Bài 2. Hàm số bậc hai

Bài \(2\): Hàm số bậc hai trang \(49\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

\(a) y = 9x^2 + 5x + 4\);

\(b) y = 3x^3 + 2x + 1\);

\(c) y = \ – \ 4(x + 2)^3 + 2(2x^3 + 1) + 5\);

\(d) y = 5x^2 + \sqrt{x} + 2\).

Trả lời:

\(a)\) Hàm số \(y = 9x^2 + 5x + 4\) là hàm số bậc hai với \(a = 9; b = 5; c = 4\)

\(b)\) Hàm số \(y = 3x^3 + 2x + 1\) có chứa \(x^3\) nên không phải hàm số bậc hai.

\(c)\) Ta có: \(y = \ – \ 4(x + 2)^3 + 2(2x^3 + 1) + 5\)

\(= \ – \ 4( x^3 + 3x^2.2 + 3x.2^2 + 2^3)+ 4x^3 + 7\)

\(= \ – \ 24x^2 \ – \ 48x \ – \ 25\).

\(\Rightarrow\) Hàm số là hàm số bậc hai với \(a = \ – \ 24; b = \ – \ 48; c = \ – \ 25\).

\(d)\) Hàm số \(y = 5x^2 + \sqrt{x} + 2\) có chứa \(\sqrt{x}\) nên đây không phải hàm số bậc hai.

\(\)

Bài \(2\). Tìm điều kiện của \(m\) để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai.

\(a) y = mx^4 + (m+1)x^2 + x + 3\);

\(b) y = (m \ – \ 2)x^3 + (m \ – \ 1)x^2 + 5\).

Trả lời:

\(a)\) Để hàm số: \(y = mx^4 + (m+1)x^2 + x + 3\) thì:

\(\left \{\begin{matrix} m = 0\\ m + 1 \neq 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow m = 0\)

Khi đó: \(y = x^2 + x + 3\).

Vậy với \(m = 0\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

\(b)\) Để hàm số \(y = (m \ – \ 2)x^3 + (m \ – \ 1)x^2 + 5\) là hàm số bậc hai thì:

\(\left \{\begin{matrix} m \ – \ 2 = 0\\ m \ – \ 1 \neq 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow m = 2\).

Khi đó \(y = x^2 + 5\)

vậy với \(m = 2\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

\(\)

Bài \(3\). Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = x^2 + 2x + 3\). Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.

Trả lời: Xét hàm số \(y = x^2 + 2x + 3\) có \(a = 1; b = 2; c = 3\).

Đỉnh \(S\) có toạ độ \(x_S = \displaystyle \frac{\ -\ b}{2a}\)

\(= \displaystyle \frac{\ – \ 2}{1.2} = \ – \ 1\)

\(\Rightarrow y_S = (\ – \ 1)^2 + 2(\ – \ 1) + 3 = 2\).

\(\Rightarrow S(\ – \ 1; 2)\).

Vì hàm số bậc hai có \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng biến thiên sau:

Ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\) tại \(x = \ – \ 1\).

\(\)

Bài \(4\). Cho hàm số bậc hai \(y = f(x) = ax^2 + bx + c\) có \(f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 5\).

\(a)\) Hãy xác định giá trị của các hệ số \(a, b \text{ và } c\).

\(b)\) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Trả lời: \(a)\) Ta có:

\(f(0) = a. 0^2 + b.0 + c = 1\) \(\Rightarrow c = 1\)

Thay \(c = 1\) vào, ta được \(f(1) = a.1^2 + b.1 + 1 = 2\)

\(\Leftrightarrow a + b = 1\)

Thay \(c= 1\) vào, ta được \(f(2) = a.2^2 + b.2 + 1 = 5\)

\(\Leftrightarrow 4a + 2b = 4\) hay \( 2a + b = 2\)

Kết hợp ta được hệ sau:

\(\left \{\begin{matrix} a + b = 1\\ 2a + b = 2 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} a = 1\\ b = 0 \end{matrix} \right.\)

Vậy hàm số có \(a = 1; b = 0; c = 1\)

\(b)\) Thay \(a = 1; b = 0; c = 1\) ta được hàm số: \(y = f(x) = x^2 + 1\)

Xét hàm số bậc hai: \(y = x^2 + 1\) ta có:

Đỉnh \(S\) có toạ độ: \(x_S = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = 0\)

\(\Rightarrow y_S = 0^2 + 1 = 1\)

\(\Rightarrow\) \(S\) có toạ độ \((0; 1 )\).

Vì hàm số có \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng biến thiên sau:

Ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(1\) tại \(x = 0\)

Do đó tập giá trị của hàm số là \([1; +\infty)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 0)\) và đồng biến trên khoảng \((0; +\infty)\).

\(\)

Bài \(5\). Cho hàm số \(y= 2x^2 + x + m\). Hãy xác định giá trị của \(m\) để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(5\).

Trả lời:

Xét hàm số có \(a = 2; b = 1; c = m\).

Đỉnh \(S\) có toạ độ \(x_S = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2.2}\)

\(\Rightarrow x_S = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{4}\)

\(\Rightarrow y_S = 2. (\displaystyle \frac{\ – \ 1}{4})^2 + \displaystyle \frac{\ – \ 1}{4} + m\)

\(\Rightarrow y_S = m \ – \ \displaystyle \frac {1}{8}\)

Hàm số có \(a = 2 > 0\) nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( m \ – \ \displaystyle \frac {1}{8}\).
Mà bài cho giá trị nhỏ nhất bằng \(5\) nên \( m \ – \ \displaystyle \frac {1}{8} = 5\)

\(\Leftrightarrow m = \displaystyle \frac {41}{8}\).

vậy với \(m = \displaystyle \frac{1}{8}\) thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(5\).

\(\)

Bài \(6\). Vẽ đồ thị các hàm số sau:

\(a) y = 2x^2 + 4x \ – \ 1\);

\(b) y = \ – \ x^2 + 2x + 3\);

\(c) y = \ – \ 3x^2 + 6x\);

\(d) y = 2x^2 \ – \ 5\).

Trả lời:

\(a)\) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), đồ thị hàm số bậc hai \(y = 2x^2 + 4x \ – \ 1\) là một Parabol \(P\):

\(-\) Có đỉnh \(S\) với hoành độ \(x_S = \ – \ 1\), tung độ \(y_S = \ – \ 3\);

\(-\) Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \ – \ 1\) (đường thẳng này đi qua đỉnh \(S\) và song song với trục \(Oy\));

\(-\) Có bề lõm quay lên vì \(a = 2 > 0 \);

\(-\) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( \ – \ 1\), tức là đi qua điểm có toạ độ \((0; \ – \ 1)\).

Ngoài ra, phương trình \(2x^2 + 4x \ – \ 1 = 0\) có \(2\) nghiệm phân biệt là:

\(x_1 = \displaystyle \frac{\ – \ 2 + \sqrt{6}}{2}\) và \(x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 2 \ – \ \sqrt{6}}{2}\)

nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ \((\displaystyle \frac{\ – \ 2 \ – \ \sqrt{6}}{2}; 0); (\displaystyle \frac{\ – \ 2 + \sqrt{6}}{2}; 0)\).

Ta được đồ thị hàm số như sau:

\(b)\) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), đồ thị hàm số bậc hai \(y = \ – \ x^2 + 2x \ + 3\) là một Parabol \(P\):

\(-\) Có đỉnh \(S\) với hoành độ \(x_S = 1\), tung độ \(y_S = 4\);

\(-\) Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 1\) (đường thẳng này đi qua đỉnh \(S\) và song song với trục \(Oy\));

\(-\) Có bề lõm quay xuống dưới vì \(a = \ – \ 1< 0 \);

\(-\) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( 3\), tức là đi qua điểm có toạ độ \((0; 3)\).

Ngoài ra, phương trình \(\ – \ x^2 + 2x \ + 3 = 0\) có \(2\) nghiệm phân biệt là: \(x_1 = \ – \ 1\) và

\(x_2 = 3\) nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ là \((\ – \ 1; 0)\) và \((3; 0)\).

Ta được đồ thị hàm số như sau:

\(c)\) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), đồ thị hàm số bậc hai \(y = \ – \ 3x^2 + 6x\) là một Parabol \(P\):

\(-\) Có đỉnh \(S\) với hoành độ \(x_S = 1\), tung độ \(y_S = 3\);

\(-\) Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 1\) (đường thẳng này đi qua đỉnh \(S\) và song song với trục \(Oy\));

\(-\) Có bề lõm quay xuống dưới vì \(a = \ – \ 3 < 0 \);

\(-\) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( 0\), tức là đi qua gốc toạ độ \(O(0; 0)\).

Ngoài ra, phương trình \(\ – \ 3x^2 + 6x = 0\) có \(2\) nghiệm phân biệt là: \(x_1 = 0\) và

\(x_2 = 2\) nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ là \((0; 0)\) và \((2; 0)\).

Ta được đồ thị hàm số như sau:

\(d)\) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), đồ thị hàm số bậc hai \(y = 2x^2 \ – \ 5\) là một Parabol \(P\):

\(-\) Có đỉnh \(S\) với hoành độ \(x_S = 0\), tung độ \(y_S = \ – \ 5\);

\(-\) Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 0\) (đường thẳng này đi qua đỉnh \(S\) và chính là trục \(Oy\)

\(-\) Có bề lõm quay lên vì \(a = 2 > 0 \);

\(-\) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( \ – \ 5\), tức là đi qua điểm \((0; \ – \ 5)\).

Ngoài ra, phương trình \(2x^2 \ – \ 5 = 0\) có \(2\) nghiệm phân biệt là: \(x_1 = \sqrt{\displaystyle \frac{5}{2}}\) và \(\ – \ \sqrt{\displaystyle \frac{5}{2}}\) nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ là \((\sqrt{\displaystyle \frac{5}{2}}; 0)\) và \((\ – \ \sqrt{\displaystyle \frac{5}{2}}; 0)\).

Ta được đồ thị hàm số như sau:

\(\)

Bài \(7\). Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình \(12\).

\((P_1): y = \ – \ 2x^2 \ – \ 4x + 2\);

\((P_2): y = 3x^2 \ – \ 6x + 5\);

\((P_3): y = 4x^2 \ – \ 8x + 7\);

\((P_4): y = \ – \ 3x^2 \ – \ 6x \ – \ 1\).

Trả lời:

Nhìn vào đồ thị ta thấy, đồ thị các hàm số cắt trục tung \(Oy\) tại các điểm khác nhau. Vì vậy để xác định đồ thị của các hàm số, ta đi xác định toạ độ giao điểm của mỗi hàm số với trục tung \(Oy\) là có thể phân biệt được đồ thị của các hàm số.

• Xét đồ thị hàm số \(P_1\): \(y = \ – \ 2x^2 \ – \ 4x + 2\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(2\) hay đồ thị hàm số đi qua điểm có toạ độ \((0; 2)\). Vậy đồ thị hàm số \(P_1\) là đường có màu xanh lá.
• Xét đồ thị hàm số \(P_2\): \(y = 3x^2 \ – \ 6x + 5\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(5\) hay đồ thị hàm số đi qua` điểm có toạ độ \((0; 5)\). Vậy đồ thị hàm số \(P_2\) là đường có màu xanh dương.
• Xét đồ thị hàm số \(P_3\): \(y = 4x^2 \ – \ 8x + 7\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(7\) hay đồ thị hàm số đi qua điểm có toạ độ \((0; 7)\). Vậy đồ thị hàm số \(P_3\) là đường có màu đỏ.
• Xét đồ thị hàm số \(P_4\): \(y = \ – \ 3x^2 \ – \ 6x \ – \ 1\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(\ – \ 1\) hay đồ thị hàm số đi qua điểm có toạ độ \((0; \ – \ 1)\). Vậy đồ thị hàm số \(P_4\) là đường có màu cam.

\(\)

Bài \(8\). Tìm công thức của hàm số bậc hai có đồ thị như Hình \(13\).

Trả lời: Gọi hàm số bậc hai có công thức: \(y = ax^2 + bx + c\)

Nhìn vào đồ thị ta có:

\(+)\) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có toạ độ \((0; \ – \ 4)\) \(\Rightarrow c = \ – \ 4\).

\(+)\) Đồ thị có đỉnh \(S\) có toạ độ \(1,5; \ – \ 6,25)\)

\(\Rightarrow x_S = \displaystyle \frac{\ – \ b}{2a} = 1,5\)

\(\Rightarrow b = \ – \ 3a\)

\(+)\) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm \(\ – \ 1; 0)\) và \((4; 0)\) nên ta có:

\(\left \{\begin{matrix} a(\ – \ 1)^2 + b(\ – \ 1) + c = 0\\ a.4^2 + b.4 + c = 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} a \ – \ b \ – \ 4 = 0\\ 16a + 4b \ – \ 4 = 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} a \ – \ b = 4\\ 4a + b = 1 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow a = 1; b = \ – \ 3\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = x^2 \ – \ 3x \ – \ 4\).

\(\)

Bài \(9\). Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình \(14\), hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai bên thành cầu. Biết:

\(-\) Dây dài nhất là \(5\) m, dây ngắn nhất là \(0,8\) m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

\(-\) Nhịp cầu dài \(30\) m.

\(-\) Cần tính thêm \(5 %\) chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Trả lời:

Gọi \(y = ax^2 + bx + c\) là hàm số có đồ thị là thành cầu.

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình dưới đây:

Khi đó độ dài của dây cáp tương ứng với tung độ của điểm biểu diễn tương ứng trên hình.

Đoạn \(OS\) là khoảng cách dây ngắn nhất tương đương \(OS = 0,8\) hay \(S(0; 0,8)\).

Dây dài nhất tương ứng với hai điểm \(A\) và \(A’\) trên đồ thị. Khi đó ta có:

\(A(\ – \ 15; 5)\) và \(A'(15; 5)\)

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(S, A, A’\) nên thay toạ độ các điểm ta được hệ sau:

\(\left \{\begin{matrix} a.(\ – \ 15)^2 \ – \ 15b + c = 5\\ a.15^2 + 15b + c = 5\\ a.0^2 + b.0 + c = 0,8 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} 225a \ – \ 15b + c = 5\\ 225a + 15b + c = 5\\ c = 0,8 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} 450a + 2c = 10\\ b = 0\\ c = 0,8 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} a = \displaystyle \frac{7}{375}\\ b= 0\\ c = 0,8 \end{matrix} \right.\)

Ta có hàm số: \( y = \displaystyle \frac{7}{375} x^2 + 0,8\)

Hàm số đối xứng qua trục \(Oy\) nên các điểm đối xứng nhau qua trục sẽ có cùng tung độ.

Vì cầu dài \(30\) m nên khoảng cách giữa các dây cáp là: \(30 : 20 = 1,5\) m.

Do đó ta có hoành độ các điểm \(K, I, H, G, F, E, D, C, B, A\) lần lượt là:

\(x_K= \ – \ 1,5; x_I = \ – \ 3; x_H = \ – \ 4,5\);

\( x_G = \ – \ 6; x_F = \ – \ 7,5; x_E = \ – \ 9\);

\( x_D = \ – \ 10,5; x_C = \ – \ 12; x_B = \ – \ 13,5\);

\(x_A = \ – \ 15\).

• \(x_K = \ – \ 1,5 \Rightarrow y_K = 0,842 \Rightarrow\) Độ dài dây cáp ở điểm \(K\) và \(K’\) là \(0,842\) m;
• \(x_I = \ – \ 3 \Rightarrow y_I = 0,968 \Rightarrow\) Độ dài dây cáp ở điểm \(I\) và \(I’\) là \(0,968\) m;
• \(x_H = \ – \ 4,5 \Rightarrow y_H = 1,178 \Rightarrow\) Độ dài dây cáp ở điểm \(H\) và \(H’\) là \(1,178\) m;
• \(x_G = \ – \ 6 \Rightarrow y_G = 1,472 \Rightarrow\) Độ dài dây cáp ở điểm \(G\) và \(G’\) là \(1,472\) m;
• \(x_F = \ – \ 7,5 \Rightarrow y_F = 1,85 \Rightarrow\) Độ dài dây cáp ở điểm \(F\) và \(F’\) là \(1,85\) m;
• \(x_E = \ – \ 9 \Rightarrow y_K = 2,312 \Rightarrow\) Độ dài dây cáp ở điểm \(E\) và \(E’\) là \(2,312\) m;
• \(x_D = \ – \ 10,5 \Rightarrow y_D = 2,858 \Rightarrow\) Độ dài dây cáp ở điểm \(D\) và \(D’\) là \(2,858\) m;
• \(x_C= \ – \ 12 \Rightarrow y_C = 3,488 \Rightarrow\) Độ dài dây cáp ở điểm \(C\) và \(C’\) là \(3,488\) m;
• \(x_B = \ – \ 13,5 \Rightarrow y_B = 4,202 \Rightarrow\) Độ dài dây cáp ở điểm \(B\) và \(B’\) là \(4,202\) m;
• \(x_A = \ – \ 15 \Rightarrow y_A = 5 \Rightarrow\) Độ dài dây cáp ở điểm \(A\) và \(A’\) là \(5\) m.

\(\Rightarrow\) Tổng chiều dài các đoạn dây cáp 1 bên thành cầu là:

\([0, 8 + 2(0,842 + 0,968 + 1,178 + 1,472\)

\(+ 1,85 + 2,312 + 2,858 + 3,488 + 4,202\)

\(+ 5)].105 \% = 51,597\) (m).

Do cầu gồm hai bên thành cầu nên tổng chiều dài dây cáp cần sử dụng là:

\(2 . 51,597 = 103,194\) (m)

vậy tổng độ dài dây cáp cần dùng là \(103,194\)m.

Bài 2. Hàm số bậc hai

Xem bài giải trước: https://bumbii.com/bai-1-ham-so-va-do-thi/
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương III
Xem các bài giải khác: https://bumbii.com/giai-toan-lop-10-nxb-chan-troi-sang-tao

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech