta được hệ sau:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a. 0^2 + b. 0 + c = 0\\a. 10^2 + b. 10 + c = 43\\a. 162^2 + b. 162 + c = 0 \end{array} \right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}c = 0\\100a + 10b = 43\\162^2a + 162b = 0 \end{array} \right.\end{equation}\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}c = 0\\a = \ – \ \displaystyle \frac{43}{1520}\\b = \displaystyle \frac{3483}{760} \end{array} \right.\end{equation}\)
Khi đó ta được \(y = \ – \ \displaystyle \frac{43}{1520}x^2 + \displaystyle \frac{3483}{760}x\)
Đỉnh \(I\) có hoành độ là:
\(x_I = \ – \ \displaystyle \frac{b}{2a} = 81\)
Suy ra \(y_I = \ – \ \displaystyle \frac{43}{1520}. 81^2 + \displaystyle \frac{3483}{760}. 81 \approx 186\) (m)
Vậy chiều cao của cổng là khoảng \(186\)m.
Bài 2. Hàm số bậc hai Bài 2. Hàm số bậc hai Bài 2. Hàm số bậc hai Bài 2. Hàm số bậc hai
Xem bài giải trước: Bài 1 – Hàm số và đồ thị
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3 – Dấu của tam thức bậc hai
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.